卷积神经网络(CNN)——图像卷积
一、为什么要对图像做卷积?
神经网络中的多层感知机(MLP)十分适合处理表格数据，其中行对应样本，列对应特征。正如我们之前使用 MLP 对 Fashion-MNIST 数据集进行训练和预测的那样，输入的图片是一个 28 x 28 的二维张量(图片的通道数为 1)，我们将每张图片 reshape 成一个 1 x 784 的张量作为 MLP 的输入，其中 784 就是一个样本的特征。
但是目前几乎任何图片都有着非常高的像素，例如，在之前猫狗分类的例子中: 假设我们有一个足够充分的照片数据集，数据集中是拥有标注的照片，每张照片具有百万级像素，这意味着网络的每次输入都有一百万个维度。 即使将隐藏层维度降低到1000，这个全连接层也将有 10^6 × 10^3 = 10^9 个参数。 想要训练这个模型将不可实现，因为需要有大量的GPU、分布式优化训练的经验和超乎常人的耐心。
我们使用一个还不错的相机采集图片(12M 像素)，M 代表 Million，则一张 RGB 图片有 36M 像素。使用具有 100 个隐藏单元的单隐藏层 MLP，模型就有 3.6B 参数，B 代表 Billion。远多于世界上所有猫和狗的总数(900M 狗，600M 猫)
然而，如今人类和机器都能很好地区分猫和狗: 这是因为图像中本就拥有丰富的结构，而这些结构可以被人类和机器学习模型使用。 卷积神经网络（convolutional neural networks，CNN）是机器学习利用自然图像中一些已知结构的创造性方法。
图像本身就包含了丰富的特征信息，比如图像的边缘信息等，为了有效减少网络模型输入参数的数量，同时又不损坏图片的信息，我们就需要提取图像的特征信息。卷积操作的主要目的就是对图像进行降维以及特征提取。
二、卷积层
1、互相关运算
在卷积层中，输入张量和核张量通过(互相关运算)产生输出张量。
首先，我们暂时忽略通道(第三维)这一情况，看看如何处理二维图像数据和隐藏表示。假设输入是高度为 3、宽度为 3 的二维张量(即形状为3 × 3)。卷积核的高度和宽度都是 2，而卷积核窗口(或卷积窗口)的形状由内核的高度和宽度决定(即2 × 2)。
在二维互相关运算中，卷积窗口从输入张量的左上角开始，从左到右、从上到下滑动。 当卷积窗口滑动到新一个位置时，包含在该窗口中的部分张量与卷积核张量进行按元素相乘，得到的张量再求和得到一个单一的标量值，由此我们得出了这一位置的输出张量值。
在上面的例子中，输出的运算如下:
注意，输出大小略小于输入大小。这是因为卷积核的宽度和高度大于 1， 而卷积核只与图像中每个大小完全适合的位置进行互相关运算。 所以，输出大小等于输入大小 Nh×Nw 减去卷积核大小 Kh×Kw，即: (Nℎ−Kℎ+1)×(N−K+1). 其中 h, w 为高和宽
2、二维卷积层
下面是使用不同的 Kernel 对图像进行卷积得到的结果:
三、代码实现
1、二维互相关运算
首先，我们导入相关的包
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l接下来我们定义函数 corr2d() 实现二维互相关运算
def corr2d(X, K): #@save
"""计算二维互相关运算"""
h, w = K.shape
Y = torch.zeros((X.shape[0] - h + 1, X.shape[1] - w + 1))
for i in range(Y.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
Y[i, j] = (X[i:i + h, j:j + w] * K).sum()
return Y通过上述例子中的输入张量 X 和卷积核张量 K，我们来[验证上述二维互相关运算的输出]。
X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
K = torch.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
corr2d(X, K)
2、卷积层
卷积层对输入和卷积核权重进行互相关运算，并在添加标量偏置之后产生输出。 所以，卷积层中的两个被训练的参数是卷积核权重和标量偏置。 就像我们之前随机初始化全连接层一样，在训练基于卷积层的模型时，我们也随机初始化卷积核权重。
基于上面定义的 corr2d() 函数[实现二维卷积层]。在 __init__ 构造函数中，将 weight 和 bias 声明为两个模型参数。前向传播函数调用 corr2d() 函数并添加偏置。
class Conv2D(nn.Module):
def __init__(self, kernel_size):
super().__init__()
self.weight = nn.Parameter(torch.rand(kernel_size))
self.bias = nn.Parameter(torch.zeros(1))
def forward(self, x):
return corr2d(x, self.weight) + self.bias高度和宽度分别为 h 和 w 的卷积核可以被称为 h * w 卷积或 h * w 卷积核。 我们也将带有 h * w 卷积核的卷积层称为 h * w 卷积层。
3、卷积层的简单应用-图像中目标的边缘检测
首先，我们构造一个 6 x 8 像素的黑白图像。中间四列为黑色(0)，其余像素为白色(1)。
X = torch.ones((6, 8)) # 生成 6 行 8 列且元素全为 1 的二维张量
X[:, 2 : 6] = 0 # 将二维张量中的第 2 列到第 5 列 中所有行元素置为 0
X我们的目的是找到下图中的边缘部分，即画红框的地方。
接下来，我们构造一个高度为 1、宽度为 2 的卷积核 K。当进行互相关运算时，如果水平相邻的两元素相同，则输出为零，否则输出为非零。
K = torch.tensor([[1.0, -1.0]])现在，我们对参数 X (输入)和 K(卷积核)执行互相关运算。 如下所示，[输出 Y 中的 1 代表从白色到黑色的边缘，-1 代表从黑色到白色的边缘]，其他情况的输出为 0。
Y = corr2d(X, K)
Y
4、学习卷积核
如果我们只需寻找黑白边缘，那么以上 [1, -1] 的边缘检测器足以。然而，当有了更复杂数值的卷积核，或者连续的卷积层时，我们不可能手动设计滤波器。那么我们是否可以[学习由X生成Y的卷积核]呢？
现在让我们看看是否可以通过仅查看 “输入-输出” 对来学习由 X 生成 Y 的卷积核。 我们先构造一个卷积层，并将其卷积核初始化为随机张量。接下来，在每次迭代中，我们比较 Y 与卷积层输出的平方误差，然后计算梯度来更新卷积核。为了简单起见，我们在此使用内置的二维卷积层，并忽略偏置。
# 构造一个二维卷积层，它具有1个输出通道和形状为（1，2）的卷积核
conv2d = nn.Conv2d(1,1, kernel_size=(1, 2), bias=False)
# 这个二维卷积层使用四维输入和输出格式（批量大小、通道、高度、宽度），
# 其中批量大小和通道数都为1
X = X.reshape((1, 1, 6, 8))
Y = Y.reshape((1, 1, 6, 7))
lr = 3e-2 # 学习率
for i in range(10):
Y_hat = conv2d(X)
l = (Y_hat - Y) ** 2
conv2d.zero_grad()
l.sum().backward()
# 迭代卷积核
conv2d.weight.data[:] -= lr * conv2d.weight.grad
if (i + 1) % 2 == 0:
print(f'epoch {i+1}, loss {l.sum():.3f}')经过 10 次迭代之后，误差已经降到足够低。现在我们来看看我们[所学的卷积核的权重张量]。
conv2d.weight.data.reshape((1, 2))
可以看到，我们学习到的卷积核权重非常接近我们之前定义的卷积核 K。
三、总结
- 卷积层将输入和核矩阵进行交叉相关(互相关运算)，加上偏移后得到输出
- 核矩阵和偏移是可学习的参数
- 核矩阵的大小是超参数