坐标变换（平移、旋转与缩放）
本文主要参考Coordinate Systems and Transformations（坐标系及其变换）。
主要内容
- 坐标系与广义坐标系
- 坐标变换
- 仿射变换
- 旋转、平移、伸缩与剪切
- 绕任意轴旋转
注：Coordinate systems and frames，本文译为坐标系与广义坐标系。
一、坐标系与广义坐标系
1.1 坐标系旋转变换
向量 v ∈ R 3 v \in R^3 v∈R3 可以用一组基向量 v 1 , v 2 , v 3 v_1, v_2, v_3 v1,v2,v3的线性组合表示，
v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 v=α1v1+α2v2+α3v3
其中，标量 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 α1,α2,α3是 v v v的坐标(coordinates)。一般地，我们可以选择 v 1 = ( 1 , 0 , 0 ) , v 2 = ( 0 , 1 , 0 ) , v 3 = ( 0 , 0 , 1 ) v_1=(1,0,0), v_2=(0,1,0), v_3=(0,0,1) v1=(1,0,0),v2=(0,1,0),v3=(0,0,1)。
假设我们想要将一组基向量 v 1 , v 2 , v 3 v_1, v_2, v_3 v1,v2,v3转换为另一组基向量 u 1 , u 2 , u 3 u_1, u_2, u_3 u1,u2,u3，我们可以将新的基向量表示为原始基向量的线性组合，
u 1 = a 11 v 1 + a 12 v 2 + a 13 v 3 u 2 = a 21 v 1 + a 22 v 2 + a 23 v 3 u 3 = a 31 v 1 + a 32 v 2 + a 33 v 3 u_1 = a_{11}v_1 + a_{12} v_2 + a_{13} v_3 \\ u_2 = a_{21}v_1 + a_{22} v_2 + a_{23} v_3 \\ u_3 = a_{31}v_1 + a_{32} v_2 + a_{33} v_3 \\ u1=a11v1+a12v2+a13v3u2=a21v1+a22v2+a23v3u3=a31v1+a32v2+a33v3
由此则可得到一个 3 × 3 3\times3 3×3的“基变换”矩阵
M = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) M = \left ( \begin {array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right ) M=⎝⎛a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎠⎞
如果对于一个给定向量 v v v，在两个坐标系下的表示分别为
v = a T ( v 1 v 2 v 3 ) v = b T ( u 1 u 2 u 3 ) v = \bm a^T \left ( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right ) \qquad\qquad v = \bm b^T \left ( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array}\right ) v=aT⎝⎛v1v2v3⎠⎞v=bT⎝⎛u1u2u3⎠⎞
其中， a = ( α 1 , α 2 , α 3 ) T \bm a=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)^T a=(α1,α2,α3)T， b = ( β 1 , β 2 , β 3 ) T \bm b = (\beta_1, \beta_2, \beta_3)^T b=(β1,β2,β3)T，那么
a T ( v 1 v 2 v 3 ) = v = b T ( u 1 u 2 u 3 ) = b T M ( v 1 v 2 v 3 ) \bm a^T \left ( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right ) = v = \bm b^T \left ( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array}\right ) = \bm b^T M \left ( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right ) aT⎝⎛v1v2v3⎠⎞=v=bT⎝⎛u1u2u3⎠⎞=bTM⎝⎛v1v2v3⎠⎞
这表明
a = M T b b = ( M T ) − 1 a \bm a = M^T\bm b \qquad\qquad \bm b = (M^T)^{-1} \bm a a=MTbb=(MT)−1a
