深度学习基础 - 余弦定理

深度学习基础 - 余弦定理

flyfish

$$\begin{gathered} AD=b\cos A, \\ CD=b\sin A, \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} BD=AB-AD \\ BD=c-b\cos A \end{gathered}$$
根据是勾股定理
$$\begin{array}{rl}B{C}^2& =B{D}^2+C{D}^2\\ & =(c-b\cos A{)}^2+(b\sin A{)}^2\\ & =c^2-2cb\cos A+b^2\\ 整理得a^2=& b^2+c^2-2bc\cos A\end{array}$$

$$也就是a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$$
中间计算会用到
$${\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1$$
可以看 三角函数
同理可得其他的式子

$$\begin{array}{l}{c}^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma \\ b^2=c^2+a^2-2ac\cos \beta \\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha \end{array}$$

转换下就是
$$\begin{array}{rl}\cos \alpha & =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \cos \beta & =\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\\ \cos \gamma & =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\end{array}$$

如果利用正弦定理是这样的

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{c}{\sin (A+B)}$$

$$b\sin A=a\sin B$$
$$c\sin A=a\sin (A+B)=a\sin A\cos B+a\cos A\sin B$$

$$a^2=(c-b\cos A{)}^2+(b\sin A{)}^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$
结果是
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

$\sin C=\sin (A+B)$的理由是
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$$
$$\sin (A+B)=\sin \left(180^{\circ }-\angle C\right)=\sin C$$
也就是
$$\begin{array}{l}\sin C=\sin (\pi -(A+B))\\ =\sin (A+B)\end{array}$$