六自由度机器人（机械臂）运动学建模及运动规划系列（二）——运动学分析

本篇主要介绍六轴机械臂的运动学分析。
运动学分析是工业机器人研究和应用的重要内容，是运动控制的基础，主要研究机器人末端坐标系与基坐标系的转换关系，分为正运动学和逆运动学分析两部分。
另外，对于刚刚学习机器人理论的小伙伴，推荐看一下蔡自兴老师的《机器人学》这本书，里面对机器人介绍，运动学及动力学分析，以及运动规划等内容介绍的非常详细。

一、数理基础

在对机器人进行运动学分析时，一般将其各组成部分视为刚体，下面介绍运动学分析过程中用到的数理知识。

1. 空间位姿描述

位姿表示刚体的位置和姿态。任何一个刚体在空间基坐标系B（OXYZ）中的位置状态都可以用位姿来准确描述。
位置描述：表示刚体上的点p在空间基坐标系中的位置，可用一个三维列向量来表示：

姿态描述：在刚体上建立坐标系E（O^’ X^’ Y’Z’）并与刚体固连，则刚体坐标系在与基坐标系同原点时，相对于基坐标系的转动即为刚体的姿态描述，可用一个3×3的姿态矩阵来表示：)
在机器人运动运动学分析中，在连杆末端建立坐标系。求得末端坐标系原点在基坐标系中的位置向量以及姿态矩阵后，连杆的位置状态便随之确定。

2. 空间坐标变换

坐标系在机械系统的分析中起着至关重要的作用，系统中不同构件之间的关系都需要用坐标系来描述。在机器人系统中，常常需要定义各类坐标系，如基坐标系，末端坐标系及工具坐标系等。因此进行系统分析时，会涉及到用不同坐标系描述同一个连杆的问题，需要得到从一个坐标系描述到另一个坐标系描述的转换关系。这种转换关系包括平移，旋转，复合变换等。
1）平移变换
若坐标系{E}和坐标系{B}的姿态相同但原点不重合，则P点在两个坐标系中的位置描述满足：

2）旋转变换
若坐标系{E}和坐标系{B}的原点重合但姿态不相同，则P点在两个坐标系中的位置描述满足：

3）复合变换
若坐标系{E}和坐标系{B}的原点不重合且姿态不相同，则将前面两种变换结合在一起，P点的位置描述满足：

2. 齐次矩阵与齐次变换

在机器人学中，将位置向量和姿态矩阵结合起来，形成一个4×4的矩阵，称为齐次矩阵，来统一描述构件的位置和姿态，齐次矩阵表示为：

齐次矩阵不但可以描述构件在空间中的位姿，还可以描述不同坐标系的位姿变换过程。在描述点的坐标时，通过在三维坐标中加入比例因子1，将其变为齐次坐标：
用P点的齐次坐标左乘齐次变换矩阵，得到其在不同坐标系下的位置描述，这种变换称为齐次变换，变换过程可以表示为：

拥有以上数理基础后，可以进行运动学建模及分析。

二、运动学建模

对于多关节串联型的工业机器人，一般采用D-H法建模。D-H 法是 Denavit和Hartenberg在1955年提出的，通过在机器人所有连杆上建立固连坐标系，用齐次变换矩阵描述相邻连杆的关系。下图为D-H法的通用连杆-关节示意图。

D-H法分为标准D-H法和改进D-H法两种，两者在连杆参数定义及变换顺序上略有不同。两种方法均定义了四个参数，包括关节转角θ，关节偏距d，连杆扭角α以及连杆长度a。两种建模方法的不同如下表所示：

	D-H法	改进D-H法
固连坐标系	以连杆后一个关节坐标系为其固连坐标系	以连杆前一个关节坐标系为其固连坐标系
相邻关节坐标系变换顺序	θ，d，a，α	a，α，d，θ或者α，a，θ，d

1.建立连杆坐标系

D-H法建模的第一步，需要根据机器人确定连杆坐标系。其中，各个坐标系的Z轴方向与关节旋转方向相同，X轴与Y轴的确定可具体查阅资料，D-H法和改进D-H法确定X轴的方式也是不同的。建好的坐标系如下图：

2. 确定连杆参数

这里以改进D-H法为例，介绍四个参数的确定方法。
连杆i-1坐标系经过2次旋转和2次平移可以变换到连杆i的坐标系。这4次变换分别为:
(1) 沿Xi-1轴平移ai-1, 将Oi-1移动到O′i-1;
(2) 以Xi-1为转轴, 旋转αi-1角度, 使新的Zi-1轴与Zi轴同向;
(3) 沿Zi平移di, 使O′i-1移动到Oi;
(4) 以Zi轴为转轴, 旋转θi角度, 使新的Xi-1轴与Xi轴同向。
通过四次变换，便可得到各连杆参数表。对应上图的连杆参数表如下：

三、运动学分析

求解机器人各连杆关节的运动关系称为机器人运动学。已知各连杆夹角以及其余连杆坐标系参数，求解末端执行器的位姿，称为机器人的正运动学求解，反之称为逆运动学求解。

1. 正运动学求解

相邻坐标系的转换关系可以由其变换矩阵表示。 根据前述，连杆i-1坐标系经过2次旋转和2次平移可以变换到连杆i的坐标系，将这四次变换分别用矩阵表示出来，然后相乘就可以得到相邻关节的变换矩阵。
对于改进D-H法而言，变换矩阵可以表示为：

将各个连杆参数代入，便可得到形如下式的变换矩阵：

最后，将各个关节的变换矩阵相乘，便得到总的变换矩阵：

至此我们得到了机器人的正运动学方程，即求得了运动学的正解。

2. 逆运动学求解

求取机器人的逆解，就是在已知末端执行器位姿的情况下，经过矩阵变换，求得各个关节的转角，从而控制机器人达到理想的位姿。
求逆解的一般方法为：在如上图所示的矩阵方程两端，同时乘单个T矩阵的逆矩阵，接着进行观察，令等号两端矩阵特定元素对应相等，得到方程进行求解。
那我所求的逆解举例，首先在正运动学求解过程中，得到了矩阵的具体形式。在求逆解时，矩阵

的元素是已知的，因此通过观察，令等式两端矩阵中的（1,4），（2,4），（3,4）元素对应相等，可以得到方程

进而得到前三个关节角的解析解：

2.1 求逆解时的注意点：

（1）由于反三角函数的性质，一个三角函数值对应两个角度，因此求出的逆解往往有多组。常见情况下，对六自由度机械臂而言，求出的逆解有八组。
（2）求逆解过程中计算复杂（涉及大量矩阵运算和解三角函数方程），且没有统一的计算方法，所以刚开始求解时，一定要沉下心来，并且多加练习，就可以掌握规律，求得正确结果。

四、总结

本篇主要介绍了六轴机械臂的运动学建模以及正逆运动学求解过程，为后续运动规划奠定基础。