小结：如果知道两个坐标系 v v v系和 u u u系，并且从 v v v系到 u u u系之间的旋转变换关系 M M M，即 u = M v u=Mv u=Mv，而同一点在 v v v系下的坐标为 a = ( α 1 , α 2 , α 3 ) T a=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)^T a=(α1,α2,α3)T，在 u u u系下的坐标为 ( β 1 , β 2 , β 3 ) T (\beta_1, \beta_2, \beta_3)^T (β1,β2,β3)T，则 b = ( M T ) − 1 a b = (M^T)^{-1} a b=(MT)−1a。
1.2 广义坐标系
然而，在计算机图形学中，上述三维坐标系的关系不够完善。尽管矩阵 M M M能够用来表示向量旋转和伸缩，但是不能用来处理点（及物体）的平移(translate)运动。
事实上，任意一个仿射变换都可以通过乘以一个 3 × 3 3\times3 3×3的矩阵，再按照一个向量移动实现。然而，在计算机图像学中，我们更倾向于使用广义坐标系(frame)达到相同效果。
广义坐标系是一个更丰富的坐标系，我们将一个参考点 P 0 P_0 P0添加进三个线性独立的基向量 v 1 , v 2 , v 3 v_1, v_2, v_3 v1,v2,v3，向量 v v v和点 P P P分别表示为
v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 P = P 0 + α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 \begin{aligned} &v = &\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 \\ &P = P_0 + & \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 \end{aligned} v=P=P0+α1v1+α2v2+α3v3α1v1+α2v2+α3v3
我们可以使用向量与矩阵的概念重新表示向量 v v v和点 P P P，
v = ( α 1 α 2 α 3 0 ) ( v 1 v 2 v 3 P 0 ) P = ( α 1 α 2 α 3 1 ) ( v 1 v 2 v 3 P 0 ) v = (\alpha_1 \ \alpha_2 \ \alpha_3 \ 0) \left ( \begin{array}{cc}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ P_0 \end{array} \right ) \qquad P = (\alpha_1 \ \alpha_2 \ \alpha_3 \ 1) \left ( \begin{array}{cc}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ P_0 \end{array} \right ) v=(α1 α2 α3 0)⎝⎜⎜⎛v1v2v3P0⎠⎟⎟⎞P=(α1 α2 α3 1)⎝⎜⎜⎛v1v2v3P0⎠⎟⎟⎞
系数 α 1 , α 2 , α 3 , 0 \alpha_1,\alpha_2 ,\alpha_3 , 0 α1,α2,α3,0和 α 1 , α 2 , α 3 , 1 \alpha_1 , \alpha_2 ,\alpha_3 ,1 α1,α2,α3,1称为 v v v和 P P P的其次坐标(homogeneous coordinates)。
二、 广义坐标变换
假设我们想把一个坐标系 ( v 1 , v 2 , v 3 , P 0 ) (v_1, v_2, v_3, P_0) (v1,v2,v3,P0) 转换为一个新的坐标系 ( u 1 , u 2 , u 3 , Q 0 ) (u_1, u_2, u_3, Q_0) (u1,u2,u3,Q0)。把新的基向量及参考点使用原始的表示为，
u 1 = a 11 v 1 + a 12 v 2 + a 13 v 3 u 2 = a 21 v 1 + a 22 v 2 + a 23 v 3 u 1 = a 31 v 1 + a 32 v 2 + a 33 v 3 Q 0 = a 41 v 1 + a 42 v 2 + a 43 v 3 + P 0 \begin{aligned} &u_1 = a_{11} v_1 + a_{12} v_2 + a_{13} v_3 \\ &u_2 = a_{21} v_1 + a_{22} v_2 + a_{23} v_3 \\ &u_1 = a_{31} v_1 + a_{32} v_2 + a_{33} v_3 \\ &Q_0 = a_{41} v_1 + a_{42} v_2 + a_{43} v_3 + P_0 \end{aligned} u1=a11v1+a12v2+a13v3u2=a21v1+a22v2+a23v3u1=a31v1+a32v2+a33v3Q0=a41v1+a42v2+a43v3+P0
