ORB-SLAM2 ---- Initializer::ReconstructH函数

目录

1.函数作用

2.函数解析 

2.1 调用函数解析

2.2 Initializer::ReconstructH函数总体思路

2.2.1 代码

2.2.2 总体思路解析 

3.Initializer::CheckRT

3.1 函数作用

3.2 构造函数 

3.3 代码 

3.4 流程解析 

3.4.0 初始化参数

3.4.1 计算初始化两帧的投影矩阵 

3.4.2  三角化恢复三维点Initializer::Triangulate

3.4.3  遍历所有的特征点对检查三维点是否合适

3.4.4 最后处理 

---

1.函数作用

        用H矩阵恢复R, t和三维点。

2.函数解析 

2.1 调用函数解析

​return ReconstructH(vbMatchesInliersH,	//输入，匹配成功的特征点对Inliers标记
							H,					//输入，前面RANSAC计算后的单应矩阵
							mK,					//输入，相机的内参数矩阵
							R21,t21,			//输出，计算出来的相机从参考帧1到当前帧2所发生的旋转和位移变换
							vP3D,				//特征点对经过三角测量之后的空间坐标，也就是地图点
							vbTriangulated,		//特征点对是否成功三角化的标记
							1.0,				//这个对应的形参为minParallax，即认为某对特征点的三角化测量中，认为其测量有效时
												//需要满足的最小视差角（如果视差角过小则会引起非常大的观测误差）,单位是角度
							50);				//为了进行运动恢复，所需要的最少的三角化测量成功的点个数

​

        该函数的调用函数为Initializer::Initialize，该函数的目的是初始化SLAM系统，即用单目初始化器的第一帧作为SLAM系统的基点并计算出第一帧和第二帧的变换矩阵并初始化地图点。此函数是在计算出H矩阵的前提下，我们想通过H矩阵来恢复单目初始化器两帧间的位姿。

        输入参数为匹配成功的特征点对Inliers标记、RANSAC计算出的单应矩阵H、相机的内参、认为某对特征点的三角化测量中有效时需要满足的最小视差角、为了进行运动恢复，所需要的最少的三角化测量成功的点个数（如果恢复的3D点小于这个则认为初始化失败）

        输出参数为计算出来的相机从参考帧1到当前帧2所发生的旋转和位移变换、特征点对经过三角测量之后的空间坐标，也就是地图点。

2.2 Initializer::ReconstructH函数总体思路

2.2.1 代码

/**
 * @brief 用H矩阵恢复R, t和三维点
 * H矩阵分解常见有两种方法：Faugeras SVD-based decomposition 和 Zhang SVD-based decomposition
 * 代码使用了Faugeras SVD-based decomposition算法，参考文献
 * Motion and structure from motion in a piecewise planar environment. International Journal of Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 1988 
 * 
 * @param[in] vbMatchesInliers          匹配点对的内点标记
 * @param[in] H21                       从参考帧到当前帧的单应矩阵
 * @param[in] K                         相机的内参数矩阵
 * @param[in & out] R21                 计算出来的相机旋转
 * @param[in & out] t21                 计算出来的相机平移
 * @param[in & out] vP3D                世界坐标系下，三角化测量特征点对之后得到的特征点的空间坐标
 * @param[in & out] vbTriangulated      特征点是否成功三角化的标记
 * @param[in] minParallax               对特征点的三角化测量中，认为其测量有效时需要满足的最小视差角（如果视差角过小则会引起非常大的观测误差）,单位是角度
 * @param[in] minTriangulated           为了进行运动恢复，所需要的最少的三角化测量成功的点个数
 * @return true                         单应矩阵成功计算出位姿和三维点
 * @return false                        初始化失败
 */
bool Initializer::ReconstructH(vector &vbMatchesInliers, cv::Mat &H21, cv::Mat &K,
                      cv::Mat &R21, cv::Mat &t21, vector &vP3D, vector &vbTriangulated, float minParallax, int minTriangulated)
{

