宋浩概率论与数理统计-第八章-笔记

第八章 假设检验

8.1 基本概念

一、假设检验问题

总体的分布未知：

• 分布类型未知（非参数假设$\to$非参数假设检验）
• 参数未知（参数假设$\to$参数假设检验）

二、假设检验基本概念

1. 假设（参数假设/非参数假设）
2. 假设检验（检验假设成立与否）（参数假设检验/非参数假设检验）
3. 假设检验问题（显著性假设检验问题/$H_0$对$H_1$假设检验问题）

三、假设检验的思想与步骤

举例：100个球（红白两色），张三：“有99个白球”，任取一球是红球，问张三说的对吗？
解：假设张三说得对——99白1红
$P(任取一球为红球)=1/100$
与“小概率实际不发生”，矛盾，因此认为张三说的不对

1. 思想

构造统计量$\stackrel{在H_0成立时}{⟹}T$的分布已知
检验法则$⟺P(T\in I)=\alpha$（小概率）

$P((X_1,\cdots ,X_n)\in W)=\alpha$（$H_0$的拒绝域）
$P((X_1,\cdots ,X_n)\in \overline{W})=1-\alpha$（$H_0$的接受域）

2. 步骤

第一步：提出$H_0$与$H_1$
第二步：假定$H_0$成立，取统计量$T\sim$已知分布
第三步：给$\alpha$找到拒绝域$P((X_1,\cdots ,X_n)\in W)=\alpha$
第四步：由样本$(x_1,\cdots ,x_n)$求出$T$的值，若$(x_1,\cdots ,x_n)\in W⟹$拒绝$H_0$；若$(x_1,\cdots ,x_n)\in \overline{W}⟹$接受$H_0$

四、两类错误

第一类错误：弃真
$P(拒绝H_0|H_0为真)=\alpha$
第二类错误：纳伪
$P(接受H_0|H_0为假)=\beta$

确保$\alpha$的前提下尽可能减小$\beta$

例
【例1】某化工厂用包装机自动包装洗衣粉。
已知洗衣粉重量（克）$X\sim N(\mu ,2^2)$，机器正常工作时，$\mu =500g$
某日开工后随机取9袋，其重量：500，499，502，506，498，498，497，510，503
假定$\sigma =2$不变，问包装机工作是否正常？
解：
重量不是恰好$500g$原因：

• 随机误差（正常）
• 条件误差（不正常）

提出$H_0:\mu =500,h_1:\mu \ne 500$

假定$H_0$成立，$X\sim N(500,4)$
$\overline{X}\sim N(500,\frac{4}{9})⟹U=\frac{\overline{X}-500}{2/3}\sim N(0,1)$

$P(|U|>u_{\frac{\alpha }{2}})=\alpha$
$\overline{x}=\frac{1}{9}\sum _{i=1}^9{x}_i=502$
设$\alpha =0.05\Rightarrow u_{\frac{\alpha }{2}}=1.96$

$|u|=\frac{|502-500|}{2/3}=3>u_{\frac{\alpha }{2}}=1.96$
与“小概率实际不发生”矛盾
拒绝$H_0$，接受$H_1$

【例2】某厂灯管，寿命$X\sim N(\mu ,40000)$，平均寿命$\mu =1500$小时
采取新工艺后，抽25只，平均寿命$\overline{x}=1675$小时
问新工艺后，灯泡寿命是否有显著提高？
解：
$H_0:\mu =1500$（原假设）
$H_1:\mu >1500$（备择假设/对立假设）

8.2 一个正态总体的参数假设检验

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$为取自$X$的样本，检验水平$\alpha$

一、$\mu$的假设检验

提出假设：

1. $H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$
2. $H_0:\mu \le {\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0$
3. $H_0:\mu \ge {\mu }_0,H_1:\mu <{\mu }_0$

$U$检验法：${\sigma }^2={\sigma }_0^2$已知，检验$H_0:\mu ={\mu }_0$

（以双侧检验为例）
第一步：$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$

第二步：假定$H_0$成立，$X\sim ({\mu }_0,{\sigma }_0^2)$
取统计量$U=\frac{\overline{X}-\mu }{{\sigma }_0/\mu }\sim N(0,1)$

第三步：给定$\alpha$，由$P\{|U|>u_{\frac{\alpha }{2}}\}=\alpha$，查表得$u_{\frac{\alpha }{2}}$
拒绝域：$W=\{(x_2,\cdots ,x_n)||u|>u_{\frac{\alpha }{2}}\}$

