宋浩概率论与数理统计笔记——第三章

3.1.1 二维随机变量及其分布函数

3.1 二维随机变量

假设$E$是试验,$\Omega$是他的样本空间，X、Y是定义在样本空间$\Omega$的两个变量

$(X,Y)$向量、变量

分布函数：

$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$,联合分布函数

一维：$F(x)=P\{X\le x\}$

性质：

①$0\le F(x)\le 1$

②$F(x,y)$是$x$或$y$的不减函数，$y$固定，$x_1<x_2,F(x_1,y)\le F(x_2,y)$

③$F(-\infty ,y)=0$

$F(x,-\infty )=0$

$F(-\infty ,-\infty )=0$

$F(+\infty ,+\infty )=1$

④$F(x,y)$分别是关于x和y的右连续

⑤$x_1<x_2,y_1<y_2$

$P\{x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)$

边缘分布:

$F_X(x)=P\{X\le x\}=F\{x,+\infty \}=P\{X\le x,Y<+\infty \}$

$F_Y(y)=P\{Y\le y\}=F\{+\infty ,y\}=P\{X<+\infty ,Y\le y\}$

3.1.2 二维离散型的联合分布和边缘分布

X,Y取离散值

分布表：

X\Y	1	2	3
1	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$
2	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

$P\{X=x_i,Y=y_j\}=P_{ij}$

性质

①$P_{ij}\ge 0$

②${\sum }_i{\sum }_j{P}_{ij}=1$

$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}={\sum }_{x_i\le x}{\sum }_{y_i\le y}{P}_{ij}$

$F(-1,-2)=P\{X\le -1,Y\le -2\}=0$

$F(1,2)=P\{X\le 1,Y\le 2\}=\frac{1}{2}$

$F(4,5)=P\{X\le 4,Y\le 5\}=1$

$F(1.5,2.6)=P\{X\le 1.5,Y\le 2.6\}=\frac{1}{2}$

边缘分布

对行求和，得X的边缘分布

X	1	2
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{3}{8}$

对列求和，得Y的边缘分布

Y	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{8}$	$\frac{1}{4}$

①联合分布可唯一确定边缘分布

②边缘分布不能确定联合分布

3.1.3 二维连续型的联合分布与边缘分布

$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(s,t)dsdt$

$F(x,y)$分布函数

$f(x,y)$联合密度函数

性质1：$f(x,y)>0$

性质2：${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$

性质3：$\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$

性质4：G是XY平面上的一个区域，$P\{(X,Y)\in G\}={\iint }_{G}f(x,y)dxdy$

$F(x)=\{\begin{array}{rc}C& (x,y)\in G\\ 0& else\end{array}$

$G:x^2+y^2\le r^2$

${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy={\iint }_{G}Cdxdy=C{\iint }_{G}1dxdy=C\pi r^2=1$

$C=\frac{1}{\pi r^2}$

例：

$F(x)=\{\begin{array}{rc}{e}^{-(x+y)}& x>0,y>0\\ 0& else\end{array}$

(1)求$X,Y$的$F(x,y)$

$$\begin{gathered} F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\},x>0且y>0,F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(s,t)dsdt \\ ={\int }_0^x{\int }_0^y{e}^{-s}{e}^{-t}dsdt={\int }_0^x{e}^{-s}ds{\int }_0^y{e}^{-t}dt=(e^{-x}-1)(e^{-y}-1)=(1-e^{-x})(1-e^{-y}) \end{gathered}$$

(2)$求P\{(x,y)\in G\}$

$P\{(x,y)\in G\}={\iint }_{G}f(x,y)dxdy={\iint }_G{e}^{-(x+y)}dxdy={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1-x}{e}^{-(x+y)}dy=1-2e^{-1}$

(3)$F_X(x),F_Y(y)$

$F_X(x)={\lim }_{y\to +\infty }F(x,y)=1-e^{-x},x>0$

$F_X(x)=0,x\le 0$

$F_Y(y)={\lim }_{x\to +\infty }F(x,y)=1-e^{-y},y>0$

$F_Y(y)=0,y\le 0$

3.2.1条件分布的定义

$F(x)=P\{X\le x\}$

$F(x|A)=P\{X\le x|A\}$

例：

$f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$，求X>1条件下的条件分布

解：X>1,$F(x|X>1)=P\{X\le x|X>1\}=\frac{P\{X\le x,X>1\}}{P\{X>1\}}$

$x\le 1$时,$F(x|X>1)=0$

$x>1时$,$P\{1<X\le x\}=\frac{{\int }_1^x\frac{1}{\pi (1+t^2)}dt}{{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{\pi (1+t^2)}dt}=\frac{\frac{1}{\pi }arctant{|}_1^x}{\frac{1}{\pi }arctant{|}_1^{+\infty }}=\frac{\frac{1}{\pi }acrtanx-\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}$

