图像噪声学习总结

目录

一、图像噪声

1.1.图像噪声概念

1.2.噪声来源—两个方面

1.3. 图像噪声的特征

1.4.图像噪声的分类

1.4.1常见的图像噪声主要有以下几种：

1.4.2 图像噪声模型

（1）高斯噪声

（2）脉冲噪声（椒盐噪声）

二.常见图像去噪算法简介

　　2.1空间域滤波

　　2.2变换域滤波

　　2.3偏微分方程

　　2.4变分法

　　2.5形态学噪声滤除器

三. 图像去噪算法

3.1基于空间域下的滤波器

3.2 基于小波域的小波阈值去噪

3.3 基于PDE的图像去噪

3.4 全变分（TV）图像去噪

四. 其他概念

4.1 什么是时域

4.2 什么是频域

4.3 什么是空间域

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图像处理系列笔记

背景
随着各种数字仪器和数码产品的普及，图像和视频已成为人类活动中最常用的信息载体，它们包含着物体的大量信息，成为人们获取外界原始信息的主要途径。然而在图像的获取、传输和存贮过程中常常会受到各种噪声的干扰和影响而使图像降质，并且图像预处理算法的好坏又直接关系到后续图像处理的效果，如图像分割、目标识别、边缘提取等，所以为了获取高质量数字图像，很有必要对图像进行降噪处理，尽可能的保持原始信息完整性（即主要特征）的同时，又能够去除信号中无用的信息。所以，降噪处理一直是图像处理和计算机视觉研究的热点。
图像视频去噪的最终目的是改善给定的图像，解决实际图像由于噪声干扰而导致图像质量下降的问题。通过去噪技术可以有效地提高图像质量，增大信噪比，更好的体现原来图像所携带的信息，作为一种重要的预处理手段，人们对图像去噪算法进行了广泛的研究。在现有的去噪算法中，有的去噪算法在低维信号图像处理中取得较好的效果，却不适用于高维信号图像处理；或者去噪效果较好，却丢失部分图像边缘信息，或者致力于研究检测图像边缘信息，保留图像细节。如何在抵制噪音和保留细节上找到一个较好的平衡点，成为近年来研究的重点。

一、图像噪声

1.1.图像噪声概念

噪声可以理解为阻碍人们对于器官对所接收的信源信息理解的因素，而图像噪声则是对于图像的信息造成干扰的因素，噪声不可预测，只能通过概率统计方法来认识的随机误差，因此同样可以将图像噪声看成是多维的随机过程，也可用随机过程对噪声进行描述（概率分布函数及概率密度分布函数），由于描述方法的复杂性，因此实际生活中多用其数字特征（均值函数、相关函数等）描述。

噪声在图像上常表现为一引起较强视觉效果的孤立像素点或像素块。一般，噪声信号与要研究的对象不相关，它以无用的信息形式出现，扰乱图像的可观测信息。通俗的说就是噪声让图像不清楚。

1.2.噪声来源—两个方面

（1）图像获取过程中

两种常用类型的图像传感器CCD和CMOS采集图像过程中，由于受传感器材料属性、工作环境、电子元器件和电路结构等影响，会引入各种噪声，如电阻引起的热噪声、场效应管的沟道热噪声、光子噪声、暗电流噪声、光响应非均匀性噪声。

（2）图像信号传输过程中

由于传输介质和记录设备等的不完善，数字图像在其传输记录过程中往往会受到多种噪声的污染。另外，在图像处理的某些环节当输入的对象并不如预想时也会在结果图像中引入噪声。

