卷积神经网络(CNN)——图像卷积

一、为什么要对图像做卷积?

神经网络中的多层感知机(MLP)十分适合处理表格数据,其中行对应样本,列对应特征。正如我们之前使用 MLP 对 Fashion-MNIST 数据集进行训练和预测的那样,输入的图片是一个 28 x 28 的二维张量(图片的通道数为 1),我们将每张图片 reshape 成一个 1 x 784 的张量作为 MLP 的输入,其中 784 就是一个样本的特征。

但是目前几乎任何图片都有着非常高的像素,例如,在之前猫狗分类的例子中: 假设我们有一个足够充分的照片数据集,数据集中是拥有标注的照片,每张照片具有百万级像素,这意味着网络的每次输入都有一百万个维度。 即使将隐藏层维度降低到1000,这个全连接层也将有 10^6 × 10^3 = 10^9 个参数。 想要训练这个模型将不可实现,因为需要有大量的GPU、分布式优化训练的经验和超乎常人的耐心。

我们使用一个还不错的相机采集图片(12M 像素),M 代表 Million,则一张 RGB 图片有 36M 像素。使用具有 100 个隐藏单元的单隐藏层 MLP,模型就有 3.6B 参数,B 代表 Billion。远多于世界上所有猫和狗的总数(900M 狗,600M 猫)

卷积神经网络(CNN)——图像卷积_第1张图片

然而,如今人类和机器都能很好地区分猫和狗: 这是因为图像中本就拥有丰富的结构,而这些结构可以被人类和机器学习模型使用。 卷积神经网络(convolutional neural networks,CNN)是机器学习利用自然图像中一些已知结构的创造性方法。 

图像本身就包含了丰富的特征信息,比如图像的边缘信息等,为了有效减少网络模型输入参数的数量,同时又不损坏图片的信息,我们就需要提取图像的特征信息。卷积操作的主要目的就是对图像进行降维以及特征提取。

二、卷积层 

1、互相关运算 

在卷积层中,输入张量和核张量通过(互相关运算)产生输出张量。

首先,我们暂时忽略通道(第三维)这一情况,看看如何处理二维图像数据和隐藏表示。假设输入是高度为 3、宽度为 3 的二维张量(即形状为3 × 3)。卷积核的高度和宽度都是 2,而卷积核窗口(或卷积窗口)的形状由内核的高度和宽度决定(即2 × 2)。

卷积神经网络(CNN)——图像卷积_第2张图片

在二维互相关运算中,卷积窗口从输入张量的左上角开始,从左到右、从上到下滑动。 当卷积窗口滑动到新一个位置时,包含在该窗口中的部分张量与卷积核张量进行按元素相乘,得到的张量再求和得到一个单一的标量值,由此我们得出了这一位置的输出张量值。

在上面的例子中,输出的运算如下:

卷积神经网络(CNN)——图像卷积_第3张图片 

注意,输出大小略小于输入大小。这是因为卷积核的宽度和高度大于 1, 而卷积核只与图像中每个大小完全适合的位置进行互相关运算。 所以,输出大小等于输入大小 Nh×Nw 减去卷积核大小 Kh×Kw,即: (Nℎ−Kℎ+1)×(N−K+1). 其中 h, w 为高和宽

2、二维卷积层 

卷积神经网络(CNN)——图像卷积_第4张图片 

下面是使用不同的 Kernel 对图像进行卷积得到的结果:

卷积神经网络(CNN)——图像卷积_第5张图片 

三、代码实现 

1、二维互相关运算

首先,我们导入相关的包

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

接下来我们定义函数 corr2d() 实现二维互相关运算

def corr2d(X, K):  #@save
    """计算二维互相关运算"""
    h, w = K.shape
    Y = torch.zeros((X.shape[0] - h + 1, X.shape[1] - w + 1))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            Y[i, j] = (X[i:i + h, j:j + w] * K).sum()
    return Y

通过上述例子中的输入张量 X 和卷积核张量 K,我们来[验证上述二维互相关运算的输出]。

X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
K = torch.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
corr2d(X, K)