    // 目的 ：通过单应矩阵H恢复两帧图像之间的旋转矩阵R和平移向量T
    // 参考 ：Motion and structure from motion in a piecewise plannar environment.
    //        International Journal of Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 1988
    // https://www.researchgate.net/publication/243764888_Motion_and_Structure_from_Motion_in_a_Piecewise_Planar_Environment
    
    // 流程:
    //      1. 根据H矩阵的奇异值d'= d2 或者 d' = -d2 分别计算 H 矩阵分解的 8 组解
    //        1.1 讨论 d' > 0 时的 4 组解
    //        1.2 讨论 d' < 0 时的 4 组解
    //      2. 对 8 组解进行验证，并选择产生相机前方最多3D点的解为最优解

    // 统计匹配的特征点对中属于内点(Inlier)或有效点个数
    int N=0;
    for(size_t i=0, iend = vbMatchesInliers.size() ; i(0);
    float d2 = w.at(1);
    float d3 = w.at(2);

    // SVD分解正常情况下特征值di应该是正的，且满足d1>=d2>=d3
    if(d1/d2<1.00001 || d2/d3<1.00001) {
        return false;
    }


    // 在ORBSLAM中没有对奇异值 d1 d2 d3按照论文中描述的关系进行分类讨论, 而是直接进行了计算
    // 定义8中情况下的旋转矩阵、平移向量和空间向量
    vector vR, vt, vn;
    vR.reserve(8);
    vt.reserve(8);
    vn.reserve(8);

    // Step 1.1 讨论 d' > 0 时的 4 组解
    // 根据论文eq.(12)有
    // x1 = e1 * sqrt((d1 * d1 - d2 * d2) / (d1 * d1 - d3 * d3))
    // x2 = 0
    // x3 = e3 * sqrt((d2 * d2 - d2 * d2) / (d1 * d1 - d3 * d3))
    // 令 aux1 = sqrt((d1*d1-d2*d2)/(d1*d1-d3*d3))
    //    aux3 = sqrt((d2*d2-d3*d3)/(d1*d1-d3*d3))
    // 则
    // x1 = e1 * aux1
    // x3 = e3 * aux2

    // 因为 e1,e2,e3 = 1 or -1
    // 所以有x1和x3有四种组合
    // x1 =  {aux1,aux1,-aux1,-aux1}
    // x3 =  {aux3,-aux3,aux3,-aux3}

    float aux1 = sqrt((d1*d1-d2*d2)/(d1*d1-d3*d3));
    float aux3 = sqrt((d2*d2-d3*d3)/(d1*d1-d3*d3));
    float x1[] = {aux1,aux1,-aux1,-aux1};
    float x3[] = {aux3,-aux3,aux3,-aux3};


    // 根据论文eq.(13)有
    // sin(theta) = e1 * e3 * sqrt(( d1 * d1 - d2 * d2) * (d2 * d2 - d3 * d3)) /(d1 + d3)/d2
    // cos(theta) = (d2* d2 + d1 * d3) / (d1 + d3) / d2 
    // 令  aux_stheta = sqrt((d1*d1-d2*d2)*(d2*d2-d3*d3))/((d1+d3)*d2)
    // 则  sin(theta) = e1 * e3 * aux_stheta
    //     cos(theta) = (d2*d2+d1*d3)/((d1+d3)*d2)
    // 因为 e1 e2 e3 = 1 or -1
    // 所以 sin(theta) = {aux_stheta, -aux_stheta, -aux_stheta, aux_stheta}
    float aux_stheta = sqrt((d1*d1-d2*d2)*(d2*d2-d3*d3))/((d1+d3)*d2);
    float ctheta = (d2*d2+d1*d3)/((d1+d3)*d2);
    float stheta[] = {aux_stheta, -aux_stheta, -aux_stheta, aux_stheta};

    // 计算旋转矩阵 R'
    //根据不同的e1 e3组合所得出来的四种R t的解
    //      | ctheta      0   -aux_stheta|       | aux1|
    // Rp = |    0        1       0      |  tp = |  0  |
    //      | aux_stheta  0    ctheta    |       |-aux3|