1.3. 图像噪声的特征

　　图像噪声使得图像模糊，甚至淹没图像特征，给分析带来困难。

　　图像噪声一般具有以下特点：

　　(1) 噪声在图像中的分布和大小不规则，即具有随机性。

　　(2) 噪声与图像之间一般具有相关性。例如，摄像机的信号和噪声相关，黑暗部分噪声大，明亮部分噪声小。又如，数字图像中的量化噪声与图像相位相关，图像内容

           接近平坦时，量化噪声呈现伪轮廓，但图像中的随机噪声会因为颤噪效应反而使量化噪声变得不很明显。

      (3) 噪声具有叠加性。在串联图像传输系统中，各部分窜入噪声若是同类噪声可以进行功率相加，依次信噪比要下降。

1.4.图像噪声的分类

1.4.1常见的图像噪声主要有以下几种：

下面五幅图分别代表了，原图，以及添加了高斯噪声，泊松噪声，乘性噪声，椒盐噪声的图像。

1、原图：

（1）加性噪声
加性噪声与图像信号强度不相关，比如图像在传输过程中引进的“信道噪声”电视摄像机扫描图像的噪声，这类噪声的图像g可以看成理想无噪声图像f和噪声n之和：

 （2）乘性噪声

乘性噪声一般由信道不理想引起，它们与信号的关系是相乘，信号在它在，信号不在他也就不在,往往随图像信号的变化而变化，如飞点扫描图像中的嗓声、电视扫描光栅、胶片颗粒造成等。噪声与图像的关系：

      按噪声和信号之间的关系，图像噪声可分为加性噪声和乘性噪声。为了分析处理方便，往往将乘性噪声近似认为是加性噪声，而且总是假定信号和噪声是互相独立的。

（3）量化噪声
量化嗓声是数字图像的主要噪声源，其大小显示出数字图像和原始图像的差异，减少这种嗓声的最好办法就是采用按灰度级概率密度函数选择化级的最优化措施。

（4）“椒盐”噪声
此类嗓声如图像切割引起的即黑图像上的白点，白图像上的黑点噪声，在变换域引入的误差，使图像反变换后造成的变换噪声等。

1.4.2 图像噪声模型

实际获得的图像含有的噪声，根据不同分类可将噪声进行不同的分类。从噪声的概率分布情况来看，可分为高斯噪声、瑞利噪声、伽马噪声、指数噪声和均匀噪声。

（1）高斯噪声

高斯噪声是指它的概率密度函数服从高斯分布（即正态分布）的一类噪声。如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。高斯白噪声的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。

• 特别的，如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的任意两个采样样本之间不相关，则
称它为高斯白噪声。
• 必须区分高斯噪声和白噪声两个不同的概念。高斯噪声是指噪声的概率密度函数服从高斯分布，
白噪声是指噪声的任意两个采样样本之间不相关，两者描述的角度不同。白噪声不必服从高斯分
布，高斯分布的噪声不一定是白噪声。

高斯噪声的概率密度函数可以表示为：

其中，x表示灰度值，μ表示x的平均值或期望值，α表示z的标准差。当z服从上述分布时，其值有95%落在[(μ-2σ)， (μ+2σ)]范围内。

产生原因：

1）图像传感器在拍摄时市场不够明亮、亮度不够均匀；

2）电路各元器件自身噪声和相互影响；

3）图像传感器长期工作，温度过高。

高斯噪声及其消除方式
在空间域和频域中，由于高斯噪声在数学上的易处理性（高斯函数，高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯函数，见相关博文），这种噪声(也称为正态噪声)模型经常被用在实践中，事实上，这种易处理性非常方便。

如何确定一种噪声是高斯噪声

样本图：

噪声下的样本图：

噪声的直方图（统计直方图）：

可以看到，噪声的直方图中图形像高斯正态函数的分布。
说明：噪声对原图像的影响是随机的，直方图呈现的分布形式是基于统计的结果。直方图表示了（归一化后）灰度值的概率密度分布，因此可以使用直方图来表示灰度值的概率密度。
统计直方图：

 高斯滤波消除高斯噪声
关于高斯滤波（模糊）的方法和过程在前面的文章中写过：

图像处理（7）–高斯模糊原理

高斯函数的重要性质
高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用．这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用．高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是：

