宋浩概率论与数理统计-第二章-笔记

第二章

2.1 随机变量的概念

定义2.1：$\Omega$是样本空间，$X=X(\omega )$是该样本空间上的实值函数（定义域是样本空间），$X$称为随机变量，一般用$X,Y,Z,\xi ,\eta ,\varsigma$表示

$\{\omega |X(\omega )=a\}$事件：$\{X=a\}$事件

离散型：有限个/无限可列个
非离散型：主要研究连续型

2.2.1 离散型随机变量及其概率分布

$X$的所有取值$x_k(k=1,2,\cdots )$（可列个）
$P(X=x_k)=P_k$ 概率函数/概率分布

概率分布表：
$\begin{array}{ccc}X& 1& 0\\ P& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}$

• $P_k\ge 0$
• $\sum P_k=1$

连续型随机变量及其概率密度函数

1. 每个小长方形的面积等于该组的频率
2. 所有小长方形的面积之和等于1
3. 介于$x=a$和$x=b$之间的面积近似等于$(a,b]$之间的频率

定义：非负可积函数$f(x)$，$f(x)\ge 0,a\le b$
$P(a<x\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$

$x$：连续型随机变量
$f(x)$：$x$的概率分布密度函数
记作$X\sim f(x)$

性质：

• $f(x)\ge 0$
• ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)=1$
• 连续型随机变量取个别值的概率为0

连续型 不考虑端点
$P(a\le x\le b)=P(a<x\le b)=P(a\le x<b)=P(a<x<b)$

概率为0的事件未必是不可能事件
概率为1的事件未必是必然事件

$X$取$x$附近值的概率大小
$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{P(x<X<x+\Delta x)}{\Delta x}=\frac{{\int }_x^{x+\Delta x}f(x)dx}{\Delta x}$

$P(x<X<x+\Delta x)\approx f(x)\Delta x$

2.2.2 分布函数的定义

定义：$F(x)=P(X\le x)$（普通的实函数）
$X$取值不超过$x$的概率
$x\in (-\infty ,+\infty ),F(x)\in [0,1]$

离散型的分布函数

性质：

1. $0\le F(x)\le 1,x\in (-\infty ,+\infty )$
2. $F(x)$不减：$\forall x_1<x_2,F(x_1)\le F(x_2)$
   $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=F(+\infty )=1$
   $\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=F(-\infty )=0$
3. $F(x)$是右连续的，至多有可列个间断点
   $\underset{x\to a^{+}}{\lim }F(x)=F(a)$

公式：
$P(X\le a)=F(a)$
$P(X>a)=1-F(a)$
$P(a<X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a)=F(b)-F(a)$
$P(X=a)=F(a)-F(a-0)$
$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a-0)$
$P(X<a)=F(a-0)$
$P(X\ge a)=1-F(a-0)$

例题

【例1】
$F(x)=\{\begin{array}{ll}a-e^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$
$\lambda >0$，求$a$

解：
$F(-\infty )=0=0$
$F(+\infty )=\underset{x\to +\infty }{\lim }(a-\frac{1}{e^{\lambda x}})=a=1$
故$a=1$

【例2】
离散型随机变量概率分布表如下：
$\begin{array}{cccc}X& -1& 2& 3\\ P& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{6}\end{array}$
求分布函数

解：
$F(x)=P(X\le x),x\in (-\infty ,+\infty )$

• $x<-1$
  $F(x)=P(X\le x)=0$
• $-1\le x<2$
  $F(x)=P(X\le x)=P(X=-1)=1/2$
• $2\le x<3$
  $F(x)=P(X\le x)=P(X=-1)+P(X=2)=5/6$
• $3\le x$
  $F(x)=P(X\le x)=P(X=-1)+P(X=2)+P(X=3)=1$

$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<-1\\ 1/2& -1\le x<2\\ 5/6& 2\le x<3\\ 1& 3\le x\end{array}$

