leetcode动态规划总结

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动态规划理论

提示：文章内容来源于代码随想录，个人总结记录方便自己记忆：

动态规划（DP），某一问题存在很多重叠子问题，用dp一般有效。
记住动态规划每个状态从上一个状态推导而来即可。

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一、解题步骤

五部曲：
（1）确定dp数组（dp table）以及下标的含义
（2）确定递推公式
（3）dp数组如何初始化
（4）确定遍历顺序
（5）举例推导dp数组

二、动态规划如何debug

（1）打印出dp数组，看看跟推导符不符合
（2）自己举例子模拟一遍
（3）重在推导

三、经典题目

leetcode509.斐波那契数组

这题转移方程给出来了，唯一需要注意的是n<2的时候需要列一下。

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return n
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1
        for i in range(2, n + 1):
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        return dp[n]

用五部曲来简单列一下这道题的过程
（1）确定dp数组（dp table）以及下标的含义：
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
（2）确定递推公式：
题目给出了dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
（3）dp数组如何初始化：
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
（4）确定遍历顺序
从公式可以看出顺序从前到后
（5）举例推导dp公式
N = 10代入，手写出dp数组，然后代码打印一遍，看看匹不匹配

leetcode70.爬楼梯

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[0] = dp[1] = 1
        for i in range(2, n + 1):
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        return dp[n]

leetcode746.使用最小花费爬楼梯

class Solution:
    def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
        dp = [0] * (len(cost) + 1)
        # 1.dp数组的意义
        # dp[i]表示爬到第i楼需要的花费
        # 2.dp数组的推导
        # dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
        # 3.dp数组的初始化
        # dp[0] = 0
        # dp[1] = 0
        dp[0] = 0
        dp[1] = 0
        for i in range(2, len(cost) + 1):
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
        return dp[len(cost)]

leetcode62.不同路径

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        # 1.确定dp数组意义
        dp = [[1 for i in range(n)] for j in range(m)]
        # 初始化
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
        return dp[m - 1][n - 1]

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leetcode63.不同路径2

class Solution:
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
        # 构造一个DP table
        row = len(obstacleGrid)
        col = len(obstacleGrid[0])
        dp = [[0 for _ in range(col)] for _ in range(row)]

        dp[0][0] = 1 if obstacleGrid[0][0] != 1 else 0
        if dp[0][0] == 0: return 0  # 如果第一个格子就是障碍，return 0
        # 第一行
        for i in range(1, col):
            if obstacleGrid[0][i] != 1:
                dp[0][i] = dp[0][i-1]

        # 第一列
        for i in range(1, row):
            if obstacleGrid[i][0] != 1:
                dp[i][0] = dp[i-1][0]
        print(dp)

        for i in range(1, row):
            for j in range(1, col):
                if obstacleGrid[i][j] != 1:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        return dp[-1][-1]

leetcode343.整数拆分

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[2] = 1
        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(1, i - 1):
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
        return dp[n]

leetcode96.不同的二叉搜索树

这道题感觉挺有难度的

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[0], dp[1] = 1, 1
        for i in range(2, n + 1):
            for j in range(1, i + 1):
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]
        return dp[-1]

四、背包问题

4.1.01背包问题

五部曲：
（1）确定dp数组以及下标的含义：对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
（2）确定递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
（3）初始化：这个是01背包问题的重点，先初始化dp[i][0],然后初始化dp[0][j],很好理解的是如果j=0即背包容量为0，那么dp[i][0]=0，当j>=weight[0]时，dp[0][j]初始化为value[0]。
（4）确定遍历顺序：一般是先物品后背包重量
（5）举例推导