$F(x|X>1)=\{\begin{array}{rc}0& x\le 1\\ \frac{4}{\pi }arctanx-1& x>1\end{array}$

3.2.2 离散型随机变量的条件分布

$ X_1$\ $ X_2$	0	1	$P_i^{(1)}$边缘分布
0	0.1	0.3	0.4
1	0.3	0.3	0.6
$P_j^{(2)}$边缘分布	0.4	0.6

$X_1=0,P\{X_2=0|X_1=0\}=\frac{0.1}{0.4}=0.25$

$X_1=0,P\{X_2=1|X_1=0\}=\frac{0.3}{0.4}=0.75$

$X_1=1,P\{X_2=0|X_1=1\}=\frac{0.3}{0.6}=0.5$

$X_1=1,P\{X_2=1|X_1=1\}=\frac{0.3}{0.6}=0.5$

$X_2$	0	1
$P{X_2	X_1=0}$	0.25

$X_2$	0	1
$P{X_2	X_1=1}$	0.5

$X_2=0,P\{X_1=0|X_2=0\}=\frac{0.1}{0.4}=0.25$

$X_2=0,P\{X_1=1|X_2=0\}=\frac{0.3}{0.4}=0.75$

$X_2=1,P\{X_1=0|X_2=1\}=\frac{0.3}{0.6}=0.5$

$X_2=1,P\{X_1=1|X_1=1\}=\frac{0.3}{0.6}=0.5$

$X_1$	0	1
$P{X_1	X_2=0}$	0.25

$X_1$	0	1
$P{X_1	X_2=1}$	0.5

$P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P_{ij}}{P_j^{(2)}}$

3.2.3连续型随机变量的条件分布

定义：(X,Y)是随机变量，f(x,y)是密度函数，边缘密度是$f_X(x)、f_Y(y)$,若$f_Y(y)>0$

在$Y=y$的条件下，

$F(x|y)={\int }_{-\infty }^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du$,$f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$

$F(y|x)={\int }_{-\infty }^y\frac{f(x,v)}{f_X(x)}dv$,$f(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$

例：

$f(x,y)=\frac{1}{{\pi }^2(1+x^2)(1+y^2)}$,$f_X(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$,$f_Y(y)=\frac{1}{\pi (1+y^2)}$

$f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$

$f(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{1}{\pi (1+y^2)}$

例：

$f(x,y)=\{\begin{array}{rc}\frac{1}{\pi r^2}& x^2+y^2\le r^2\\ 0& else\end{array}$

$f_X(x)=\{\begin{array}{rc}\frac{2\sqrt{r^2-x^2}}{\pi r^2}& |x|\le r\\ 0& else\end{array}$

$f_Y(y)=\{\begin{array}{rc}\frac{2\sqrt{r^2-y^2}}{\pi r^2}& |y|\le r\\ 0& else\end{array}$

$|y|<r,f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\{\begin{array}{rc}-\frac{1}{2\sqrt{r^2-y^2}}& -\sqrt{r^2-y^2}\le x\le \sqrt{r^2-y^2}\\ 0& else\end{array}$

$|x|<r,f(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\{\begin{array}{rc}-\frac{1}{2\sqrt{r^2-x^2}}& -\sqrt{r^2-x^2}\le y\le \sqrt{r^2-x^2}\\ 0& else\end{array}$

$P\{X>0|Y=0\}={\int }_0^r\frac{1}{2r}dx=0.5$

$$\begin{gathered} P\{X\le x|Y=y\}=\frac{P\{X\le x,Y\le y\}}{P\{Y=y\}}={\lim }_{ϵ\to 0}\frac{P\{X\le x,Y\le y+ϵ\}}{P\{y\le Y+ϵ\}}={\lim }_{ϵ\to 0}\frac{{\int }_{-\infty }^x\frac{1}{ϵ}{\int }_y^{y+ϵ}f(u,v)dudv}{\frac{1}{ϵ}{\int }_y^{y+ϵ}{f}_Y(v)dv}=\frac{{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv}{f_Y(y)} \\ ={\int }_{-\infty }^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du \end{gathered}$$

