FDD MASSIVE MIMO CHANNEL SPATIAL COVARIANCE CONVERSION USING PROJECTION METHODS 信道角度功率谱估计
FDD MASSIVE MIMO CHANNEL SPATIAL COVARIANCE CONVERSION USING PROJECTION METHODS 信道角度功率谱估计
- 系统模型
- APS估计算法
-
- 最小范数选取
- EAPM算法（Extrapolation Alternating Projection Method）
本文是针对L. Miretti, R. L. G. Cavalcante and S. Stanczak, “FDD Massive MIMO Channel Spatial Covariance Conversion Using Projection Methods,” 2018 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP), 2018, pp. 3609-3613, doi: 10.1109/ICASSP.2018.8462048.的学习笔记
本文解决的是在FDD系统中信道估计问题，基于的基本原理是角度功率谱的上下行信道互易性，求解问题时采用了在无限维Hilbert空间中的投影方法。
系统模型
考虑MU-MISO系统，第 k k k个采样时刻信道向量为 h [ k ] : = h ( k T c ) , k ∈ Z \mathbf{h}[k]:=\mathbf{h}\left(k T_{c}\right), k \in \mathbb{Z} h[k]:=h(kTc),k∈Z，信道服从如下分布： h [ k ] ∼ C N ( 0 , R ) i.i.d. (1) \mathbf{h}[k] \sim \mathcal{C} \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{R}) \quad \text { i.i.d. } \tag{1} h[k]∼CN(0,R) i.i.d. (1)其中 R \mathbf{R} R表征信道的相关性信息，即信道的二阶统计信息。信道的上下行信道相关矩阵如下： R u = ∫ − π π ρ ( θ ) a u ( θ ) a u ( θ ) H d θ R d = ∫ − π π ρ ( θ ) a d ( θ ) a d ( θ ) H d θ (2) \begin{aligned} \mathbf{R}^{u} &=\int_{-\pi}^{\pi} \rho(\theta) \mathbf{a}^{u}(\theta) \mathbf{a}^{u}(\theta)^{H} d \theta \\ \mathbf{R}^{d} &=\int_{-\pi}^{\pi} \rho(\theta) \mathbf{a}^{d}(\theta) \mathbf{a}^{d}(\theta)^{H} d \theta \end{aligned} \tag{2} RuRd=∫−ππρ(θ)au(θ)au(θ)Hdθ=∫−ππρ(θ)ad(θ)ad(θ)Hdθ(2)其中 ρ ( θ ) \rho(\theta) ρ(θ)表征信道的角度功率谱。在FDD系统中，上下行信道的角度功率谱是互易的，所以可以利用上行信道的测量结果求出角度功率谱，进而构造下行信道，这也是本文的基本思想。
信道构造方式如下 ： h [ k ] = U p Δ p 1 2 w [ k ] (3) \mathbf{h}[k]=\mathbf{U}_{p} \boldsymbol{\Delta}_{p}^{\frac{1}{2}} \mathbf{w}[k] \tag{3} h[k]=UpΔp21w[k](3)其中 R d = U Δ U H \mathbf{R}^{d}=\mathbf{U} \mathbf{\Delta} \mathbf{U}^{H} Rd=UΔUH，而 p : = rank ( R d ) < N p:=\operatorname{rank}\left(\mathbf{R}^{d}\right)
本文重点是APS算法。
APS估计算法
将 ( 2 ) (2) (2)式向量化，有： r m u = ∫ − π π ρ ( θ ) g m u ( θ ) d θ m = 1 … M , M = 2 N 2 (4) r_{m}^{u}=\int_{-\pi}^{\pi} \rho(\theta) g_{m}^{u}(\theta) d \theta \quad m=1 \ldots M, \quad M=2 N^{2} \tag{4} rmu=∫−ππρ(θ)gmu(θ)dθm=1…M,M=2N2(4)其中 r m u ∈ R r_{m}^{u} \in \mathbb{R} rmu∈R是向量 r u : = vec ( [ ℜ { R u } ℑ { R u } ] ) \mathbf{r}^{u}:=\operatorname{vec}\left(\left[\Re\left\{\mathbf{R}^{u}\right\} \Im\left\{\mathbf{R}^{u}\right\}\right]\right) ru:=vec([ℜ{Ru}ℑ{Ru}])的第 m m m项， g m u : [ − π , π ] ⟶ R g_{m}^{u}:[-\pi, \pi] \longrightarrow \mathbb{R} gmu:[−π,π]⟶R是 a u ( θ ) a u ( θ ) H \mathbf{a}^{u}(\theta) \mathbf{a}^{u}(\theta)^{H} au(θ)au(θ)H向量化之后的对应项。我们在 L 2 [ − π , π ] L^{2}[-\pi, \pi] L2[−π,π]上定义一个 H \mathcal{H} H空间，内积定义为 ⟨ f , g ⟩ = ∫ − π π f ( θ ) g ( θ ) d θ \langle f, g\rangle=\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta) g(\theta) d \theta ⟨f,g⟩=∫−ππf(θ)g(θ)dθ，则上式可以表述为： r m u = ⟨ ρ , g m u ⟩ m = 1 … M (5) r_{m}^{u}=\left\langle\rho, g_{m}^{u}\right\rangle \quad m=1 \ldots M \tag{5} rmu=⟨ρ,gmu⟩m=1…M(5)该式表明 r m u r_m^u rmu是APS与基向量内积的结果，考虑到基向量组成的矩阵可能不适定，改为集合论表述： find ρ ∗ ∈ V : = ∩ m = 1 M V m ≠ ∅ (6) \text { find } \rho^{*} \in V:=\cap_{m=1}^{M} V_{m} \neq \emptyset \tag{6} find ρ∗∈V:=∩m=1MVm=∅(6)其中 V m : = { ρ ∈ H : ⟨ ρ , g m u ⟩ = r m u } for m = 1 … M V_{m}:=\left\{\rho \in \mathcal{H}:\left\langle\rho, g_{m}^{u}\right\rangle=r_{m}^{u}\right\} \text { for } m=1 \ldots M Vm:={ρ∈H:⟨ρ,gmu⟩=rmu} for m=1…M。