第四步：计算$U$的值$|u|$与$u_{\frac{\alpha }{2}}$比较，下结论——若$|u|>u_{\frac{\alpha }{2}}$，拒绝$H_0$；若$|u|<u_{\frac{\alpha }{2}}$，接受$H_0$；若$|u|=u_{\frac{\alpha }{2}}$，为慎重起见，再抽样，再检验。

例
【例1】某面粉厂用包装机包装面粉，每袋面粉的标准重量为10千克，现任取5袋：10.1，10，9.8，9.9，9.9，假设袋装面粉重$X\sim N(\mu ,0.1^2)$，问包装机是否工作正常？（$\alpha =0.05$）
解：
提出$H_0:\mu =10,H_1:\mu \ne 10$

假定$H_0$成立，$X\sim N(10,0.1^2)$，$U=\frac{\overline{X}-10}{0.1/\sqrt{5}}\sim N(0,1)$

$\alpha =0.05,P(|U|>u_{\frac{\alpha }{2}})=0.05⟹u_{\frac{\alpha }{2}}=1.96$
$W=\{(x_1,\cdots ,x_5)||u|>1.96\}$

计算$\overline{x}=9.94,|u|=1.34<u_{\frac{\alpha }{2}}=1.96$

接受$H_0$，认为包装机工作正常

【例2】规定灯泡的平均寿命不低于1200小时。现任取5只灯泡侧寿命：1170,1210，1220，1180，1190，设灯泡寿命$X\sim N(\mu ,20^2)$，问这批灯泡是否合格。（$\alpha =0.05$）
解：
提出$H_0:\mu =1200,H_1:\mu <1200$
假定$H_0$成立，$X\sim N(1200,20^2)$
$U=\frac{\overline{X}-1200}{20/\sqrt{5}}\sim N(0,1)$

$\alpha =0.05,W=\{(x_1,\cdots ,x_5)|u<-u_{\alpha }\}$
计算$\overline{x}=1194,u=\frac{1194-1200}{20/\sqrt{5}}=-0.67>-1.64$
接受$H_0$，认为该批次灯泡合格。

$T$检验法：${\sigma }^2$未知，检验$H_0:\mu \ne {\mu }_0$

（以双侧检验为例）
第一步：提出$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$

第二步：假定$H_0$成立，取$T=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

第三步：给定$\alpha$，由$P(|T|>t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1))=\alpha$
拒绝域$W=\{(x_1,\cdots ,x_n)||t|>t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)\}$

第四步：计算$T$的值，与$t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)$比较，下结论

例
【例1】从一批灯泡中取50只测寿命，$\overline{x}=1900$小时，$S=490$小时，以$\alpha =1\%$的水平检验这批灯泡的平均寿命是否是2000小时？（假设灯泡寿命$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$）
解：
提出$H_0:\mu =2000,H_1:\mu \ne 2000$

假定$H_0$成立，取$T=\frac{\overline{X}-2000}{s/\sqrt{50}}\sim t(49)$

$\alpha =0.01⟹t_{\frac{\alpha }{2}}(49)=2.68$
$W=\{(x_1,\cdots ,x_{50})||t|>2.68\}$

计算$T$的值：$|t|=|\frac{\overline{x}-2000}{s/\sqrt{50}}|=1.44<2.68$

接受$H_0$，认为平均寿命为2000小时

总结

二、${\sigma }^2$的假设检验

${\chi }^2$检验法：$\mu ={\mu }_0$已知，检验${\sigma }^2={\sigma }_0^2$

（以双侧检验为例）
第一步：$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }_0\ne {\sigma }_0^2$

第二步：假定$H_0$成立，$X\sim N({\mu }_0,{\sigma }_0^2)$，$X_1,\cdots ,X_n$为样本
取统计量${\chi }^2=\frac{\sum _{i=1}^n(X_i-{\mu }_0{)}^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n)$

第三步：给定$\alpha$，由$P({\chi }^2>{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(n)=P({\chi }^2>{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n))=\frac{\alpha }{2}$，查表得${\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(n),{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n)$
拒绝域$W=\{{\chi }^2>{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(n)或{\chi }^2<{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n)\}$

第四步：计算${\chi }^2$值，比较，下结论

${\chi }^2$检验法：$\mu$未知，检验${\sigma }^2={\sigma }_0^2$

（以双侧检验为例）
第一步：$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }_0\ne {\sigma }_0^2$

第二步：假定$H_0$成立，$X\sim N(\mu ,{\sigma }_0^2)$，$X_1,\cdots ,X_n$为样本
取统计量${\chi }^2=\frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

