奇异值分解与特征值分解详解

博主从一位大神处转载而来的，写得非常好，修改了一处我觉得可能是大神写的一点点小问题，

原地址: https://blog.csdn.net/MyArrow/article/details/53780972

1.1 应用领域

• 最优化问题：最小二乘问题 (求取最小二乘解的方法一般使用SVD)
• 统计分析：信号与图像处理
• 求解线性方程组：Ax=0或Ax=bAx=0或Ax=b
• 奇异值分解：可以降维，同时可以降低数据存储需求

1.2 矩阵是什么

• 矩阵是什么取决于应用场景
• 矩阵可以是： 
  
  • 只是一堆数：如果不对这堆数建立一些运算规则
  • 矩阵是一列列向量：如果每一列向量列举了对同一个客观事物的多方面的观察值
  • 矩阵是一个图像：它的每个元素代表对应位置的像素值
  • 矩阵是一个线性变换：它可以将一些向量变换为另一些向量

1.3 矩阵与线性变换

• 矩阵的本质：矩阵的本质就是线性变换

• 基-坐标系：一个基定义了一个坐标系

• 矩阵-线性变换：在线性空间中，当选定一组基（相当于确定坐标系）之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述此空间中的任何一个运行（变换），即任何一个线性变换， 都可以用一个确定的矩阵来加以描述

• 向量：向量描述对象（在选定基之后）

• 矩阵：矩阵描述对象的运动（在选定基之后）
• 运动：使某个对象发生要求的运动，就是用描述此运动的矩阵乘以运动对象的向量（运动 * 对象 = 矩阵 * 向量）
• 特征值-变换：同一个线性变换在同的坐标系（基）下的矩阵不同，但其本质相同， 所以特征值相同
• 矩阵可进行哪些线性变换？ 
  
  • 旋转
  • 缩放
  • 投影
• 矩阵包含这么多功能，当我们看着一个数据表，对它的功能一无所知，很是迷茫，为了达到我们人类的目的，大神们把它进行分解，从而达到我们人类理解、使用的目标。
• 特征向量：都是正交的，即相互垂直
• 特征值分解和奇异值分解：都是给一个矩阵(线性变换)找一组特殊的基 
  
  • 特征值分解：找到了特征向量这一组基，在这组基下该线性变换只有缩放效果
  • 奇异值分解(SVD)：则是找到两组基，从一组基到另一组的线性变换的旋转、缩放、投影三种功能独立地展示出来了

2. 特征值分解-方阵

• 只有方阵才能进行特征值分解

• 奇异值和特征值的重要意义相似，都是为了提取出矩阵的主要特征。

• 特征值的本质：Ax=λxAx=λx

• 特征值分解：把方阵分解为缩放矩阵+特征向量矩阵，没有旋转或旋转角度为0

• 特征值-变化的主次：如果我们想要描述好一个变换，那我们就描述好这个变换主要的变化方向就好了。反过头来看看之前特征值分解的式子，分解得到的∧∧矩阵是一个对角阵，里面的特征值是由大到小排列的，这些特征值所对应的特征向量就是描述这个矩阵变化方向（从主要的变化到次要的变化排列）

• 高维线性变换：当矩阵是高维的情况下，那么这个矩阵就是高维空间下的一个线性变换，这个线性变化可能没法通过图片来表示，但是可以想象，这个变换也同样有很多的变换方向，我们通过特征值分解得到的前N个特征向量，那么就对应了这个矩阵最主要的N个变化方向。我们利用这前N个变化方向，就可以近似这个矩阵（变换）。也就是之前说的：提取这个矩阵最重要的特征。

• 特征值分解总结：特征值分解可以得到：

  • 特征值：特征值表示的是这个特征到底有多重要
  • 特征向量：而特征向量表示这个特征是什么，可以将每一个特征向量理解为一个线性的子空间，我们可以利用这些线性的子空间干很多的事情。
  • 特征值分解的局限：特征值分解也有很多的局限，比如说变换的矩阵必须是方阵。