该表述的物理意义是 V m V_m Vm表征了与基向量 g m u g_m^u gmu内积之后的结果是 r m u r_m^u rmu的空间，而我们所选的APS向量即在所有 V m V_m Vm的交基中。到这里为止，本文提供了两种在交集空间中选取 ρ \rho ρ的算法：最小范数选取以及EAPM算法。
最小范数选取
ρ ^ = arg min ρ ∗ ∈ V ∥ ρ ∗ ∥ (7) \hat{\rho}=\arg \min _{\rho^{*} \in V}\left\|\rho^{*}\right\| \tag{7} ρ^=argρ∗∈Vmin∥ρ∗∥(7)该最小范数解对应的是0向量在 V V V空间中的投影，其闭式解形式如下： ρ ^ ( θ ) = ∑ m = 1 M α m g m u ( θ ) (8) \hat{\rho}(\theta)=\sum_{m=1}^{M} \alpha_{m} g_{m}^{u}(\theta) \tag{8} ρ^(θ)=m=1∑Mαmgmu(θ)(8)其中 α : = [ α 1 … α M ] \boldsymbol{\alpha}:=\left[\alpha_{1} \ldots \alpha_{M}\right] α:=[α1…αM]为： r u = G u α , G u = [ ⟨ g 1 u , g 1 u ⟩ ⟨ g 1 u , g 2 u ⟩ … ⟨ g 1 u , g M u ⟩ ⟨ g 2 u , g 1 u ⟩ ⟨ g 2 u , g 2 u ⟩ … ⟨ g 2 u , g M u ⟩ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⟨ g M u , g 1 u ⟩ ⟨ g M u , g 2 u ⟩ … ⟨ g M u , g M u ⟩ ] , (9) \begin{gathered} \mathbf{r}^{u}=\mathbf{G}^{u} \boldsymbol{\alpha}, \\ \mathbf{G}^{u}=\left[\begin{array}{cccc} \left\langle g_{1}^{u}, g_{1}^{u}\right\rangle & \left\langle g_{1}^{u}, g_{2}^{u}\right\rangle & \ldots & \left\langle g_{1}^{u}, g_{M}^{u}\right\rangle \\ \left\langle g_{2}^{u}, g_{1}^{u}\right\rangle & \left\langle g_{2}^{u}, g_{2}^{u}\right\rangle & \ldots & \left\langle g_{2}^{u}, g_{M}^{u}\right\rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \left\langle g_{M}^{u}, g_{1}^{u}\right\rangle & \left\langle g_{M}^{u}, g_{2}^{u}\right\rangle & \ldots & \left\langle g_{M}^{u}, g_{M}^{u}\right\rangle \end{array}\right], \end{gathered} \tag{9} ru=Guα,Gu=⎣⎢⎢⎢⎡⟨g1u,g1u⟩⟨g2u,g1u⟩⋮⟨gMu,g1u⟩⟨g1u,g2u⟩⟨g2u,g2u⟩⋮⟨gMu,g2u⟩……⋱…⟨g1u,gMu⟩⟨g2u,gMu⟩⋮⟨gMu,gMu⟩⎦⎥⎥⎥⎤,(9)这里并不要求 g i u g_i^u giu是独立的。
EAPM算法（Extrapolation Alternating Projection Method）
在上述原理基础上，进一步利用APS的一些先验信息以达到拿到更好的解的目的。这里利用的是APS为实数且大于零这一性质，迭代算法如下： ρ ( i + 1 ) = ρ ( i ) + ν K i [ P V ( P Z ( ρ ( i ) ) ) − ρ ( i ) ] ( ∀ i ∈ N ) (10) \rho^{(i+1)}=\rho^{(i)}+\nu K_{i}\left[P_{V}\left(P_{Z}\left(\rho^{(i)}\right)\right)-\rho^{(i)}\right] \quad(\forall i \in \mathbb{N}) \tag{10} ρ(i+1)=ρ(i)+νKi[PV(PZ(ρ(i)))−ρ(i)](∀i∈N)(10)其中 P V , P Z P_V,P_Z PV,PZ为向 V V V空间及 Z Z Z空间的投影算法： P V ( x ) = x − ∑ m = 1 M β m g m u + P V ( 0 ) (11) P_{V}(x)=x-\sum_{m=1}^{M} \beta_{m} g_{m}^{u}+P_{V}(0) \tag{11} PV(x)=x−m=1∑Mβmgmu+PV(0)(11)其中 β : = [ β 1 … β M ] \boldsymbol{\beta}:=\left[\beta_{1} \ldots \beta_{M}\right] β:=[β1…βM]为 b = G u β \mathbf{b}=\mathbf{G}^{u} \boldsymbol{\beta} b=Guβ的解， b \mathbf{b} b有： b m = ⟨ x , g m u ⟩ b_{m}=\left\langle x, g_{m}^{u}\right\rangle bm=⟨x,gmu⟩。向 Z Z Z空间投影为 P Z ( x ) = { x ( θ ) , for x ( θ ) ≥ 0 0 , otherwise (12) P_{Z}(x)=\left\{\begin{array}{ll} x(\theta), & \text { for } x(\theta) \geq 0 \\ 0, & \text { otherwise } \end{array}\right. \tag{12} PZ(x)={x(θ),0, for x(θ)≥0 otherwise (12)迭代有解。