    //      | ctheta      0    aux_stheta|       | aux1|
    // Rp = |    0        1       0      |  tp = |  0  |
    //      |-aux_stheta  0    ctheta    |       | aux3|

    //      | ctheta      0    aux_stheta|       |-aux1|
    // Rp = |    0        1       0      |  tp = |  0  |
    //      |-aux_stheta  0    ctheta    |       |-aux3|

    //      | ctheta      0   -aux_stheta|       |-aux1|
    // Rp = |    0        1       0      |  tp = |  0  |
    //      | aux_stheta  0    ctheta    |       | aux3|
    // 开始遍历这四种情况中的每一种
    for(int i=0; i<4; i++)
    {
        //生成Rp，就是eq.(8) 的 R'
        cv::Mat Rp=cv::Mat::eye(3,3,CV_32F);
        Rp.at(0,0)=ctheta;
        Rp.at(0,2)=-stheta[i];
        Rp.at(2,0)=stheta[i];        
        Rp.at(2,2)=ctheta;

        // eq.(8) 计算R
        cv::Mat R = s*U*Rp*Vt;

        // 保存
        vR.push_back(R);

        // eq. (14) 生成tp 
        cv::Mat tp(3,1,CV_32F);
        tp.at(0)=x1[i];
        tp.at(1)=0;
        tp.at(2)=-x3[i];
        tp*=d1-d3;

        // 这里虽然对t有归一化，并没有决定单目整个SLAM过程的尺度
        // 因为CreateInitialMapMonocular函数对3D点深度会缩放，然后反过来对 t 有改变
        // eq.(8)恢复原始的t
        cv::Mat t = U*tp;
        vt.push_back(t/cv::norm(t));

        // 构造法向量np
        cv::Mat np(3,1,CV_32F);
        np.at(0)=x1[i];
        np.at(1)=0;
        np.at(2)=x3[i];

        // eq.(8) 恢复原始的法向量
        cv::Mat n = V*np;
        //看PPT 16页的图，保持平面法向量向上
        if(n.at(2)<0)
            n=-n;
        // 添加到vector
        vn.push_back(n);
    }
    
    // Step 1.2 讨论 d' < 0 时的 4 组解
    float aux_sphi = sqrt((d1*d1-d2*d2)*(d2*d2-d3*d3))/((d1-d3)*d2);
    // cos_theta项
    float cphi = (d1*d3-d2*d2)/((d1-d3)*d2);
    // 考虑到e1,e2的取值，这里的sin_theta有两种可能的解
    float sphi[] = {aux_sphi, -aux_sphi, -aux_sphi, aux_sphi};

    // 对于每种由e1 e3取值的组合而形成的四种解的情况
    for(int i=0; i<4; i++)
    {
        // 计算旋转矩阵 R'
        cv::Mat Rp=cv::Mat::eye(3,3,CV_32F);
        Rp.at(0,0)=cphi;
        Rp.at(0,2)=sphi[i];
        Rp.at(1,1)=-1;
        Rp.at(2,0)=sphi[i];
        Rp.at(2,2)=-cphi;

        // 恢复出原来的R
        cv::Mat R = s*U*Rp*Vt;
        // 然后添加到vector中
        vR.push_back(R);

        // 构造tp
        cv::Mat tp(3,1,CV_32F);
        tp.at(0)=x1[i];
        tp.at(1)=0;
        tp.at(2)=x3[i];
        tp*=d1+d3;

        // 恢复出原来的t
        cv::Mat t = U*tp;
        // 归一化之后加入到vector中,要提供给上面的平移矩阵都是要进行过归一化的
        vt.push_back(t/cv::norm(t));

        // 构造法向量np
        cv::Mat np(3,1,CV_32F);
        np.at(0)=x1[i];
        np.at(1)=0;
        np.at(2)=x3[i];

        // 恢复出原来的法向量
        cv::Mat n = V*np;
        // 保证法向量指向上方
        if(n.at(2)<0)
            n=-n;
        // 添加到vector中
        vn.push_back(n);
    }