由此可以得到一个 4 × 4 4\times4 4×4的矩阵
( a 11 a 12 a 12 0 a 21 a 22 a 23 0 a 31 a 32 a 33 0 a 41 a 42 a 43 1 ) \left ( \begin {array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & 1 \end{array} \right ) ⎝⎜⎜⎛a11a21a31a41a12a22a32a42a12a23a33a430001⎠⎟⎟⎞
和三维向量坐标类似，我们使用 a a a和 b b b分别表示两个坐标系下的同一个点或向量，则
a T ( v 1 v 2 v 3 P 0 ) = b T ( u 1 u 2 u 3 Q 0 ) = b T M ( v 1 v 2 v 3 P 0 ) \bm a^T \left ( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\P_0 \end{array}\right ) =\bm b^T \left ( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ Q_0 \end{array}\right ) =\bm b^T M \left ( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\P_0 \end{array}\right ) aT⎝⎜⎜⎛v1v2v3P0⎠⎟⎟⎞=bT⎝⎜⎜⎛u1u2u3Q0⎠⎟⎟⎞=bTM⎝⎜⎜⎛v1v2v3P0⎠⎟⎟⎞
这表明
a = M T b b = ( M T ) − 1 a \bm a = M^T \bm b \qquad \qquad \bm b = (M^T)^{-1} \bm a a=MTbb=(MT)−1a
三、仿射变换
使用转置的矩阵
M T = ( a 11 a 21 a 31 0 a 12 a 22 a 32 0 a 13 a 23 a 33 0 0 0 0 1 ) M^T = \left ( \begin {array}{cc} a_{11} & a_{21} & a_{31} & 0 \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} & 0 \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) MT=⎝⎜⎜⎛a11a12a130a21a22a230a31a32a3300001⎠⎟⎟⎞
表示任意一个仿射变换，有12个自由度，可以看作一个由九个元素 3 x 3 3x3 3x3的矩阵和三个分量的平移向量组成。
最重要的几种仿射变换是旋转(rotations)，伸缩(scalings)和平移(translations)。事实上，其他的仿射变换都可以通过这三者组合表示出来。
仿射变换对于线段同样适用。如果一条线段
P ( α ) = ( 1 − α ) P 0 + α P 1 P(\alpha) = (1-\alpha ) P_0 + \alpha P_1 P(α)=(1−α)P0+αP1
使用其次坐标表示为
p ( α ) = ( 1 − a ) p 0 + α p 1 \bm p(\alpha) = (1-a) \bm p_0 + \alpha \bm p_1 p(α)=(1−a)p0+αp1
对于另一个坐标系，将线段 P P P乘以一个仿射变换矩阵 M M M即可得到新的表示
M p ( α ) = ( 1 − α ) M p 0 + α M p 1 M \bm p(\alpha) = (1-\alpha) M \bm p_0 + \alpha M \bm p_1 Mp(α)=(1−α)Mp0+αMp1
同样地，仿射变换可以将三角形映射为三角形，将四面体映射为四面体。因此OpenGL里的许多物体都可以仅使用它们的顶点实现变换。
四、旋转、平移、伸缩和剪切
4.1 平移
平移(translation)是将一个点沿着特定方向移动一段距离的操作。将点 P P P沿着向量 d d d方向移动得到
P ′ = P + d P' = P + d P′=P+d
我们可以把这个等式写为齐次坐标形式
p ′ = p + d \bm {p' = p + d} p′=p+d
其中
p = ( x y z 1 ) p ′ = ( x ′ y ′ z ′ 1 ) d = ( α x α y α z 0 ) \bm p = \left ( \begin {array}{c} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right ) \qquad \bm p' = \left ( \begin {array}{c} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{array} \right ) \qquad \bm d = \left ( \begin {array}{c} \alpha_x \\ \alpha_y \\ \alpha_z \\ 0 \end{array} \right ) \qquad p=⎝⎜⎜⎛xyz1⎠⎟⎟⎞p′=⎝⎜⎜⎛x′y′z′1⎠⎟⎟⎞d=⎝⎜⎜⎛αxαyαz0⎠⎟⎟⎞