1.二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的．一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向．
2.高斯函数是单值函数．这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的．这一性 质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真．
3.高斯函数的付立叶变换频谱是单瓣的．正如下面所示，这一性质是高斯函数付立叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论．图像常被不希望的高频信号所 污染(噪声和细纹理)．而所希望的图像特征（如边缘），既含有低频分量，又含有高频分量．高斯函数付立叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号 所污染，同时保留了大部分所需信号．
4.高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ表征的，而且σ和平滑程度的关系是非常简单的．σ越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．通过 调节平滑程度参数σ，可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑)之间取得折衷．
5.由于高斯函数的可分离性，大高斯滤波器可以得以有效地实现．二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积．因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长．
 

'''给一副数字图像加上高斯噪声的处理顺序如下：
a. 输入参数sigma 和 mean
b. 生成高斯随机数
d. 根据输入像素计算出输出像素
e. 重新将像素值放缩在[0 ~ 255]之间
f. 循环所有像素
g. 输出图像'''

import cv2
import random
def GaussianNoise(src,means,sigma,percetage):
    '''
    :param src: 要加噪声的图片
    :param means: 高斯噪声的均值
    :param sigma: 高斯噪声的标准差
    :param percetage: 需要加噪声的像素占总像素的比例
    :return: 加噪声后的图像
    '''
    NoiseImg = src
    NoiseNum = int(percetage * src.shape[0] * src.shape[1])  # 计算需要加噪声的总像素数
    for i in range(NoiseNum):
        # 随机生成一个像素位置（randX，randY）
        # 把一张图片的像素用行和列表示的话，randX 代表随机生成的行，randY代表随机生成的列
        # random.randint生成随机整数
        # 高斯噪声图片边缘不处理，故-1
        randX = random.randint(0, src.shape[0] - 1)  # 随机生成行
        randY = random.randint(0, src.shape[1] - 1)  # 随机生成列
        # 此处在原有像素灰度值上加上随机高斯数
        NoiseImg[randX, randY] = NoiseImg[randX, randY] + random.gauss(means, sigma)  # 随机生成的像素位置加上高斯噪声
        # 若灰度值小于0则强制为0，若灰度值大于255则强制为255
        if NoiseImg[randX, randY] < 0:
            NoiseImg[randX, randY] = 0
        elif NoiseImg[randX, randY] > 255:
            NoiseImg[randX, randY] = 255
    return NoiseImg


means = 10
sigma = 0.5
img = cv2.imread('lenna.png',0)
img1 = GaussianNoise(img,means,sigma,0.8)
img = cv2.imread('lenna.png')
img2 = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
cv2.imwrite('lenna_GaussianNoise.png',img1)
cv2.imshow('source',img2)
cv2.imshow('lenna_GaussianNoise',img1)
cv2.waitKey(0)

（2）脉冲噪声（椒盐噪声）

椒盐噪声，椒盐噪声又称脉冲噪声，它随机改变一些像素值，是由图像传感器，传输信道，解码处理等产生的黑白相间的亮暗点噪声。椒盐噪声往往由图像切割引起。椒盐噪声的成因可能是影像讯号受到突如其来的强烈干扰而产生等。例如失效的感应器导致像素值为最小值，饱和的感应器导致像素值为最大值。

• 椒盐噪声 = 椒噪声 （pepper noise）+ 盐噪声（salt noise）。 椒盐噪声的值为0(椒)或者255(盐)。
• 前者是低灰度噪声，后者属于高灰度噪声。一般两种噪声同时出现，呈现在图像上就是黑白杂点。
• 对于彩色图像，也有可能表现为在单个像素BGR三个通道随机出现的255或0。
 

脉冲噪声的密度函数：

如果b>a，则灰度值b在图像中将显示为一个亮点，反之则a的值将显示为一个暗点。若Pa或Pb为零，则脉冲称为单极脉冲。如果Pa和Pb均不可能为零，尤其是它们近似相等时，则脉冲噪声值将类似于随机分布在图像上的胡椒和盐粉微粒。由于这个原因，双极脉冲噪声也称为椒盐噪声。