    // 最好的good点
    int bestGood = 0;
    // 其次最好的good点
    int secondBestGood = 0;    
    // 最好的解的索引，初始值为-1
    int bestSolutionIdx = -1;
    // 最大的视差角
    float bestParallax = -1;
    // 存储最好解对应的，对特征点对进行三角化测量的结果
    vector bestP3D;
    // 最佳解所对应的，那些可以被三角化测量的点的标记
    vector bestTriangulated;

    // Instead of applying the visibility constraints proposed in the WFaugeras' paper (which could fail for points seen with low parallax)
    // We reconstruct all hypotheses and check in terms of triangulated points and parallax
    
    // Step 2. 对 8 组解进行验证，并选择产生相机前方最多3D点的解为最优解
    for(size_t i=0; i<8; i++)
    {
        // 第i组解对应的比较大的视差角
        float parallaxi;
        // 三角化测量之后的特征点的空间坐标
        vector vP3Di;
        // 特征点对是否被三角化的标记
        vector vbTriangulatedi;
    
        // 调用 Initializer::CheckRT(), 计算good点的数目
        int nGood = CheckRT(vR[i],vt[i],                    //当前组解的旋转矩阵和平移向量
                            mvKeys1,mvKeys2,                //特征点
                            mvMatches12,vbMatchesInliers,   //特征匹配关系以及Inlier标记
                            K,                              //相机的内参数矩阵
                            vP3Di,                          //存储三角化测量之后的特征点空间坐标的
                            4.0*mSigma2,                    //三角化过程中允许的最大重投影误差
                            vbTriangulatedi,                //特征点是否被成功进行三角测量的标记
                            parallaxi);                     // 这组解在三角化测量的时候的比较大的视差角
        
        // 更新历史最优和次优的解
        // 保留最优的和次优的解.保存次优解的目的是看看最优解是否突出
        if(nGood>bestGood)
        {
            // 如果当前组解的good点数是历史最优，那么之前的历史最优就变成了历史次优
            secondBestGood = bestGood;
            // 更新历史最优点
            bestGood = nGood;
            // 最优解的组索引为i（就是当前次遍历）
            bestSolutionIdx = i;
            // 更新变量
            bestParallax = parallaxi;
            bestP3D = vP3Di;
            bestTriangulated = vbTriangulatedi;
        }
        // 如果当前组的good计数小于历史最优但却大于历史次优
        else if(nGood>secondBestGood)
        {
            // 说明当前组解是历史次优点，更新之
            secondBestGood = nGood;
        }
    }



    // Step 3 选择最优解。要满足下面的四个条件
    // 1. good点数最优解明显大于次优解，这里取0.75经验值
    // 2. 视角差大于规定的阈值
    // 3. good点数要大于规定的最小的被三角化的点数量
    // 4. good数要足够多，达到总数的90%以上
    if(secondBestGood<0.75*bestGood &&      
       bestParallax>=minParallax &&
       bestGood>minTriangulated && 
       bestGood>0.9*N)
    {
        // 从最佳的解的索引访问到R，t
        vR[bestSolutionIdx].copyTo(R21);
        vt[bestSolutionIdx].copyTo(t21);
        // 获得最佳解时，成功三角化的三维点，以后作为初始地图点使用
        vP3D = bestP3D;
        // 获取特征点的被成功进行三角化的标记
        vbTriangulated = bestTriangulated;

        //返回真，找到了最好的解
        return true;
    }
    return false;
}

2.2.2 总体思路解析 

        1. 根据H矩阵的奇异值d'= d2 或者 d' = -d2 分别计算 H 矩阵分解的 8 组解（不需要明白）
              1.1 讨论 d' > 0 时的 4 组解
              1.2 讨论 d' < 0 时的 4 组解
        2. 对 8 组解进行验证，并选择产生相机前方最多3D点的解为最优解。（CheckRT）