因此
x ′ = x + α x y ′ = y + α y z ′ = z + α z x' = x+ \alpha_x \qquad y' = y+ \alpha_y \qquad z' = z+ \alpha_z x′=x+αxy′=y+αyz′=z+αz
容易得到实现 p ′ = T p \bm p' = T \bm p p′=Tp 的变换矩阵 T T T
T = T ( α x , α y , α z ) = ( 1 0 0 α x 0 1 0 α y 0 0 1 α z 0 0 0 1 ) T = T(\alpha_x, \alpha_y, \alpha_z) = \left ( \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \alpha_x \\ 0 & 1 & 0 & \alpha_y \\ 0 & 0 & 1 & \alpha_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) T=T(αx,αy,αz)=⎝⎜⎜⎛100001000010αxαyαz1⎠⎟⎟⎞
矩阵 T T T称为平移矩阵(translation matrix)。容易验证平移矩阵的逆为
T − 1 ( α x , α y , α z ) = T ( − α x , − α y , − α z ) T^{-1} (\alpha_x, \alpha_y, \alpha_z) = T(-\alpha_x, -\alpha_y,- \alpha_z) T−1(αx,αy,αz)=T(−αx,−αy,−αz)
4.2 旋转
旋转(rotation)取决于旋转轴与绕旋转轴转动的角度。首先考虑在原来坐标系的一个平面内的旋转（注：例如绕z轴），如果点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的极坐标为
x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ x = \rho \cos \phi \qquad y = \rho \sin \phi x=ρcosϕy=ρsinϕ
旋转的角度记为 θ \theta θ，新的位置记为 ( x ′ , y ′ ) (x', y') (x′,y′)，那么
x ′ = ρ cos ( ϕ + θ ) y ′ = ρ sin ( ϕ + θ ) x' = \rho \cos(\phi + \theta) \qquad y' = \rho \sin (\phi + \theta) x′=ρcos(ϕ+θ)y′=ρsin(ϕ+θ)
展开易得
x ′ = x cos θ − y sin θ y ′ = x sin θ + y cos θ x' = x\cos \theta - y \sin \theta \\ y' = x \sin \theta + y \cos \theta x′=xcosθ−ysinθy′=xsinθ+ycosθ
或者
( x ′ y ′ ) = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) ( x y ) \left ( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ) (x′y′)=(cosθsinθ−sinθcosθ)(xy)
因此分别绕 z , x , y z,x,y z,x,y旋转得到的旋转矩阵为
R z = R z ( θ ) = ( cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) R_z = R_z(\theta) = \left ( \begin{array}{c} \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) Rz=Rz(θ)=⎝⎜⎜⎛cosθsinθ00−sinθcosθ0000100001⎠⎟⎟⎞
R x = R x ( θ ) = ( 1 0 0 0 0 cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 ) R_x = R_x(\theta) = \left ( \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) Rx=Rx(θ)=⎝⎜⎜⎛10000cosθsinθ00−sinθcosθ00001⎠⎟⎟⎞