积分中值定理：${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$

3.2.4随机变量的独立性

扔硬币

$f(x|y)=f_X(x)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$

$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$

$P\{X\in S_x,Y\in S_y\}=P\{x\in S_x\}P\{Y\in S_y\}$

1. 二维离散的独立性

​ $P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\}$

X\Y	0	1
0	0.2	0.2	0.4
1	0.2	0.4	0.6
不独立	0.4	0.6

X\Y	0	1
0	0.2	0.3	0.5
1	0.2	0.3	0.5
独立	0.4	0.6

$0.5\times 0.4=0.2$ $0.5\times 0.6=0.3$ 独立

2)二维连续型$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

例：

一个经理，8-12时到办公室是均匀分布，秘书到达时间是7-9点，两人到达时间相互独立，求两人到达办公室时间不超过5分钟($\frac{1}{12}小时$)的概率

X是经理$f_X(x)=\{\begin{array}{rc}\frac{1}{4}& 8<x<12\\ 0& else\end{array}$

Y是秘书$f_Y(y)=\{\begin{array}{rc}\frac{1}{2}& 7<y<9\\ 0& else\end{array}$

X,Y相互独立

$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\{\begin{array}{rc}\frac{1}{8}& 8<x<12,7<y<9\\ 0& else\end{array}$

$P\{|X-Y|\le \frac{1}{12}\}={\iint }_{a}f(x,y)dxdy=\frac{1}{8}{\iint }_{G}dxdy=\frac{1}{48}$,阴影部分面积

变量是独立的，由变量构造的函数仍然独立

定理：X、Y独立，$g_1(X),g_2(Y)也独立$

$X、Y独立，X^2,Y^2,a_{1}X+b_1,a_{2}X+b_2也独立$

3.3.1二维离散型随机变量函数的分布

（1）二维离散型

X、Y分别是土地的长和宽

X\Y	4	4.2
5	0.2	0.4
5.1	0.3	0.1

Z=XY

Z	20	21	20.4	21.42
P	0.2	0.4	0.3	0.1

$Z=X^2-Y$

Z	$5^2-4$	$5^2-4.2$	$5.1^2-4$	$5.1^2-4.2$
P	0.2	0.4	0.3	0.1

例：

$X_1,X_2独立，服从0-1分布，求X_1+X_2$

$X_1$	0	1
P	1-p	p

$X_2$	0	1
P	1-p	p

$X_1+X_2$	0	1	2
P	$(1-p{)}^2$	$2p(1-p)$	$p^2$

$X_1+X_2$~$B(2,p)$，$X_1+X_2$服从二项分布

例：

X、Y独立且服从${\lambda }_1、{\lambda }_2$的泊松分布，$Z=X+Y,P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$,PS:泊松分布是离散型的！！

解：$\{Z=k\}={\Sigma }_{i=0}^k\{X=i,Y=k-i\}$

$$\begin{gathered} P\{Z=k\}={\Sigma }_{i=0}^{k}P\{X=i,Y=k-i\}={\Sigma }_{i=0}^{k}P\{X=i\}P\{Y=k-i\} \\ ={\Sigma }_{i=0}^k\frac{{\lambda }^i}{i!}{e}^{-{\lambda }_1}\frac{{\lambda }^{k-i}}{(k-i)!}{e}^{-{\lambda }_2}\frac{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^k}{k!}{e}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)} \end{gathered}$$

${\lambda }_1+{\lambda }_2$也服从泊松分布

泊松分布具有可加性

3.3.2二维连续型随机变量函数的分布

变量$(X,Y)$、联合密度$f(x,y)$,$Z=g(X,Y)$

(1)分布：$F_Z(\xi )=P\{Z\le z\}=P\{g(X,Y)\le z\}={\iint }_{D_z}f(x,y)dxdy$

$D_z=\{(x,y)|g(x,y)\le z\}$

(2)密度：$f_Z(z)$

例：

$f(x,y)=\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}},Z=\sqrt{X^2+Y^2}$

$$\begin{gathered} z<0时， \\ {F}_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\{\sqrt{X^2+Y^2}\le z\}=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} z\ge 0时， \\ {F}_Z(x)=P\{Z\le z\}=P\{\sqrt{X^2+Y^2}\le z\}=P\{X^2+Y^2\le z^2\} \\ ={\iint }_G\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy \\ ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^z\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{r^2}{2}}rdr \\ ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^z\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{r^2}{2}}\frac{1}{2}d{r}^2 \\ =1-e^{-\frac{z^2}{2}} \end{gathered}$$