        这里分解为八组解为论文中所做的事情，我们不加解释，主要将这八组解解出的R，t，这8 组解进行验证，并选择产生相机前方最多3D点的解为最优解。

        总体思路：我们按照论文所作计算出了八组解，对每一个解进行验证（计算能恢复的3D点数量），记录恢复3D点最多和次多的解。判断：

        如果：

        ①0.75倍最优解的数量大于次优解（保证系统鲁棒性）

        ②视角差大于规定的阈值

        ③good点数要大于规定的最小的被三角化的点数量
        ④good数要足够多，达到总数的90%以上

        则：

        选取这组解的作为地图初始化的，这组解初始化的3D点作为初始地图点使用，获取特征点的被成功进行三角化的标记，向上层函数返回true表示单目初始化成功。

3.Initializer::CheckRT

3.1 函数作用

        用位姿来对特征匹配点三角化，从中筛选中合格的三维点。

3.2 构造函数 

 * @brief 用位姿来对特征匹配点三角化，从中筛选中合格的三维点
 * 
 * @param[in] R                                     旋转矩阵R
 * @param[in] t                                     平移矩阵t
 * @param[in] vKeys1                                参考帧特征点  
 * @param[in] vKeys2                                当前帧特征点
 * @param[in] vMatches12                            两帧特征点的匹配关系
 * @param[in] vbMatchesInliers                      特征点对内点标记
 * @param[in] K                                     相机内参矩阵
 * @param[in & out] vP3D                            三角化测量之后的特征点的空间坐标
 * @param[in] th2                                   重投影误差的阈值
 * @param[in & out] vbGood                          标记成功三角化点？
 * @param[in & out] parallax                        计算出来的比较大的视差角（注意不是最大，具体看后面代码）
 * @return int 
 */
int Initializer::CheckRT(const cv::Mat &R, const cv::Mat &t, const vector &vKeys1, const vector &vKeys2,
                       const vector &vMatches12, vector &vbMatchesInliers,
                       const cv::Mat &K, vector &vP3D, float th2, vector &vbGood, float ¶llax)

        传入参数：

        ①参考帧到当前帧的旋转矩阵R和平移矩阵t

        ②参考帧（第一帧）和当前帧（第二帧）的特征点容器vKeys1、vKeys2

        ③两帧特征点的匹配标记vMatches12以及特征点对内点标记vbMatchesInliers

        ④相机内参K，重投影误差阈值th2

        传出参数：

        ①三角化测量之后的特征点的空间坐标v3D

        ②标记成功三角化点vGoog

        ③返回三角化点的数量

3.3 代码 

int Initializer::CheckRT(const cv::Mat &R, const cv::Mat &t, const vector &vKeys1, const vector &vKeys2,
                       const vector &vMatches12, vector &vbMatchesInliers,
                       const cv::Mat &K, vector &vP3D, float th2, vector &vbGood, float ¶llax)
{   
    // 对给出的特征点对及其R t , 通过三角化检查解的有效性，也称为 cheirality check

    // Calibration parameters
	//从相机内参数矩阵获取相机的校正参数
    const float fx = K.at(0,0);
    const float fy = K.at(1,1);
    const float cx = K.at(0,2);
    const float cy = K.at(1,2);

	//特征点是否是good点的标记，这里的特征点指的是参考帧中的特征点
    vbGood = vector(vKeys1.size(),false);
	//重设存储空间坐标的点的大小
    vP3D.resize(vKeys1.size());

	//存储计算出来的每对特征点的视差
    vector vCosParallax;
    vCosParallax.reserve(vKeys1.size());

    // Camera 1 Projection Matrix K[I|0]
    // Step 1：计算相机的投影矩阵  
    // 投影矩阵P是一个 3x4 的矩阵，可以将空间中的一个点投影到平面上，获得其平面坐标，这里均指的是齐次坐标。
    // 对于第一个相机是 P1=K*[I|0]
 
    // 以第一个相机的光心作为世界坐标系, 定义相机的投影矩阵
    cv::Mat P1(3,4,				//矩阵的大小是3x4
			   CV_32F,			//数据类型是浮点数
			   cv::Scalar(0));	//初始的数值是0
	//将整个K矩阵拷贝到P1矩阵的左侧3x3矩阵，因为 K*I = K
    K.copyTo(P1.rowRange(0,3).colRange(0,3));
    // 第一个相机的光心设置为世界坐标系下的原点
    cv::Mat O1 = cv::Mat::zeros(3,1,CV_32F);

