滑模变结构控制(1)--指数趋近律

目录

1 指数趋近律

1.1 公式

1.2 引理

1.3 指数趋近律分析如下:

1.4 说明

2 控制器设计

3 仿真实例

4 总结

5 参考文献


1 指数趋近律

1.1 公式

\dot{s}=-\varepsilon sgns-ks\varepsilon >0,k<0

        式中,\dot{s}=-ks是指数趋近律,其解为s=s(0)e^{-kt}

1.2 引理

针对V:[0,\infty )\in R,不等式方程\dot{V}\leqslant -\alpha V+f\forall t\geqslant t_{0}\geqslant 0的解为

V(t)\leqslant e^{-\alpha (t-t_{0})}V(t_{0})+\int_{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}f(\tau )d\tau

1.3 指数趋近律分析如下:

        定义Lyapunov函数为V=\frac{1}{2}s^{2},采用指数趋近律,则可得到

\dot{V}\leqslant -\varepsilon \left | s \right |-ks^{2}=-\frac{k}{2}V-\varepsilon \left | s \right |\leqslant -\frac{k}{2}V

        根据 1.2 节中的引理,针对不等式方程\dot{V}=-\frac{k}{2}V,有\alpha =\frac{k}{2}f=0,解为

V(t)\leqslant e^{-\frac{k}{2}(t-t_{0})}V(t_{0})

        可见,V(t)指数收敛至零,收敛速度取决于k。指数项-ks能保证当s较大时,系统状态能以较大的速度趋近于滑动模态。因此,指数趋近律尤其适合解决具有大阶跃的响应控制问题。

1.4 说明

        指数趋近中,趋近速度从一较大值逐步减小至零,不仅缩短了趋近时间,而且使运动点到达滑模面时的速度很小。单纯的指数趋近,运动点逼近切换面是一个渐进的过程不能保证有限时间内到达,切换面上也就不存在滑动模态了,所以要增加一个等速趋近项\dot{s}=-\varepsilon sgn(s),使当s接近于零时,趋近速度是\varepsilon而不是零,可以保证有限时间到达。

        在指数趋近律中,为了保证快速趋近的同时削弱抖振,应在增大k的同时减小\varepsilon

2 控制器设计

        考虑如下被控对象:

\ddot{\theta}(t)=-f(\theta,t)+bu(t)

其中,f(\theta,t)b为已知且b>0

        滑模函数为

s(t)=ce(t)+\dot{e}(t)

其中,c>0,满足Hurwitz条件。

        跟踪误差为

e(t)=\theta _{d}(t)-\theta (t) ,\dot{e}(t)=\dot{\theta}_{d}(t)-\dot{\theta}(t)

其中,\theta _{d}(t)为理想位置信号。

        则

\dot{s}(t)=c\dot{e}(t)+\ddot{e}(t)=c(\dot{\theta}_{d}(t)-\dot{\theta}(t))+(\ddot{\theta}_{d}(t)-\ddot{\theta}(t))

=c(\dot{\theta}_{d}(t)-\dot{\theta}(t))+(\ddot{\theta}_{d}(t)+f(\theta,t)-bu(t))

采用指数趋近律,有

\dot{s}=-\varepsilon sgns-ks        \varepsilon >0,k>0

结合以上两个式子,得

c(\dot{\theta}_{d}(t)-\dot{\theta}(t))+(\ddot{\theta}_{d}(t)+f(\theta,t)-bu(t))=-\varepsilon sgns-ks

基于指数趋近律的滑模控制器为

u(t)=\frac{1}{b}(\varepsilon sgns+ks+c(\dot{\theta _{d}}-\dot{\theta})+\ddot{\theta}_{d}+f(\theta ,t))

3 仿真实例

        考虑如下被控对象:

\ddot{\theta}(t)=-f(\theta,t)+bu(t)

其中-f(\theta,t)=25\dot{\theta},b=133

        取指令信号\theta _{d}=sin(t),被控对象初始状态为[-0.15\ -0.15],采用第二章中设计的基于指数趋近律的滑模控制器,取c=15,\varepsilon =5,分别取k=0,k=10,k=20,k=30,仿真结果如图所示。可见,当k取值越大时,趋近时间越短。

滑模变结构控制(1)--指数趋近律_第1张图片

4 总结

        本文主要是对学习滑模控制过程中的记录的笔记,针对滑模控制的抖振现象,设计了一种基于指数趋近律的滑模控制器。

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5 参考文献(点击下载相应资源)

        滑模变结构控制matlab仿真:基本理论与设计方法/刘金琨著.-3版.-背景:清华大学出版社,2015

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