数学：常用的线性代数知识点

逆矩阵

• 定义：A，B为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，AB=BA=E，说明A是可逆的，其逆矩阵为B
• 求解：

1. ，其中为伴随矩阵，要求(A可逆的充要条件)
2. 初等行变换：

矩阵的秩

• 定义：m × n的矩阵A，若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r
• 求解：行阶梯形矩阵（标准形）的行数

逆和秩的关系

A满秩（）方阵A可逆（A非奇异）

向量组的线性相关性

• 定义：给定向量组A:  ，如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使 ，则称向量组A线性相关性，否则向量组A线性无关。

逆、秩和线性相关性的关系

• 向量组  线性相关（组成矩阵A）（前提是A是方阵）A可逆（前提是A是方阵）
• 向量组  线性无关（组成矩阵A）（前提是A是方阵）A不可逆（前提是A是方阵）

线性方程组

• 定义：
• 求解（基础解系）：

1. 
2. 对增广矩阵B作初等行变换后的其行等价标准形（对于有无穷多个解来说，齐次通解=非齐次通解+齐次特解

逆、秩、线性相关性和线性方程组解个数的关系

• 齐次线性方程组（总有零解）：

1. 有非零解向量组  线性相关（组成矩阵A）（前提是A是方阵）A可逆（前提是A是方阵）
2. 有唯一解向量组  线性无关向量组  线性无关（组成矩阵A）（前提是A是方阵）A不可逆（前提是A是方阵）

• 非齐次线性方程组：

1. 有无穷多解向量组  线性相关（组成矩阵A）（前提是A是方阵）A可逆（前提是A是方阵）
2. 有唯一解向量组  线性无关（组成矩阵A）（前提是A是方阵）A不可逆（前提是A是方阵）

特征值和特征向量

• 定义：A为n阶方阵，有，其中为矩阵A的特征值，x是A对应于特征值的特征向量，
• 求解：根据来求解
• 如何理解特征值和特征向量：https://www.matongxue.com/madocs/228.html    https://www.cnblogs.com/jiahuaking/p/3843071.html

逆、线性相关性和特征值的关系

A为n阶方阵，若是方阵A的n个特征值：

• A为可逆矩阵均部位0
• 若任意的，则这些特征值对应的特征向量线性无关

相似矩阵

• 定义：A，B为n阶方阵，，则B是A的相似矩阵（A和B的特征值相同）。如果矩阵A与对角矩阵相似，则A可以相似对角化（对角阵上的主对角线的值为A的n个特征值）。

线性相关性、特征值和相似矩阵的关系

• n阶方阵A与对角矩阵相似A有n个线性无关的特征向量
• n阶方阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似

对称矩阵

• 定义：n阶方阵（实对称矩阵：特征值都是实数，并且不同的特征值对应的特征向量是正交的）

正交矩阵

• 定义：或者，则n阶实矩阵A称为正交矩阵（）

合同

• 定义：n阶方阵A和B，n阶可逆矩阵C（方阵），使

正交变换

• 定义：是线性变换的一种。对一个由空间  投射到同一空间  的线性转换，如果转换后的向量长度与转换前的长度相同，则为正交变换。在矩阵表示形式上，如果  为正交变换，则为  正交矩阵。

用正交阵对对称阵进行合同变换

• 若n阶方阵（对称矩阵），则存在n阶正交矩阵C和n阶对角矩阵，使得

二次型

• 定义：含有n个变量的二次齐次函数，如或

• 标准形求解：对于任意n元实二次型存在正交变换（Q为n阶正交矩阵），使得,其中是实对称矩阵A的n个特征值

• 如何理解二次型？

正定二次型

• 定义：对于任意一组不全为0的实数x都有， （其标准形中；A的那个顺序主子式全大于0）
• 等价条件：若A是n阶实对称矩阵，则：是正定二次型（或A是则很难规定矩阵）A的n个特征值全大于0A与E合同