第三步：给定$\alpha$，由$P({\chi }^2>{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(n-1)=P({\chi }^2>{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n-1))=\frac{\alpha }{2}$，查表得${\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(n-1),{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n-1)$
拒绝域$W=\{{\chi }^2>{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(n-1)或{\chi }^2<{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n-1)\}$

第四步：计算${\chi }^2$值，比较，下结论

例题
【例1】设成年男子身高$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，现从某团体随机抽20名：$\overline{x}=1.702,S=0.07$，试检验总体方差是否是0.006？（$\alpha =0.05$）
解：
提出$H_0:{\sigma }^2=0.006,H_1:{\sigma }^2\ne 0.006$

假定$H_0$成立，取${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{0.006}\sim {\chi }^2(19)$
$\alpha =0.005⟹{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(19)={\chi }_{0.025}^2(19)=32.9,{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(19)={\chi }_{0.975}^2(19)=8.91$

计算${\chi }^2=\frac{(20-1)0.07^2}{0.006}=15.571$
$8.91<15.571<32.9$

接受$H_0$，认为总体的方差是0.006

【例2】某种导线，要求电阻的标准差为0.005，现从一批导线中取9根，测得$S=0.007$，设总体正态分布，问在$\alpha =0.05$下能认为这批导线的标准差显著偏大吗？
解：
提出$H_0:{\sigma }^2=0.005^2,H_1:{\sigma }^2>0.005^2$

假定$H_0$成立，$X\sim N(\mu ,0.005^2)$
${\chi }^2=\frac{(n-1)S}{0.005^2}\sim {\chi }^2(8)$

$\alpha =0.05⟹{\chi }_{\alpha }^2(8)=15.5$

计算${\chi }^2=\frac{8\times 0.007^2}{0.005^2}=15.68>15.5$

拒绝$H_0$，认为导线的标准差显著偏大

总结

8.3 两个正态总体的参数假设检验

$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$X_1,\cdots ,X_{n_1}$为样本，$\overline{X}$，$S_1^2$
$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，$Y_1,\cdots ,Y_{n_2}$为样本，$\overline{Y}$，$S_2^2$

均值${\mu }_1,{\mu }_2$差异性检验

1. 假设$H_0:{\mu }_1={\mu }_2,H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$
2. 假设$H_0:{\mu }_1\le {\mu }_2,H_1:{\mu }_1\ngtr {\mu }_2$
3. 假设$H_0:{\mu }_1\ge {\mu }_2,H_1:{\mu }_1\nless {\mu }_2$

$U$检验法：${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$已知，检验$H_0:\mu ={\mu }_0$

（以双边检验为例）
第一步：提出$H_0:{\mu }_1={\mu }_2,H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$

第二步：假定$H_0$成立
$\overline{X}-\overline{Y}\sim N({\mu }_1-{\mu }_2,\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2})$
$⟹$ 取 $U=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$

第三步：给定$\alpha$，由$P(|U|>u_{\frac{\alpha }{2}})=\alpha$，查表得$u_{\frac{\alpha }{2}}$
拒绝域$W=\{(x_1,\cdots ,x_{n_1})(y_1,\cdots ,y_{n_2})||u|>u_{\frac{\alpha }{2}}\}$

第四步：计算$|u|$，$|u|$与$u_{\frac{\alpha }{2}}$比较，下结论

$T$检验法：${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$未知，${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }^2$，检验$H_0:\mu ={\mu }_0$

（以双边检验为例）
第一步：提出$H_0:{\mu }_1={\mu }_2,H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$

第二步：假定$H_0$成立，取$T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)$

第三步：给定$\alpha$，由$P(|T|>t_{\frac{\alpha }{2}})=\alpha$，查表得$t_{\frac{\alpha }{2}}(n_1+n_2-2)$
拒绝域$W=\{(x_1,\cdots ,x_{n_1})(y_1,\cdots ,y_{n_2})||t|>t_{\frac{\alpha }{2}}\}$

第四步：计算$|t|$，$|t|$与$t_{\frac{\alpha }{2}}$比较，下结论

例题
【例1】卷烟厂向化验室送去$A,B$两种烟草，化验尼古丁含量是否相同，从$A,B$各取5例化验：A：24，27，26，21，24；B：27，28，23，31，26，设A的尼古丁含量$X\sim N({\mu }_1,5)$，B的尼古丁含量$Y\sim N({\mu }_2,8)$，问两种烟草尼古丁平均含量是否有差异（$\alpha =0.05$）
解：
提出$H_0:{\mu }_1={\mu }_2,H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$