分布函数$\to$概率函数
间断点$x_k$是$X$的取值
$P(X=x_k)=F(x_k)-F(x_k-0)$

连续型的分布函数

$F(x)=P(X\ge x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$

例题

【例3】
$f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$，求分布函数

解：
$F(x)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\pi (1+x^2)}dt=\frac{1}{\pi }\arctan t+\frac{1}{2}$

【例4】
$f(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2}x+1& 0\le x\le 2\\ 0& 其他\end{array}$

解：

• $x<0$
  $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(x)dt={\int }_{-\infty }^{x}0dt=0$
• $0\le x<2$
  $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(x)dt={\int }_{-\infty }^{0}0dt+{\int }_0^x(-\frac{1}{2}t+1)=-\frac{1}{4}{x}^2+x$
• $2\le x$
  $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(x)dt={\int }_{-\infty }^{0}0dt+{\int }_0^2(-\frac{1}{2}t+1)+{\int }_2^{x}0dt=1$

【例5】
$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ A{x}^2& 0\le x<1\\ 1& 1\le x\end{array}$，求：1. $A$；2. $f(x)$；3. $P(0.3<x<0.7)$

解：

1. 求$A$
   $F(-\infty )=\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0$
   $F(+\infty )=\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1$
   $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }F(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }A{x}^2=0=F(0)=0$
   $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }F(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }A{x}^2=A=F(1)=1$
   故$A=1$

2. $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& 0\le x<1\\ 0& 其他\end{array}$

3. $P(0.3<x<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.49-0.09=0.4$
   $P(0.3<x<0.7)={\int }_{0.3}^{0.7}f(x)dx={\int }_{0.3}^{0.7}2xdx$

2.2.3 常见的分布

离散型常见分布

0-1分布

$\begin{array}{ccc}X& 1& 0\\ P& p& 1-p\end{array}$

$P(X=k)=p^k(1-p{)}^{1-k}$
（二项分布的特例）

• 有两种结果
• 试验只做一次

几何分布

$P(A)=p$
第$k$次首次发生，前$k-1$次未发生
$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}{p}^k,k=0,1,2,\cdots$
$X\sim G(p)$

二项分布

$P(A)=p$
$n$次试验，发生了$k$次
$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\cdots ,n$
$X\sim B(n,p)$

$n=1$时，$P(X=k)=C_1^k{p}^k(1-p{)}^{1-k},k=0,1$（0-1分布）

最可能值：

1. $(n+1)p$不为整数，$[(n+1)p]$达到最大值
2. $(n+1)p$为整数，$(n+1)p$和$(n+1)p+1$都是最大值

泊松分布

$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k=1,2,3,\cdots$
$\lambda >0$
$X\sim P(\lambda )$

电台收到的呼叫次数，公用设施（候车，收银台，一员挂号处）

计算方式：查表

二项分布可以用泊松分布近似
条件：$n$较大，$p$较小，$np$适中（$n\ge 100,np\le 10$）

例题
【例5】电话台用户呼叫次数$X\sim P(3)$，写出$X$的概率函数，以及一分钟呼叫不超过5次的概率

解：
$X\sim P(3)$
$\lambda =3$
$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }=\frac{3^k}{k!}{e}^{-3},k=0,1,2,\cdots$

$P(x\le 5)=\sum _{k=0}^{5}P(X=k)=0.916$

【例6】证券营业部有1000个账户，每户存了10万元，每个账户来提20%的概率时0.006，问应该准备多少现金，才能保证95%以上的概率满足提款要求

解：
$10\times 0.2=2$（万元）
设：$X$：提钱的用户数，$X\sim B(1000,0.006)$，准备现金$x$元
$P(2X\le x)\ge 0.95$
$P(X\le \frac{x}{2})\ge 0.95$

$n=1000,p=0.006,np=6$
$\Rightarrow \lambda =6$

$\sum _{k=0}^{\frac{x}{2}}\frac{6^k}{k!}{e}^{-6}\ge 0.95,\frac{x}{2}\ge 10,x\ge 20$

$x=20$

【例7】
某种非传染病发病率为0.001，某单位有5000人，至少两人的病的概率？

解：
$X$：得病的人数，$X\sim B(5000,0.001)$
$P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