噪声脉冲可以是正的，也可以是负的。标定通常是图像数字化过程的一部分。因为脉冲干扰通常与图像信号的强度相比较大，因此，在一幅图像中，脉冲噪声总是数字化为最大值(纯黑或纯白)。这样，通常假设a，b是饱和值,从某种意义上看，在数字化图像中，它们等于所允许的最大值和最小值。由于这一结果，负脉冲以一个黑点(胡椒点)出现在图像中。由于相同的原因，正脉冲以白点(盐点)出现在图像中。对于一个8位图像，这意味着a=0(黑)。b=255(白)。

脉冲（椒盐）噪声的消除方式
一般使用非线性滤波器处理椒盐噪声：

异常值侦测
异常侦测（Anomaly detection）有时称为异常值侦测（Outlier detection），如其名所隐含的，在给定的资料集合中，它将侦测在已有的规律中表现异常者。现今常用的方法以计算距离为基础的K-近邻算法或是机器学习中的支持向量机等。
中值滤波器
中值滤波器（Median filtering） 如其名所隐含的，它将一个像素的值用该像素邻域中强度值的中间值来取代（计算中间值的过程中，也会将该像素的原始值包含），中值滤波器在处理盐和胡椒噪声上能提供绝佳的噪声降低效能。
伪中值滤波器
为了改进中值滤波器的计算速率，伪中值滤波器（Pseudo-median filtering） 以近似的方法算出中间值

'''1.指定信噪比 SNR（信号和噪声所占比例） ，其取值范围在[0, 1]之间
2.计算总像素数目 SP， 得到要加噪的像素数目 NP = SP * SNR
3.随机获取要加噪的每个像素位置P（i, j）
4.指定像素值为255或者0。
5.重复3, 4两个步骤完成所有NP个像素的加噪'''


import cv2
import random
def  fun1(src,percetage):
    '''
    :param src: 要加噪声的图片
    :param percetage: 需要加噪声的像素占总像素的比例
    :return: 加噪声后的图像
    '''
    NoiseImg=src
    NoiseNum=int(percetage*src.shape[0]*src.shape[1])
    for i in range(NoiseNum):
	# 随机生成一个像素位置（randX，randY）
    # 把一张图片的像素用行和列表示的话，randX 代表随机生成的行，randY代表随机生成的列
    # random.randint生成随机整数
    # 椒盐噪声图片边缘不处理，故-1
	    randX=random.randint(0,src.shape[0]-1)
	    randY=random.randint(0,src.shape[1]-1)
	    # random.random生成随机浮点数，随意取到一个像素点有一半的可能是白点255，一半的可能是黑点0
	    if random.random() <= 0.5:
	    	NoiseImg[randX,randY] = 0
	    else:
	    	NoiseImg[randX,randY] = 255
    return NoiseImg

img=cv2.imread('lenna.png',0)
img1=fun1(img,0.2)
#在文件夹中写入命名为lenna_PepperandSalt.png的加噪后的图片
#cv2.imwrite('lenna_PepperandSalt.png',img1)

img = cv2.imread('lenna.png')
img2 = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
cv2.imshow('source',img2)
cv2.imshow('lenna_PepperandSalt',img1)
cv2.waitKey(0)

  (3) 泊松噪声（下图）

泊松噪声，就是符合泊松分布的噪声模型，泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数等等

图像上的泊松噪声：由于光具有量子特效，到达光电检测器表面的量子数目存在统计涨落，因此，图像监测具有颗粒性，这种颗粒性造成了图像对比度的变小以及对图像细节信息的遮盖，我们对这种因为光量子而造成的测量不确定性成为图像的泊松噪声。
这里写图片描述

 （4）瑞利噪声
密度函数：

均值：

方差：

瑞利噪声的概率密度函数分布：

 （5）伽马噪声
伽马函数的概率密度函数可以表示：

   其中，a>0，b为正整数且“!”表示阶乘。其密度的均值和方差由下式给出：

                                                                                 