假设$H_0$成立，${\sigma }_1^2=5,{\sigma }_2^2=8$，取$U=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{5}{5}+\frac{8}{5}}}\sim N(0,1)$

$\alpha =0.05⟹u_{\frac{\alpha }{2}}=1.96$
拒绝域$W=\{(x_1,\cdots ,x_{n_1})(y_1,\cdots ,y_{n_2})||u|>1.96\}$

$\overline{x}=24.4,\overline{y}=27$
$|u|=1.612<u_{\frac{\alpha }{2}}=1.96$

接受$H_0$，认为两种烟草尼古丁的平均含量无差异

【例2】要考察温度对针织品断裂强力的影响，为了比较70℃和80℃的影响有无差别，分别做5次试验：
70℃强力：20.5，18.8，19.8，20.9，21.5，$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }^2)$
80℃强力：17.7，20.3，20.0，18.1，19.0，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }^2)$
问两种温度下，强力是否有显著差异？（$\alpha =0.05$）
解：
提出$H_0:{\mu }_1={\mu }_2,H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$

假设$H_0$成立，${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }^2$未知，取$T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{4S_1^2+4S_2^2}{8}}\sqrt{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}}}\sim t(8)$

$\alpha =0.05⟹t_{\frac{\alpha }{2}}(8)=2.306$
拒绝域$W=\{(x_1,\cdots ,x_{n_1})(y_1,\cdots ,y_{n_2})||t|>2.306\}$

$\overline{x}=20.3,\overline{y}=19.02,(n_1-1)S_1^2=4.34,(n_2-1)S_2^2=5.188$
$|t|=1.855<t_{\frac{\alpha }{2}}(8)=2.306$

接受$H_0$，认为两种温度下强力无显著差异

总结

方差${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$差异性检验

1. 假设$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$
2. 假设$H_0:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2$
3. 假设$H_0:{\sigma }_1^2\ge {\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2<{\sigma }_2^2$

${\mu }_1,{\mu }_2$都未知，检验$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$

（以双侧检验为例）
第一步：提出$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$

第二步：假设$H_0$成立，取$F=\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$

第三步：给定$\alpha$，由$P(F>F_{\frac{\alpha }{2}})=P(F<F_{1-\frac{\alpha }{2}})=\frac{\alpha }{2}$
（计算时用到公式：$F_{1-\frac{\alpha }{2}}(n_1-1,n_2-1)=F_{\frac{\alpha }{2}}(n_2-1,n_1-1)$）
拒绝域$W=\{(x_1,\cdots ,x_{n_1})(y_1,\cdots ,y_{n_2})|f>f_{\frac{\alpha }{2}}(n_1-1,n_2-1)或f<f_{1-\frac{\alpha }{2}}(n_1-1,n_2-1)\}$

第四步：计算$F$的值$f$，比较，下结论

例题
【例1】从两处煤矿各抽样数次，分析其含灰率。设各煤矿含灰率都服从正态分布，$n_1=5,n_2=4$，得$S_1^2=7.505,S_2^2=2.593$，问两处煤矿含灰率的方差有无显著差异？（$\alpha =0.05$）
解：
提出$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$

若$H_0$成立，取$F=\frac{S{1}^2}{S_2^2}\sim F(4,3)$

$\alpha =0.05,F_{0.025}(4,3)=15.10,F_{0.975}(4,3)=\frac{1}{F_{0.025}(3,4)}=\frac{1}{9.98}$

计算$f=\frac{7.505}{2.593}=2.894$
$0.1<f<15.1$
接受$H_0$，认为两处煤矿含灰率的方差无显著差异

【例2】甲乙两台机床产同一滚珠，其直径都服从正态分布。现从两台车床生产产品分别取8个和9个测量直径得$S_1^2=0.096,S_2^2=0.026$，问甲车床滚珠直径的方差是否不超过乙车床？
解：
提出$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2$

若$H_0$成立，取$F=\frac{S{1}^2}{S_2^2}\sim F(7,8)$
$\alpha =0.05,F_{0.05}(7,8)=3.50$

计算$F$的值，$f=\frac{0.096}{0.026}=3.96>3.5$
拒绝$H_0$，认为甲车床生产滚珠直径的方差超过乙车床

【例3】若将【例1】中的问题修改为“问两处煤矿含灰率的平均值有无显著差异？”
解：
先检验：$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$
$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(4,3)⟹$接受$H_0⟹{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$

再检验：$H_0:{\mu }_1={\mu }_2,H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$（${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$且未知 条件下）

区间估计——参数未知，利用统计量估计未知的参数
假设检验——参数已知，利用统计量检验已知的参数是否靠谱