$\therefore F_Z(z)=\{\begin{array}{rc}0& z<0\\ 1-e^{-\frac{z^2}{2}}& z\ge 0\end{array},f_Z(z)=\{\begin{array}{rc}0& z<0\\ z{e}^{-\frac{z^2}{2}}& z\ge 0\end{array}$

(1)

$$\begin{gathered} Z=X+Y, \\ {F}_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\{X+Y\le z\}={\iint }_{X+Y\le z}f(x,y)dxdy \\ ={\int }_{-\infty }^{+\infty }dx{\int }_{-\infty }^{z-x}f(x,y)dy,令x+y=t,则y=t-x,dy=d(t-x)=dt \\ ={\int }_{-\infty }^{+\infty }dx{\int }_{-\infty }^{z}f(x,t-x)dt,X型 \\ ={\int }_{-\infty }^z[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,t-x)dx]dt,Y型 \end{gathered}$$

变上限积分求导：上限求导 乘 代入上限

$f_Z(z)=(F_Z(z){)}^{\prime }={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx$

$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(z-y,y)dy={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_Y(y)f_X(z-y)dy$

上面两个公式是==卷积公式==

卷积公式使用条件:①$Z=X+Y$②$X、Y独立$

(2)

$X\sim N(0,1),Y\sim N(0,1),X、Y独立，Z=X+Y$

$$\begin{gathered} {\Phi }_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\Phi }_X(x)\Phi (z-x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(z-x{)}^2}{2}}dx \\ =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{z^2}{4}}{e}^{-(x-\frac{z}{2}{)}^2}dx \\ =\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{z^2}{4}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-(x-\frac{z}{2}{)}^2}d(x-\frac{z}{2}),泊松积分 \\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sqrt{2}}{e}^{\frac{x^2}{2(\sqrt{2}{)}^2}},正态分布：\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}} \end{gathered}$$

$\therefore Z\sim N(0,2)$

$若X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2),X、Y独立,则X+Y\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$

$M=max\{X,Y\},N=min\{X,Y\}$

$\{max\{X,Y\}\le z\}=\{X\le z,Y\le z\}$

$F_M(z)=P\{M\le z\}=P\{X\le z,Y\le z\}=P\{X\le z\}P\{Y\le z\}=F_X(z)F_Y(z)$

$$\begin{gathered} F_N(z)=P\{N\le z\}=1-P\{N>z\}=1-P\{X>z,Y>z\} \\ =1-P\{X>z\}P\{Y>z\} \\ =1-(1-P\{X\le z\})(1-P\{Y\le z\}) \\ =1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z)) \end{gathered}$$

$X、Y独立，X在[0,1]上为均匀分布，Y是\lambda =3的指数分布，M=max\{X,Y\},N=min\{X,Y\}$

$f_X(x)=\{\begin{array}{rc}1& 0\le x\le 1\\ 0& else\end{array},f_Y(y)=\{\begin{array}{rc}3e^{-3y}& y>0\\ 0& y\le 0\end{array}$

$F_X(x)=\{\begin{array}{rc}0& x<0\\ x& 0<x<1\\ 1& x\ge 1\end{array},F_Y(y)=\{\begin{array}{rc}1-e^{-3y}& y>0\\ 0& y\le 0\end{array}$

$M=max\{X,Y\},F_M(z)=\{\begin{array}{rc}0& z<0\\ z(1-e^{-3z})& 0\le z<1\\ 1-e^{-3z}& z\ge 1\end{array}$

$f_M(z)=\{\begin{array}{rc}0& z<0\\ z(1-e^{-3z}+3z{e}^{-3z})& 0\le z<1\\ 3e^{-3z}& z\ge 1\end{array}$

$N=min\{X,Y\},F_N(z)=\{\begin{array}{rc}0& z<0\\ 1-(1-z)e^{-3z}& 0\le z<1\\ 1& z\ge 1\end{array}$

$f_N(z)=\{\begin{array}{rc}4e^{-3z}-3z{e}^{3z}& 0\le z<1\\ 0& else\end{array}$