      尽管经常被用来表示伽马密度，严格地说，只有当分母为伽马函数Г(b)时才是正确的。当分母如表达式所示时，该密度近似称为爱尔兰密度。 

概率密度分布：

（6）指数分布噪声
指数函数的概率密度函数：

均值：

方差：

概率密度函数分布图：

（7）均匀噪声
均匀噪声的概率密度函数：

均值:

方差：

概率密度函数分布：

 

二.常见图像去噪算法简介

　　图像噪声在数字图像处理技术中的重要性越来越明显，如高放大倍数航片的判读，X射线图像系统中的噪声去除等已经成为不可缺少的技术步骤。图像去噪算法可以分为以下几类：

　　2.1空间域滤波

　　 空域滤波是在原图像上直接进行数据运算，对像素的灰度值进行处理。常见的空间域图像去噪算法有邻域平均法、中值滤波、低通滤波等。

　　2.2变换域滤波

　　图像变换域去噪方法是对图像进行某种变换，将图像从空间域转换到变换域，再对变换域中的变换系数进行处理，再进行反变换将图像从变换域转换到空间域来达到去除图像嗓声的目的。将图像从空间域转换到变换域的变换方法很多，如傅立叶变换、沃尔什-哈达玛变换、余弦变换、K-L变换以及小波变换等。而傅立叶变换和小波变换则是常见的用于图像去噪的变换方法。

　　2.3偏微分方程

　　偏微分方程是近年来兴起的一种图像处理方法，主要针对低层图像处理并取得了很好的效果。偏微分方程具有各向异性的特点，应用在图像去噪中，可以在去除噪声的同时，很好的保持边缘。偏微分方程的应用主要的一类是一种是基本的迭代格式，通过随时间变化的更新，使得图像向所要得到的效果逐渐逼近，以及对其改进后的后续工作。该方法在确定扩散系数时有很大的选择空间，在前向扩散的同时具有后向扩散的功能，所以，具有平滑图像和将边缘尖锐化的能力[5]。偏微分方程在低噪声密度的图像处理中取得了较好的效果，但是在处理高噪声密度图像时去噪效果不好，而且处理时间明显高出许多。

　　2.4变分法

　　另一种利用数学进行图像去噪方法是基于变分法的思想，确定图像的能量函数，通过对能量函数的最小化工作，使得图像达到平滑状态，现在得到广泛应用的全变分TV模型就是这一类。这类方法的关键是找到合适的能量方程，保证演化的稳定性，获得理想的结果。

　　2.5形态学噪声滤除器

　　将开与闭结合可用来滤除噪声，首先对有噪声图像进行开运算，可选择结构要素矩阵比噪声尺寸大，因而开运算的结果是将背景噪声去除；再对前一步得到的图像进行闭运算，将图像上的噪声去掉。据此可知，此方法适用的图像类型是图像中的对象尺寸都比较大，且没有微小细节，对这类图像除噪效果会较好。

将开与闭结合可用来滤除噪声，首先对有噪声图像进行开运算，可选择结构要素矩阵比噪声尺寸大，因而开运算的结果是将背景噪声去除；再对前一步得到的图像进行闭运算，将图像上的噪声去掉。据此可知，此方法适用的图像类型是图像中的对象尺寸都比较大，且没有微小细节，对这类图像除噪效果会较好。