2.1 方阵的分解

• 设A∈Rn×nA∈Rn×n，则A可表示为：

  A=X∧X−1A=X∧X−1

• X的列：为A的特征向量

• ∧∧为对角矩阵：对角线上的值为A的特征值，按从大到小的顺序排列

2.2 实对称矩阵的分解

• 设S∈Rn×nS∈Rn×n，且是对称矩阵，则S可表示为：

  S=U∧UTS=U∧UT

• U的列：为S的单位正交特征向量，即U是正交矩阵（列/行向量正交性、归一化，且U−1=UTU−1=UT）

• ∧∧为对角矩阵：对角线上的值为S的特征值，按从大到小的顺序排列
• U就是矩阵A所定义的坐标系：U的n个列向量组成A的一个完备的标准正交特征向量系
• 工

3. 奇异值分解(SVD) - 非方阵

• 只有非方阵才能进行奇异值分解

• SVD分解：把矩阵分解为缩放矩阵+旋转矩阵+特征向量矩阵

• A的非0奇异值的个数等于它的秩rr

3.1 SVD定义

• 设A∈Rm×nA∈Rm×n，且rank(A)rank(A) = rr (rr > 0)，则矩阵A的奇异值分解(SVD)可表示为：

  A=UΣVTA=UΣVT

  A=U[Σ000]VT=σ1u1vT1+σ2u2vT2+σrurvTrA=U[Σ000]VT=σ1u1v1T+σ2u2v2T+σrurvrT

• UU和VV都为正交矩阵

• 几何含义：

  • 表示找到了UU和VV这样两组基：A矩阵的作用是将一个向量从VV这组正交基向量的空间旋转到UU这组正交基向量的空间，并对每个方向进行了一定的缩放(由ΣΣ决定），缩放因子就是各个奇异值。如果VV的维度比UU 大，则表示还进行了投影。
  • 奇异值分解：将一个矩阵原本混合在一起的三种作用效果，分解出来了。

• SVD分解如下图所示： 
  

• U∈Rm×mU∈Rm×m（左奇异向量）：UU的列为AATAAT的正交特征向量

• V∈Rn×nV∈Rn×n（右奇异向量）：VV的列为ATAATA的正交特征向量

• AATAAT与ATAATA：是实对称正定矩阵，且其特征值为非负实数 (这里博主认为应该是正数)

• rank(AATAAT) = rank(ATAATA) = rank(A)

• AATAAT与ATAATA的特征值相同：为λ1,λ2,...,λrλ1,λ2,...,λr，且λi≥λi+1，λi≥0 (这里博主认为应该是>0)λi≥λi+1，λi≥0

• Σ∈Rm×nΣ∈Rm×n：σi=Σii=λi‾‾√σi=Σii=λi，其它元素的值为0

• ΣΣ = diag(σ1,σ2,...,σr)diag(σ1,σ2,...,σr)

• σi(i=1,2,...,r)，σ1≥...≥σr>0σi(i=1,2,...,r)，σ1≥...≥σr>0：为矩阵A的全部奇异值

• 奇异值σ跟特征值类似，在矩阵Σ中也是从大到小排列，而且σ的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说，我们也可以用前kk个大的奇异值来近似描述矩阵，这里定义一下部分奇异值分解：

Am×n≈Um×kΣk×kVTk×nAm×n≈Um×kΣk×kVk×nT

• 右边的三个矩阵相乘的结果将会是一个接近于A的矩阵，在这儿，k越接近于n，则相乘的结果越接近于A。而这三个矩阵的面积之和（在存储观点来说，矩阵面积越小，存储量就越小）要远远小于原始的矩阵A，我们如果想要压缩空间来表示原矩阵A，我们存下这里的三个矩阵：U、Σ、V就好了。

3.2 SVD特征

• 奇异值的比例不变性： 
  即αAαA的奇异值是A的奇异值的|α||α|倍

• 奇异值的旋转不变性： 
  若PP是正交矩阵且detA=1detA=1(即PP为旋转矩阵)，PAPA的奇异值与AA的奇异值相同

• 奇异值的比例和旋转不变性：在数字图像的旋转、镜像、平移、放大、缩小等几何变换方面有很好的应用

• 容易得到矩阵AA的秩为kk(k≤rk≤r)的一个最佳逼近矩阵

  • 这个特性可以应用于信号的分解和重构， 提取有用信息，消除信号噪声 
    
    A=UΣVT=σ1u1vT1+σ2u2vT2+σrurvTrA=UΣVT=σ1u1v1T+σ2u2v2T+σrurvrT

  • 权系数大的哪些项对矩阵AA的贡献大，因此当舍去权系数小的一些项后，仍然能较好地接近矩阵AA，这一点在数字图像处理方面非常有用。

  • 矩阵AA的秩kk逼近定义为： 
    

    A=σ1u1vT1+σ2u2vT2+σkukvTk(1≤k≤r)A=σ1u1v1T+σ2u2v2T+σkukvkT(1≤k≤r)

  • 秩rr逼近就精确等于AA，而秩11逼近的误差最大

4. 齐次/非齐次线性方程组

• 矩阵Am×nAm×n： 
  
  • 方程组数：mm
  • 未知数的数量：nn
• 齐次线性方程组：Ax=0Ax=0 
  
  • 如果m<nm (行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解。
  • 齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解（加法封闭）
  • 齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解（乘法封闭）
  • 齐次线性方程组的系数矩阵秩rank(A)=n（detA≠0）rank(A)=n（detA≠0），方程组有唯一零解
  • 齐次线性方程组的系数矩阵秩rank(A)<n（detA=0）rank(A)，方程组有无数多解
  • 齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式(detdet)为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零
• 非齐次线性方程组：Ax=b(b≠0)Ax=b(b≠0) 
  