R y = R y ( θ ) = ( cos θ 0 sin θ 0 0 1 0 1 − sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ) R_y = R_y(\theta) = \left ( \begin{array}{c} \cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1\\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) Ry=Ry(θ)=⎝⎜⎜⎛cosθ0−sinθ00100sinθ0cosθ00101⎠⎟⎟⎞
注： R y R_y Ry 中 sin θ \sin \theta sinθ符号相反，是由于根据右手螺旋定则 x → y → z → x x\to y \to z \to x x→y→z→x的顺序。
上述三个式子中正的旋转角度 θ \theta θ都是符合右手螺旋定则绕 x , y , z x,y,z x,y,z轴进行的旋转。使用 R = R ( θ ) R = R(\theta) R=R(θ)代表上面任意矩阵，则逆为
R − 1 ( θ ) = R ( − θ ) = R T ( θ ) R^{-1} (\theta) = R(-\theta) = R^T (\theta) R−1(θ)=R(−θ)=RT(θ)
平移和旋转都是刚体运动(solid-body transformations)的例子：这种运动不改变物体的大小和尺寸。
4.3 伸缩
伸缩(scaling) 可以独立应用于三个坐标轴，如果将点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)转化为新的点
x ′ = β x x y ′ = β y y z ′ = β z z x' = \beta_x x \qquad y' = \beta_y y \qquad z' = \beta_z z x′=βxxy′=βyyz′=βzz
这样得出相应的矩阵为
S = S ( β x , β y , β z ) = ( β x 0 0 0 0 β y 0 0 0 0 β z 0 0 0 0 1 ) S = S(\beta_x, \beta_y, \beta_z) = \left ( \begin{array}{c} \beta_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \beta_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \beta_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) S=S(βx,βy,βz)=⎝⎜⎜⎛βx0000βy0000βz00001⎠⎟⎟⎞
其逆为
S − 1 ( β x , β y , β z ) = S ( 1 / β x , 1 / β y , 1 / β z ) S^{-1}(\beta_x, \beta_y, \beta_z) = S(1/\beta_x, 1/\beta_y, 1/\beta_z) S−1(βx,βy,βz)=S(1/βx,1/βy,1/βz)
如果伸缩因子 β x , β y , β z \beta_x, \beta_y, \beta_z βx,βy,βz相等，那么伸缩变化是等尺度的(uniform)：物体保持形状不变但是改变尺寸。否则称伸缩变换时非等尺度的(non-uniform)，物体发生变形。
4.4 剪切
剪切(shears)可以看作平移、旋转和伸缩的组合，但是有一些独特的性质。
对于任意标量 a a a，一个朝 x x x 方向的剪切定义为
x ′ = x + ( cot θ ) y y ′ = y z ′ = z x' = x + (\cot \theta) y \qquad y' = y \qquad z' = z x′=x+(cotθ)yy′=yz′=z
相应的剪切矩阵为
H x ( θ ) = ( 1 cot θ 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) H_x (\theta) = \left ( \begin{array}{cc} 1 & \cot \theta & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right ) Hx(θ)=⎝⎜⎜⎛1000cotθ10000100001⎠⎟⎟⎞
其逆为
H x − 1 ( θ ) = H x ( − θ ) H_x^{-1} (\theta) = H_x(-\theta) Hx−1(θ)=Hx(−θ)
五、绕任意轴旋转
我们怎样找到一个描述任意一点 p 0 p_0 p0 绕一个方向 u = p 2 − p 1 u = p_2 - p_1 u=p2−p1 旋转角度 θ \theta θ 的矩阵呢？
答案是将次矩阵分解为我们已知的一系列矩阵之和。同样假设 u u u 的模为 1，第一步，使用平移简化原问题的旋转问题：
M = T ( p 0 ) R T ( − p 0 ) M = T(p_0) R T(-p_0) M=T(p0)RT(−p0)
为了确定旋转矩阵 R R R，首先通过转动 θ x \theta_x θx 和 θ y \theta_y θy 两个角度使得 u u u 与 z z z 轴重合；然后绕 z z z 轴旋转指定的角度 θ \theta θ；最后再旋转相同的角度，因此