三. 图像去噪算法

根据图像的特征建立起相应的概率密度函数。在对数字图像进行处理的过程中，一般需要以概率密度函数作为根本的依据来对噪声的统计特性进行表述，建立起对应的数据模型。

3.1基于空间域下的滤波器

关于空间域下的滤波器在我的 图像处理（10）–空间滤波 一文中有详细的介绍。这个很重要。

3.2 基于小波域的小波阈值去噪

小波萎缩法是目前研究最为广泛的方法，小波萎缩法又分成如下两类：第1类是阈值萎缩，由于阈值萎缩主要基于如下事实，即比较大的小波系数一般都是以实际信号为主，而比较小的系数则很大程度是噪声。因此可通过设定合适的阈值，首先将小于闽值的系数置零，而保留大于闭值的小波系数；然后经过阈值函数映射得到估计系数；最后对估计系数进行逆变换，就可以实现去噪和重建；而另外一种萎缩方法则不同，它是通过判断系数被噪声污染的程度，并为这种程度引入各种度量方法(例如概率和隶属度等)，进而确定萎缩的比例，所以这种萎缩方法又被称为比例萎缩。阈值萎缩方法中的两个基本要素是阈值和阈值函数。
阈值的选择：
阈值的确定在阈值萎缩中是最关键的。目前使用的阈值可以分成全局阈值和局部适应阈值两类。其中，全局阈值对各层所有的小波系数或同一层内的小波系数都是统一的；而局部适应阈值是根据当前系数周围的局部情况来确定阈值。目前提出的全局阈值主要有以下几种：

（1），Donoho和Johastone统一阈值（简称DJ阈值）：

其中σ为噪声标准方差，N为信号的尺寸或长度。

（2），基于零均值正态分布的置信区间阈值：

（3），Bayes Shrink阈值和Map Shrink阈值。在小波系数服从广义高斯分布的假设下，Chang等人得出了阈值：

其中，（R为噪声标准方差，RB为广义高斯分布的标准方差值）。

（4），最小最大化阈值：这是Donoho和John Stone在最小最大化意义下得出的阈值与上边的阈值不同，它是依赖于信号的，而且没有显式表达式，在求取时需要预先知道原信号。

（5），理想阈值：理想阈值是在均方差准则下的最优阈值，同最大最小化阈值一样，也没有显式的表达式，并且这个阈值的计算通常也需先知道信号本身。

阈值函数：

Bruce和Gao。提出了一种半软阈值函数：

该方法通过选择合适的阈值T1和12，可以在软阈值方法和硬阈值方法之间达到很好的折中。另外，zhang等人为了对SIJRE误差准则函数进行基于梯度的优化搜索，提出了另外一种阈值函数，这种阈值函数同上边闭值函数所不同的是它拥有更高的导数阶，故其重建图像更为平滑，但该文作者将去噪效果的提高归功于搜索方法，其实，Donoh。和 Johnstone提出的在当前小波系数集合中，搜索最优阈值的方法，对于当前已经是优的了，由此可见，该去噪效果的提高则应归功于阈值函数的选取。

   小波去噪

这种方法保留了大部分包含信号的小波系数,因此可以较好地保持图象细节。小波分析进行图像去噪主要有3个步骤:
(1)对图象信号进行小波分解。
(2)对经过层次分解后的高频系数进行阈值量化。
(3)利用二维小波重构图象信号。

3.3 基于PDE的图像去噪

目前，基于PDE的图像处理方法的研究，也是图像去噪的研究热点方向，并且己经取得了一定的理论和实际应用方面的成它的去噪过程为通过建立噪声图像为某非线性PDE的初始条件，然后求解这个PDE，得到在不同时刻的解，即为滤波结果。Perona和Malik提出了基于PDE的非线性扩散滤波方法（以下简称P-M），各向异性的去噪模型根据图像的梯度值决定扩散的速度，使之能兼顾噪声消除和边缘保持两方面的要求。

以P-M模型为代表的这类方法己经在图像增强、图像分割和边缘检测等领域得到了广泛的应用，取得了很好的效果。

P-M是一种非线性的各向异性方法，目的是为了克服线性滤波方法存在的模糊边缘和边缘位置移动的缺点。基本思想是:图像特征强的地方减少扩散系数，图像特征弱的地方增强扩散系数。方程如下：

其中u(x，y，t)是随时间变化的图像，是梯度的模，扩散系数函数用于控制扩散速度。理想的扩散系数应当使各向异性扩散在灰度变化平缓的区域快速进行，而在灰度变化急剧的位置（即图像特征处）低速扩散乃至不扩散函数，所以，i应具有如下性质： 