  • 非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A|b)rank(A)=rank(A|b)（否则为无解）
  • 有唯一解的充要条件是rank(A)=nrank(A)=n
  • 有无穷多解的充要条件是rank(A)<nrank(A)
  • 解的结构：非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解 
    
    η=ζ+η∗η=ζ+η∗

5. SVD解优化问题

5.1 SVD解非齐次线性方程组（Ax=bAx=b）

• 求解非齐次线性方程组Ax=bAx=b

• Am×nAm×n

  • m<nm: 方程个数小于未知变量个数，无唯一解
  • m=nm=n：若A可逆（detA≠0detA≠0 或 rank(A) = n），有唯一解
  • m>nm>n：方程个数多于未知变量个数，若rank(A)=rank(A|b)rank(A)=rank(A|b)，则有解
  • 对于m>nm>n， 有如下几种情况： 
    1） r(A)<r(A|b)r(A)： 方程组无解 
    2）r(A)=r(A|b)=nr(A)=r(A|b)=n：方程组有唯一解（约束较强） 
    3）r(A)=r(A|b)<nr(A)=r(A|b)：方程组无穷解（约束不够） 
    4）r(A)>r(A|b)r(A)>r(A|b)： 不可能，因为增广矩阵的秩大于等于系数矩阵的秩（在矩阵中加入一列，其秩只可能增大，不可能变小）

• M为正交矩阵,xx为列向量：则有||Mx||2=||x||2或记为：||Mx||=||x||||Mx||2=||x||2或记为：||Mx||=||x||

  • ||x||2=||x||=xTx‾‾‾‾√||x||2=||x||=xTx：即向量xx的长度

• 以下讨论前提为：m⩾nm⩾n

• 等价于寻找xx使||Ax−b||2||Ax−b||2最小化 （向量2范数，转化为最优化问题）

  1) 对矩阵A进行SVD分解(Dm×nDm×n对角阵，且rank(A)=nrank(A)=n)：

  A=UDVTA=UDVT
  
  则优化问题变为： 
  
  min(||Ax−b||2)=min(||UDVTx−b||2)=min(||DVTx−UTb||2)min(||Ax−b||2)=min(||UDVTx−b||2)=min(||DVTx−UTb||2)

  2) 令：

  y=VTxb′=UTby=VTxb′=UTb
  
  则优化问题变为： 
  
  min(||DVTx−UTb||2)=min(||Dy−b′||2)min(||DVTx−UTb||2)=min(||Dy−b′||2)

  3) 求解向量yy：

  • 若Dy−b′=0Dy−b′=0，即Dy=b′Dy=b′，其方程组形式如下图所示： 
    

  • 则有：yi=b′i/di(i=0,1,...,rank(A))yi=bi′/di(i=0,1,...,rank(A))

4) 求解向量xx：

x=Vyx=Vy

5.1.1 rank(A) = n的求解步骤

5.1.2 rank(A) < n的求解步骤

• λiλi：是用于参数化的随机值（parametrized by the indeterminate values）

5.2 SVD解齐次线性方程组（Ax=0Ax=0）

• 相似的情况，我们把问题转化为最小化||Ax||2||Ax||2的非线性优化问题，我们已经知道了x=0x=0是该方程组的一个特解，为了避免x=0x=0这种情况（因为在实际的应用中x=0x=0往往不是我们想要的），我们增加一个约束，比如||x||2=1||x||2=1，这样，问题就变为（带约束的优化问题 s.t. : subject to）： 
  
  min||Ax||s.t.：||x||=1min||Ax||s.t.：||x||=1
  
  
  min||Ax||=min||UDVTx||=min||DVTx||且||x||=||VTx||min||Ax||=min||UDVTx||=min||DVTx||且||x||=||VTx||
  
  
  y=VTx则问题变为：min||Dy||s.t.:||y||=1（因为V为正交矩阵）y=VTx则问题变为：min||Dy||s.t.:||y||=1（因为V为正交矩阵）
• 由于D是一个对角矩阵，对角元素按降序排列，因此最优解在y=(0,0,...,1)Ty=(0,0,...,1)T时取得，又因为x=Vyx=Vy， 所以最优解就是V的最小奇异值对应的列向量，比如，最小奇异值在第6行6列，那么x 为 V的第6个列向量。
• 求解步骤：