R = R x ( − θ x ) R y ( − θ y ) R z ( θ ) R y ( θ y ) R x ( θ x ) R = R_x (-\theta_x) R_y (-\theta_y) R_z (\theta) R_y(\theta_y) R_x (\theta_x) R=Rx(−θx)Ry(−θy)Rz(θ)Ry(θy)Rx(θx)
这里还有绕 u = ( α x , α y , α z ) u=(\alpha_x, \alpha_y, \alpha_z) u=(αx,αy,αz) 旋转的角度 θ x \theta_x θx 和 θ y \theta_y θy 是未知的。第一次旋转 R x ( θ x ) R_x (\theta_x) Rx(θx) 将向量 u u u 绕 x x x 轴旋转直至它位于 y = 0 y=0 y=0 的平面。使用简单的几何学只是，可以得到
cos θ x = α z / d sin θ x = α y / d \cos \theta_x = \alpha_z / d \qquad \sin \theta_x = \alpha_y /d cosθx=αz/dsinθx=αy/d
其中， d = ( α y 2 + α z 2 ) d = \sqrt(\alpha_y^2 + \alpha_z^2) d=(αy2+αz2)，因此，不需要明确地得到 θ x \theta_x θx，可以得到
R x = R x ( θ ) = ( 1 0 0 0 0 α z / d − α y / d 0 0 α y / d α z / d 0 0 0 0 1 ) R_x = R_x(\theta) = \left ( \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_z / d & -\alpha_y /d & 0 \\ 0 & \alpha_y /d & \alpha_z / d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) Rx=Rx(θ)=⎝⎜⎜⎛10000αz/dαy/d00−αy/dαz/d00001⎠⎟⎟⎞
在第二次重合中，可以得到
cos θ y = d sin θ y = − α x \cos \theta_y = d \qquad \sin \theta_y = - \alpha_x cosθy=dsinθy=−αx
易得
R x = R x ( θ ) = ( d 0 − α x 0 0 1 0 0 α x 0 d 0 0 0 0 1 ) R_x = R_x(\theta) = \left ( \begin{array}{c} d & 0 & -\alpha_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \alpha_x & 0 & d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) Rx=Rx(θ)=⎝⎜⎜⎛d0αx00100−αx0d00001⎠⎟⎟⎞
注：原文 α x \alpha_x αx 符号相反，疑似有误。
六、关于四元数的一些知识
6.1 基本运算
四元数提供了一种新的描述旋转的方式，而且已经用于硬件实现。
在复数域，旋转一个角度 ϕ \phi ϕ 可以表示为乘以一个复数
e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi eiϕ=cosϕ+isinϕ
这样可以将一个给定的点 r e i θ r e^{i\theta} reiθ 旋转得到新的点
r e i θ e i ϕ = r e i ( θ + ϕ ) re^{i\theta} e^{i \phi} = r e^{i(\theta + \phi)} reiθeiϕ=rei(θ+ϕ)
类似地，四元数可以优雅地描述三维空间中的旋转。一个四元数有一个标量和一个向量组成，
a = ( q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ) = ( q 0 , q ) a = (q_0, q_1, q_2, q_3) = (q_0, \bm q) a=(q0,q1,q2,q3)=(q0,q)
可以把向量部分 q q q 写为
q = q 1 i + q 2 j + q 3 k q = q_1 \bm i + q_2 \bm j + q_3 \bm k q=q1i+q2j+q3k
其中， i , j , k \bm i , \bm j, \bm k i,j,k 类似三维空间内的单位向量，并且满足
i 2 = j 2 = k 2 = − 1 \bm i^2 = \bm j^2 = \bm k^2 = -1 i2=j2=k2=−1