    // Camera 2 Projection Matrix K[R|t]
    // 计算第二个相机的投影矩阵 P2=K*[R|t]
    cv::Mat P2(3,4,CV_32F);
    R.copyTo(P2.rowRange(0,3).colRange(0,3));
    t.copyTo(P2.rowRange(0,3).col(3));
	//最终结果是K*[R|t]
    P2 = K*P2;
    // 第二个相机的光心在世界坐标系下的坐标
    cv::Mat O2 = -R.t()*t;

	//在遍历开始前，先将good点计数设置为0
    int nGood=0;

	// 开始遍历所有的特征点对
    for(size_t i=0, iend=vMatches12.size();i(0)) || !isfinite(p3dC1.at(1)) || !isfinite(p3dC1.at(2)))
        {
			//其实这里就算是不这样写也没问题，因为默认的匹配点对就不是good点
            vbGood[vMatches12[i].first]=false;
			//继续对下一对匹配点的处理
            continue;
        }

        // Check parallax
        // Step 4 第二关：通过三维点深度值正负、两相机光心视差角大小来检查是否合法 

        //得到向量PO1
        cv::Mat normal1 = p3dC1 - O1;
		//求取模长，其实就是距离
        float dist1 = cv::norm(normal1);

		//同理构造向量PO2
        cv::Mat normal2 = p3dC1 - O2;
		//求模长
        float dist2 = cv::norm(normal2);

		//根据公式：a.*b=|a||b|cos_theta 可以推导出来下面的式子
        float cosParallax = normal1.dot(normal2)/(dist1*dist2);

        // Check depth in front of first camera (only if enough parallax, as "infinite" points can easily go to negative depth)
        // 如果深度值为负值，为非法三维点跳过该匹配点对
        // ?视差比较小时，重投影误差比较大。这里0.99998 对应的角度为0.36°,这里不应该是 cosParallax>0.99998 吗？
        // ?因为后面判断vbGood 点时的条件也是 cosParallax<0.99998 
        // !可能导致初始化不稳定
        if(p3dC1.at(2)<=0 && cosParallax<0.99998)
            continue;

        // Check depth in front of second camera (only if enough parallax, as "infinite" points can easily go to negative depth)
        // 讲空间点p3dC1变换到第2个相机坐标系下变为p3dC2
        cv::Mat p3dC2 = R*p3dC1+t;	
		//判断过程和上面的相同
        if(p3dC2.at(2)<=0 && cosParallax<0.99998)
            continue;

        // Step 5 第三关：计算空间点在参考帧和当前帧上的重投影误差，如果大于阈值则舍弃
        // Check reprojection error in first image
        // 计算3D点在第一个图像上的投影误差
		//投影到参考帧图像上的点的坐标x,y
        float im1x, im1y;
		//这个使能空间点的z坐标的倒数
        float invZ1 = 1.0/p3dC1.at(2);
		//投影到参考帧图像上。因为参考帧下的相机坐标系和世界坐标系重合，因此这里就直接进行投影就可以了
        im1x = fx*p3dC1.at(0)*invZ1+cx;
        im1y = fy*p3dC1.at(1)*invZ1+cy;

		//参考帧上的重投影误差，这个的确就是按照定义来的
        float squareError1 = (im1x-kp1.pt.x)*(im1x-kp1.pt.x)+(im1y-kp1.pt.y)*(im1y-kp1.pt.y);

        // 重投影误差太大，跳过淘汰
        if(squareError1>th2)
            continue;

        // Check reprojection error in second image
        // 计算3D点在第二个图像上的投影误差，计算过程和第一个图像类似
        float im2x, im2y;
        // 注意这里的p3dC2已经是第二个相机坐标系下的三维点了
        float invZ2 = 1.0/p3dC2.at(2);
        im2x = fx*p3dC2.at(0)*invZ2+cx;
        im2y = fy*p3dC2.at(1)*invZ2+cy;

		// 计算重投影误差
        float squareError2 = (im2x-kp2.pt.x)*(im2x-kp2.pt.x)+(im2y-kp2.pt.y)*(im2y-kp2.pt.y);