$n=5000,p=0.001,np=5$
$\Rightarrow \lambda =5$
$P(X\ge 2)=1-0.006738-0.03369=0.959572$

超几何分布

100学生，男生60人，女生40人，任取10人，$X$：取到的男生人数
$P(X=k)=\frac{C_{60}^k{C}_{40}^{10-k}}{C_{100}^{10}}$

定义：$N$个元素，$N_1$个属于第一类，$N_2$个属于第二类，取$n$个，$X$：$n$个中属于第一类的个数
$P(X=k)=\frac{C_{N_1}^k{C}_{N_2}^{n-k}}{C_N^n},k=0,1,2,\cdots ,\min \{n,N_1\}$

超几何分布可以用来描述不放回抽样的实验
当$N$很大，$n$相对$N$很小时，$p=\frac{M}{N}$改变甚微，不放回抽样可以看作放回抽样
$P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\approx C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

例题
【例9】
10000粒种子，发芽率99%，取200粒至多1粒不发芽的概率？

解：
$10000\times (1-99\%)=100$（粒）
发芽9900粒，不发芽100粒
$N_1=100,N_2=9900,n=200$
$P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)=\frac{C_{100}^0{C}_{9900}^{200}}{C_{10000}^{200}}+\frac{C_{100}^1{C}_{9900}^{199}}{C_{10000}^{200}}$

用二项分布近似：
$n=200,p=0.01$
$P(X\le 1)=C_{200}^{0}0.01^{0}0.99^{200}+C_{200}^{1}0.01^{1}0.99^{199}$

用泊松分布近似：
$n=200\ge 100$较大，$p=0.01$较小，$np=2\le 10$大小适中
$\lambda =2$
$k=1,0$
查表：$P=0.1353+0.2707=0.406$

连续型常见分布

均匀分布

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a}& a\le x\le b\\ 0& else\end{array}$

$X\sim U[a,b]$

分布函数：
$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt=\{\begin{array}{ll}0& x<a\\ \frac{x-a}{b-a}& a\le x<b\\ 1& x\le b\end{array}$

$X\sim [a,b],[c,d]\subset [a,b]$
$P(c\le x\le d)={\int }_c^d\frac{1}{b-a}dt=\frac{d-c}{b-a}$
落在$[a,b]$上任意子区间的概率与子区间的长度成正比，与子区间的位置无关

指数分布

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$
$\lambda >0,X\sim E_{xp}(\lambda )$

$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda X}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$

服务系统的服务时间，电话的通话时间，消耗性产品的寿命

正态分布

密度函数：
$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<+\infty$

记作$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

已知${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx$（高数知识）

则有：
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{+\infty }\Phi (x)dx \\ ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx \\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx \\ =\frac{\sqrt{2}\sigma }{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-(\frac{x-\mu }{\sqrt{2}\sigma }{)}^2}d(\frac{x-\mu }{\sqrt{2}\sigma }) \\ =\frac{1}{\sqrt{\pi }}\sqrt{\pi } \\ =1 \end{gathered}$$

分布函数：
$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt$

性质：

1. $y=\varphi (x)$以$x=\mu$为对称轴
2. $x=\mu$时，$\varphi (x)$取最大值$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$
3. $y=\varphi (x)$以$x$轴为渐近线，$x=\mu \pm \sigma$时有拐点
4. $\sigma$固定，$\mu$变化：图像左右移动
5. $\mu$固定，$\sigma$变化：$\sigma$变小，最高点上移（变陡）；$\sigma$变大，最高点下移（变缓）

标准正态分布：
$\mu =0,\sigma =1$
${\varphi }_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}},-\infty <x<+\infty$
${\Phi }_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$

性质：
$y$轴为对称轴（偶函数）
${\varphi }_0(x)={\varphi }_0(-x)$
${\Phi }_0(-x)=1-{\Phi }_0(x)$