基于以上的两个性质，P-M提出了如下扩散系数函数：

其中k为边缘阈值，用来判断边缘区域和平坦区域。引入通量函数，主要是为了阐明阈值k在扩散操作中的作用，其函数定义如下：

 尽管P-M方程在抑制噪声与保留图像重要特征方面取得了一定的效果，但却表现出病态且不稳定。Catt等人对该方程进行了改进，他们先用高斯核同图像作卷积，然后取其梯度模作图像边缘信息的估计。文献提出用优化的对称指数滤波器对图像作光滑，然后取其梯度模作图像边缘信息的估计。这两种估计方法的基本思想是降低噪声的干扰，更加真实地提取图像的边缘特征信息，以便利用边缘信息更好地控制P-M方程的扩散行为。

3.4 全变分（TV）图像去噪

TV方法是由Rudin Osher and Fatemi提出，它基于变分法的思想，确定图像的能量函数，通过对图像能量函数最小化达到平滑去噪的目的。是现在比较流行的图像复原方法。图像的能量函数方程为：

在文献[2]中给出的全变分去噪能量泛函为：

为了使得能量函数最小，其欧拉-拉格朗日方程为：

其中，梯度算子：

正则项：

用来减少平坦区域的退化。将整体左边转换成图像中任意像素点中的局部坐标系后，方程可以分解成边缘方向和边缘正交的两个方向，分解后个方向的系数控制着该方向的扩散强度。扩散方向实际上是一个分线性的各向异性的扩散方程，其扩散算子仅沿图像梯度的正交方向扩散，扩散系数为1/|▽μ|，而朝着梯度方向无扩散。这样可以通过图像的梯度来判断边缘位置，使得边缘扩散系数最小，从而降低对边缘的模糊程度，但是也由于边缘的扩散系数小，噪声得不到很好的抑制，而且当|▽μ|>λ的时候，势能函数是非凸的，使得边缘处处理表现不稳定。所以，如何确定扩散参数的值是一个问题。
 

     3.5 均值滤波器
采用邻域平均法的均值滤波器非常适用于去除通过扫描得到的图象中的颗粒噪声。领域平均法有力地抑制了噪声,同时也由于平均而引起了模糊现象,模糊程度与邻域半径成正比。

    3.6 几何均值滤波器
所达到的平滑度可以与算术均值滤波器相比,但在滤波过程中会丢失更少的图象细节。

    3.7 谐波均值滤波器
对“盐”噪声效果更好,但是不适用于“胡椒”噪声。它善于处理像高斯噪声那样的其他噪声。

    3.8 逆谐波均值滤波器
更适合于处理脉冲噪声,但它有个缺点,就是必须要知道噪声是暗噪声还是亮噪声,以便于选择合适的滤波器阶数符号,如果阶数的符号选择错了可能会引起灾难性的后果。

    3.9 自适应维纳滤波器
它能根据图象的局部方差来调整滤波器的输出,局部方差越大,滤波器的平滑作用越强。它的最终目标是使恢复图像f(x,y)与原始图像f(x,y)的均方误差e2=E[(f(x,y)-f(x,y)2]最小。该方法的滤波效果比均值滤波器效果要好,对保留图像的边缘和其他高频部分很有用,不过计算量较大。维纳滤波器对具有白噪声的图象滤波效果最佳。

    3.10 中值滤波器
它是一种常用的非线性平滑滤波器,其基本原理是把数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个领域中各点值的中值代换其主要功能是让周围象素灰度值的差比较大的像素改取与周围的像素值接近的值,从而可以消除孤立的噪声点,所以中值滤波对于滤除图像的椒盐噪声非常有效。
中值滤波器可以做到既去除噪声又能保护图像的边缘,从而获得较满意的复原效果,而且,在实际运算过程中不需要图象的统计特性,这也带来不少方便,
但对一些细节多,特别是点、线、尖顶细节较多的图象不宜采用中值滤波的方法。

四. 其他概念

4.1 什么是时域

    时域是描述数学函数或物理信号对时间的关系。例如一个信号的时域波形可以表达信号随着时间的变化。

时域（时间域）——自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号的变化。其动态信号x（t）是描述信号在不同时刻取值的函数。