i j = k = − j i j k = i = − k j k i = j = − i k \bm i \bm j = \bm k = - \bm j \bm i \qquad \bm j \bm k = \bm i = - \bm k \bm j \qquad \bm k \bm i = \bm j = - \bm i \bm k ij=k=−jijk=i=−kjki=j=−ik
根据以上性质容易计算两个四元数的和与积，设 a = ( q 0 , q ) , b = ( p 0 p ) a = (q_0, \bm q), b=(p_0 \bm p) a=(q0,q),b=(p0p)，则
a + b = ( q 0 + p 0 , q + p ) a + b = (q_0 + p_0 , \bm q + \bm p) a+b=(q0+p0,q+p)
a b = ( q 0 p 0 − q ⋅ p , q 0 p + p 0 q + q × p ) ab = (q_0 p_0 - \bm q \cdot \bm p, q_0 \bm p + p_0 \bm q + \bm q \times \bm p) ab=(q0p0−q⋅p,q0p+p0q+q×p)
a a a 的幅度和逆分别为
∣ a ∣ = q 0 2 + q ⋅ q | a | = \sqrt{q_0^2 + \bm q \cdot \bm q} ∣a∣=q02+q⋅q
a − 1 = 1 ∣ a ∣ ( q 0 , − q ) a^{-1} = \frac{1}{|a|} (q_0 , -\bm q) a−1=∣a∣1(q0,−q)
6.2 旋转
假设 v ∈ R 3 \bm v \in R^3 v∈R3 是单位向量，令 p \bm p p 是一个任意点， p ′ \bm p' p′是点 p \bm p p 绕 v \bm v v 轴旋转后的点。为了寻找点 p ′ \bm p' p′ 对应的四元数，零 r r r 为
r = ( cos θ 2 , sin θ 2 ⋅ v ) r = (\cos \frac{\theta}{2}, \sin \frac{\theta}{2} \cdot \bm v) r=(cos2θ,sin2θ⋅v)
一个单位长度的四元数，其逆为
r − 1 = ( cos θ 2 , − sin θ 2 ⋅ v ) r^{-1} = (\cos \frac{\theta}{2}, -\sin \frac{\theta}{2} \cdot \bm v) r−1=(cos2θ,−sin2θ⋅v)
那么如果 p p p 和 p ′ p' p′ 是四元数
p = ( 0 , p ) p ′ = ( 0 , p ′ ) p = (0, \bm p) \qquad p' = (0, \bm p') p=(0,p)p′=(0,p′)
可以证明
p ′ = r − 1 p r p' = r^{-1} p r p′=r−1pr
接下来验证上式的正确！根据乘法运算法则，可以计算得 p ′ p' p′ 确实有 ( 0 , p ′ ) (0, \bm p') (0,p′) 的形式，并且
p ′ = cos 2 θ 2 p + sin 2 θ 2 ( v ⋅ p ) v + 2 sin θ 2 cos θ 2 ( v × p ) + sin 2 θ 2 v × ( v × p ) \bm p' = \cos ^2 \frac{\theta}{2} \bm p + \sin^2 \frac{\theta}{2} (\bm v \cdot \bm p) \bm v + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} (\bm v \times \bm p) + \sin ^2 \frac{\theta}{2} \bm v \times (\bm v \times \bm p) p′=cos22θp+sin22θ(v⋅p)v+2sin2θcos2θ(v×p)+sin22θv×(v×p)
利用等式
p = ( v ⋅ p ) v − v × ( v × p ) \bm p = (\bm v \cdot \bm p ) \bm v - \bm v \times (\bm v \times \bm p) p=(v⋅p)v−v×(v×p)
并根据三角函数多倍角公式，可得化简结果
p ′ = ( v ⋅ p ) v + cos θ ( v × p ) × v + sin θ ( v × p ) \bm p' = (\bm v \cdot \bm p ) \bm v + \cos \theta (\bm v \times \bm p) \times \bm v + \sin \theta (\bm v \times \bm p) p′=(v⋅p)v+cosθ(v×p)×v+sinθ(v×p)
这个公式很容易从几何意义中得到验证，它是对三个正交向量的线性组合。第一项 ( v ⋅ p ) v (\bm v \cdot \bm p ) \bm v (v⋅p)v 是 p \bm p p 在旋转轴上的投影，第二项和第三项描述了垂直于 v \bm v v 的平面上的旋转。
注意到这个公式清晰地表示了一种正交投影，所有的分量都是对 p \bm p p 的线性变换。这个公式也可以用于在矩阵变换中直接获取相应的系数。