如果一个指标的影响因素有很多，每个因素起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布

计算：
$\{\begin{array}{ll}0\le x\le 5& 查表\\ x\ge 5& {\varphi }_0(x)=0,{\Phi }_0(x)=1\\ x\le -5& {\varphi }_0(x)=0,{\Phi }_0(x)=0\\ -5\le x\le 0& {\varphi }_0(x)={\varphi }_0(-x),{\Phi }_0(-x)=1-{\Phi }_0(x)\end{array}$

一般正态分布向标准正态分布转化：
$\varphi (x)=\frac{1}{\sigma }{\varphi }_0(\frac{x-\mu }{\sigma })$
$\Phi (x)={\Phi }_0(\frac{x-\mu }{\sigma })$

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$
$P(|X-\mu |<\sigma )=0.6826$
$P(|X-\mu |<2\sigma )=0.9544$
$P(|X-\mu |<3\sigma )=0.9974$

$3\sigma$准则
如果一个系统设计时服从正态分布，在检验时不符合$3\sigma$准则，则不合格

$X\sim (0,1)$，给定$\alpha (0<\alpha <1)$，找到$u_{\alpha }$满足$P(X>u_{\alpha })=\alpha$，$u_{\alpha }$称为上$\alpha$分位数
$u_{0.05}=1.645$
$u_{0.025}=1.96$
$u_{0.01}=2.33$

2.3.1 随机变量函数的分布

已知$X$是某分布，求$Y=f(X)$是什么分布

离散型

例
已知：
$\begin{array}{ccccc}X& 7& 8& 9& 10\\ P& 0.1& 0.3& 0.4& 0.2\end{array}$
$Y=4X$

则有：
$\begin{array}{ccccc}Y& 28& 32& 36& 40\\ P& 0.1& 0.3& 0.4& 0.2\end{array}$

连续型

设$X$的密度函数是$f_X(x),y=g(x),Y=g(X)$

1. $F_Y(x)\to F_X(x)$
2. 两边求导：$f_Y(x)\leftarrow f_X(x)$

例题
【例1】
已知：$X$的密度函数为$f_X(x)$，$Y=3X+2$
解：
$F_Y(x)=P(Y\le x)=P(3X+2\le x)=P(X\le \frac{x-2}{3})=F_X(\frac{x-2}{3})$
两边求导，得：
$f_Y(x)=\frac{1}{3}{f}_X(\frac{x-2}{3})$

特别地，若$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4}& 0\le x\le 4\\ 0& else\end{array}$
则$f_Y(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{12}& 2\le x\le 14\\ 0& else\end{array}$

若$X$服从$[a,b]$的均匀分布，则$Y=kX+c$也服从相应区间（$[ka+c,kb+c]$或$[kb+c,ka+c]$）上的均匀分布。

【例2】
$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),Y=aX+b,a\ne 0$
解：

• $a>0$时，$F_Y(x)=P(Y\le x)=P(aX+b\le x)=P(X\le \frac{x-b}{a})=\Phi (\frac{x-b}{a})$
  $f_Y(x)=\frac{1}{a}\varphi (\frac{x-b}{a})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(\frac{x-b}{a}-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }a\sigma }{e}^{-\frac{(x-(b+a\mu ){)}^2}{2a^2{\sigma }^2}}$

• $a<0$时，$f_Y(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }(-a)\sigma }{e}^{-\frac{(x-(b+a\mu ){)}^2}{2a^2{\sigma }^2}}$

故有$Y\sim N(a\mu +b,(a\sigma {)}^2)$

定理：
若$X$的密度函数为$f_X(x),Y=kX+b(k\ne 0),f_Y(x)=\frac{1}{|k|}{f}_X(\frac{x-b}{k})$

【例3】
$X\sim N(0,1),Y=X^2$
解：
$x<0$时，$F_Y(x)=P(Y\le x)=P(X^2\le x)=0$
$x\ge 0$时，$F_Y(x)=P(Y\le x)=P(X^2\le x)=P(-\sqrt{x}\le X\le \sqrt{x})={\int }_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=2{\int }_0^{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$
$f_Y(x)=2\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x}{2}}\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x}{2}}{x}^{-\frac{1}{2}}$

综上，$f_Y(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x}{2}}{x}^{-\frac{1}{2}}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$