4.2 什么是频域

    频域（频率域）——自变量是频率,即横轴是频率,纵轴是该频率信号的幅度,也就是通常说的频谱图。频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系。

平常我们用的是时域，是和时间有关的，这里只和频率有关，是时间域的倒数。时域中，X轴是时间，频域中是频率。频域就是分析它的频率特性！

4.3 什么是空间域

   空间域又称图像空间(image space)。由图像像元组成的空间。在图像空间中以长度(距离)为自变量直接对像元值进行处理称为空间域处理。

以时间作为变量所进行的研究就是时域

以频率作为变量所进行的研究就是频域

以空间坐标作为变量进行的研究就是空间域

以波数作为变量所进行的研究称为波数域

2. 图像处理中：

  空间域，频域，变换域，压缩域等概念！

只是说要将图像变换到另一种域中，然后有利于进行处理和计算

比如说：图像经过一定的变换（Fourier变换，离散yuxua DCT 变换），图像的频谱函数统计特性：图像的大部分能量集中在低，中频，高频部分的分量很弱，仅仅体现了图像的某些细节。

2.离散傅立叶变换

一般有离散傅立叶变换和其逆变换

3.DCT变换

示波器用来看时域内容，频普仪用来看频域内容！！！

时域是信号在时间轴随时间变化的总体概括。

频域是把时域波形的表达式做傅立叶变化得到复频域的表达式，所画出的波形就是频谱图。是描述频率变化和幅度变化的关系。

时域做频谱分析变换到频域;空间域做频谱分析变换到波数域;

信号通过系统，在时域中表现为卷积，而在频域中表现为相乘。

无论是傅立叶变换还是小波变换，其实质都是一样的，既：将信号在时间域和频率域之间相互转换，从看似复杂的数据中找出一些直观的信息，再对它进行分 析。由于信号往往在频域比有在时域更加简单和直观的特性，所以，大部分信号分析的工作是在频域中进行的。音乐——其实就是时/频分析的一个极好例子，乐谱 就是音乐在频域的信号分布，而音乐就是将乐谱变换到时域之后的函数。从音乐到乐谱，是一次傅立叶或小波变换；从乐谱到音乐，就是一次傅立叶或小波逆变换。
对信号进行时域分析时，有时一些信号的时域参数相同，但并不能说明信号就完全相同。因为信号不仅随时间变化，还与频率、相位等信息有关，这就需要进一步分析信号的频率结构，并在频率域中对信号进行描述。
动态信号从时间域变换到频率域主要通过傅立叶级数和傅立叶变换实现。周期信号靠傅立叶级数，非周期信号靠傅立叶变换。

很简单时域分析的函数是参数是t，也就是y=f(t)，频域分析时，参数是w，也就是y=F(w)
两者之间可以互相转化。时域函数通过傅立叶或者拉普拉斯变换就变成了频域函数。

释文： 以空间频率(即波数)为自变量描述图像的特征,可以将一幅图像像元值在空间上的变化分解为具有不同振幅、空间频率和相位的简振函数的线性叠加,图像中各种空问频率成分的组成和分布称为空间频谱。

这种对图像的空间频率特征进行分解、处理和分析称为空间频率域处理或波数域处理。

和时间域与频率域可互相转换相似,空间域与空间频率域也可互相转换。

在空间频率域中可以引用已经很成熟的频率域技术,处理的一般步骤为：

①对图像施行二维离散傅立叶变换或小波变换,将图像由图像空间转换到频域空间。

②在空间频率域中对图像的频谱作分析处理,以改变图像的频率特征。

即设计不同的数字滤波器,对图像的频谱进行滤波。频率域处理主要用于与图像空间频率有关的处理中。

如图像恢复、图像重建、辐射变换、边缘增强、图像锐化、图像平滑、噪声压制、频谱分析、纹理分析等处理和分析中。须注意,空间频率(波数)的单位为米 -l或(毫米)-1等。