2、卷积层 

卷积层对输入和卷积核权重进行互相关运算,并在添加标量偏置之后产生输出。 所以,卷积层中的两个被训练的参数是卷积核权重和标量偏置。 就像我们之前随机初始化全连接层一样,在训练基于卷积层的模型时,我们也随机初始化卷积核权重。

基于上面定义的 corr2d() 函数[实现二维卷积层]。在 __init__ 构造函数中,将 weight 和 bias 声明为两个模型参数。前向传播函数调用 corr2d() 函数并添加偏置。

class Conv2D(nn.Module):
    def __init__(self, kernel_size):
        super().__init__()
        self.weight = nn.Parameter(torch.rand(kernel_size))
        self.bias = nn.Parameter(torch.zeros(1))

    def forward(self, x):
        return corr2d(x, self.weight) + self.bias

高度和宽度分别为 h 和 w 的卷积核可以被称为 h * w 卷积或 h * w 卷积核。 我们也将带有 h * w 卷积核的卷积层称为 h * w 卷积层。

3、卷积层的简单应用-图像中目标的边缘检测

首先,我们构造一个 6 x 8 像素的黑白图像。中间四列为黑色(0),其余像素为白色(1)。

X = torch.ones((6, 8))    # 生成 6 行 8 列且元素全为 1 的二维张量
X[:, 2 : 6] = 0    # 将二维张量中的第 2 列到第 5 列 中所有行元素置为 0
X

我们的目的是找到下图中的边缘部分,即画红框的地方。

卷积神经网络(CNN)——图像卷积_第6张图片

接下来,我们构造一个高度为 1、宽度为 2 的卷积核 K。当进行互相关运算时,如果水平相邻的两元素相同,则输出为零,否则输出为非零。

K = torch.tensor([[1.0, -1.0]])

现在,我们对参数 X (输入)和 K(卷积核)执行互相关运算。 如下所示,[输出 Y 中的 1 代表从白色到黑色的边缘,-1 代表从黑色到白色的边缘],其他情况的输出为 0。

Y = corr2d(X, K)
Y

卷积神经网络(CNN)——图像卷积_第7张图片

4、学习卷积核 

如果我们只需寻找黑白边缘,那么以上 [1, -1] 的边缘检测器足以。然而,当有了更复杂数值的卷积核,或者连续的卷积层时,我们不可能手动设计滤波器。那么我们是否可以[学习由X生成Y的卷积核]呢?

现在让我们看看是否可以通过仅查看 “输入-输出” 对来学习由 X 生成 Y 的卷积核。 我们先构造一个卷积层,并将其卷积核初始化为随机张量。接下来,在每次迭代中,我们比较 Y 与卷积层输出的平方误差,然后计算梯度来更新卷积核。为了简单起见,我们在此使用内置的二维卷积层,并忽略偏置。

# 构造一个二维卷积层,它具有1个输出通道和形状为(1,2)的卷积核
conv2d = nn.Conv2d(1,1, kernel_size=(1, 2), bias=False)

# 这个二维卷积层使用四维输入和输出格式(批量大小、通道、高度、宽度),
# 其中批量大小和通道数都为1
X = X.reshape((1, 1, 6, 8))
Y = Y.reshape((1, 1, 6, 7))
lr = 3e-2  # 学习率

for i in range(10):
    Y_hat = conv2d(X)
    l = (Y_hat - Y) ** 2
    conv2d.zero_grad()
    l.sum().backward()
    # 迭代卷积核
    conv2d.weight.data[:] -= lr * conv2d.weight.grad
    if (i + 1) % 2 == 0:
        print(f'epoch {i+1}, loss {l.sum():.3f}')

经过 10 次迭代之后,误差已经降到足够低。现在我们来看看我们[所学的卷积核的权重张量]。

conv2d.weight.data.reshape((1, 2))

可以看到,我们学习到的卷积核权重非常接近我们之前定义的卷积核 K。

三、总结 

  • 卷积层将输入和核矩阵进行交叉相关(互相关运算),加上偏移后得到输出
  • 核矩阵和偏移是可学习的参数
  • 核矩阵的大小是超参数

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