        // 重投影误差太大，跳过淘汰
        if(squareError2>th2)
            continue;

        // Step 6 统计经过检验的3D点个数，记录3D点视差角 
        // 如果运行到这里就说明当前遍历的这个特征点对靠谱，经过了重重检验，说明是一个合格的点，称之为good点 
        vCosParallax.push_back(cosParallax);
		//存储这个三角化测量后的3D点在世界坐标系下的坐标
        vP3D[vMatches12[i].first] = cv::Point3f(p3dC1.at(0),p3dC1.at(1),p3dC1.at(2));
		//good点计数++
        nGood++;

		//判断视差角，只有视差角稍稍大一丢丢的才会给打good点标记
		//? bug 我觉得这个写的位置不太对。你的good点计数都++了然后才判断，不是会让good点标志和good点计数不一样吗
        if(cosParallax<0.99998)
            vbGood[vMatches12[i].first]=true;
    }

    // Step 7 得到3D点中较小的视差角，并且转换成为角度制表示
    if(nGood>0)
    {
        // 从小到大排序，注意vCosParallax值越大，视差越小
        sort(vCosParallax.begin(),vCosParallax.end());

        // !排序后并没有取最小的视差角，而是取一个较小的视差角
		// 作者的做法：如果经过检验过后的有效3D点小于50个，那么就取最后那个最小的视差角(cos值最大)
		// 如果大于50个，就取排名第50个的较小的视差角即可，为了避免3D点太多时出现太小的视差角 
        size_t idx = min(50,int(vCosParallax.size()-1));
		//将这个选中的角弧度制转换为角度制
        parallax = acos(vCosParallax[idx])*180/CV_PI;
    }
    else
		//如果没有good点那么这个就直接设置为0了
        parallax=0;

	//返回good点计数
    return nGood;
}

3.4 流程解析 

3.4.0 初始化参数

        ①特征点是否是good点的标记，这里的特征点指的是参考帧中的特征点，将vGood初始化为第一帧特征点的数量，其为bool类型。

        ②三角化测量之后的特征点的空间坐标v3D初始化大小为第一帧中特征点的数量。

3.4.1 计算初始化两帧的投影矩阵 

        投影矩阵P是一个 3x4 的矩阵，可以将空间中的一个点投影到平面上，获得其平面坐标，这里均指的是齐次坐标。

        由于以第一个相机的光心作为世界坐标系。 其投影矩阵计算推导如下：

        我们默认第一个相机的矩阵为，因此第一个相机的投影矩阵为。第一个相机的光心坐标为。

        我们从传入参数可知第一个相机到第二个相机的变换，因此再左乘相机内参矩阵就能得到像素坐标，即世界坐标向像素坐标的投影矩阵为。

        同时计算第二帧的光心坐标在原点（第一帧）的坐标，计算如下图所示：

        第二个相机的光心在世界坐标系下的坐标，即我们要求第二个相机的光心在第一个相机坐标系下的坐标。

3.4.2  三角化恢复三维点Initializer::Triangulate

1.数学原理

        我们将投影方程进行如下描述：

        为方便推导，简单记为：

        为了化为齐次方程，左右两边同时叉乘，得到：

        利用两对匹配点，得到：

        SVD求解，右奇异矩阵的最后一行就是最终的解。

2.代码

/** 给定投影矩阵P1,P2和图像上的匹配特征点点kp1,kp2，从而计算三维点坐标
 * @brief 
 * 
 * @param[in] kp1               特征点, in reference frame
 * @param[in] kp2               特征点, in current frame
 * @param[in] P1                投影矩阵P1
 * @param[in] P2                投影矩阵P2
 * @param[in & out] x3D         计算的三维点
 */
void Initializer::Triangulate(
    const cv::KeyPoint &kp1,    //特征点, in reference frame
    const cv::KeyPoint &kp2,    //特征点, in current frame
    const cv::Mat &P1,          //投影矩阵P1
    const cv::Mat &P2,          //投影矩阵P2
    cv::Mat &x3D)               //三维点
{
    // 原理
    // Trianularization: 已知匹配特征点对{x x'} 和 各自相机矩阵{P P'}, 估计三维点 X
    // x' = P'X  x = PX
    // 它们都属于 x = aPX模型
    //                         |X|
    // |x|     |p1 p2  p3  p4 ||Y|     |x|    |--p0--||.|
    // |y| = a |p5 p6  p7  p8 ||Z| ===>|y| = a|--p1--||X|
    // |z|     |p9 p10 p11 p12||1|     |z|    |--p2--||.|
    // 采用DLT的方法：x叉乘PX = 0
    // |yp2 -  p1|     |0|
    // |p0 -  xp2| X = |0|
    // |xp1 - yp0|     |0|
    // 两个点:
    // |yp2   -  p1  |     |0|
    // |p0    -  xp2 | X = |0| ===> AX = 0
    // |y'p2' -  p1' |     |0|
    // |p0'   - x'p2'|     |0|
    // 变成程序中的形式：
    // |xp2  - p0 |     |0|
    // |yp2  - p1 | X = |0| ===> AX = 0
    // |x'p2'- p0'|     |0|
    // |y'p2'- p1'|     |0|
    // 然后就组成了一个四元一次正定方程组，SVD求解，右奇异矩阵的最后一行就是最终的解.

	//这个就是上面注释中的矩阵A
    cv::Mat A(4,4,CV_32F);

	//构造参数矩阵A
    A.row(0) = kp1.pt.x*P1.row(2)-P1.row(0);   
    A.row(1) = kp1.pt.y*P1.row(2)-P1.row(1);
    A.row(2) = kp2.pt.x*P2.row(2)-P2.row(0);
    A.row(3) = kp2.pt.y*P2.row(2)-P2.row(1);

	//奇异值分解的结果
    cv::Mat u,w,vt;
	//对系数矩阵A进行奇异值分解
    cv::SVD::compute(A,w,u,vt,cv::SVD::MODIFY_A| cv::SVD::FULL_UV);
	//根据前面的结论，奇异值分解右矩阵的最后一行其实就是解，原理类似于前面的求最小二乘解，四个未知数四个方程正好正定
	//别忘了我们更习惯用列向量来表示一个点的空间坐标
    x3D = vt.row(3).t();
	//为了符合其次坐标的形式，使最后一维为1
    x3D = x3D.rowRange(0,3)/x3D.at(3);
}

        至此我们恢复一对匹配特征点的3D点。

3.4.3  遍历所有的特征点对检查三维点是否合适

        我们遍历所有匹配的特征点对，如果不是外点，则将匹配好的特征点对传入Initializer::Triangulate函数内得到三维点。我们对三维点进行判断：

        ①检查三角化的三维点坐标是否合法：防止三角化出的点有一维坐标是无穷。

        ②通过三维点深度值正负、两相机光心视差角大小来检查是否合法 。即判断如果深度值为负值，为非法三维点跳过该匹配点对。计算视差角，当视差角比较小时，重投影误差比较大。

        ③计算空间点在参考帧和当前帧上的重投影误差，如果大于阈值则舍弃。计算3D点在第一、二个图像上的投影误差，看是否超过阈值选择是否抛弃。

        如果如上满足了，这个3D点可以被留下来，用vCosParallax向量存储合格3D点生成时计算出来的视差，存储这个三角化测量后的3D点在世界坐标系下的坐标。并将这两帧累计成功初始化的3D点nGood累加。

vP3D[vMatches12[i].first] = cv::Point3f(p3dC1.at(0),p3dC1.at(1),p3dC1.at(2));

3.4.4 最后处理 

        如果我们的变量nGood大于0（成功三角化得到的3D点的数目），我们将视差角从小到大排序，排序后并没有取最小的视差角，而是取一个较小的视差角。如果经过检验过后的有效3D点小于50个，那么就取最后那个最小的视差角(cos值最大)，如果大于50个，就取排名第50个的较小的视差角即可，为了避免3D点太多时出现太小的视差角。将这个选中的角弧度制转换为角度制输出。