机器学习算法 - 神经网络

一、非线性假设

我们之前已经学习过线性回归和逻辑回归算法了，为什么还要研究神经网络？ 我们先看一个例子。下面是一个监督学习分类问题的训练集。

当我们使用x1，x2的多次项式进行预测时，我们可以应用的很好。 使用非线性的多项式项，能够建立更好的分类模型。假设有非常多的特征，例如大于100个变量，希望用这100个特征来构建一个非线性的多项式模型，结果将是数量非常惊人的特征组合，即便只采用两两特征的组合，也会有接近5000个组合而成的特征。这对于一般的逻辑回归来说需要计算的特征太多了。

普通的逻辑回归模型，不能有效地处理这么多的特征，这时候就需要神经网络模型。

二、感知机与多层网络

神经网络模型建立在很多神经元之上，每个神经元是一个学习模型。这些神经元（也叫激活单元，activation unit）采纳一些特征作为输入，并且根据本身的模型提供一个输出。

神经元接收来自其他神经元传递过来的输入信号，这些输入信号通过带权重的连接进行传递，神经元接收到的总输入值将与神经元的阈值进行比较，然后通过”激活函数“处理以产生神经元的输出。实际常用Sigmoid函数作为激活函数。（引用西瓜书上的原话）

2.1感知机

感知机（Perceptron）由两层神经元组成。输入层接收外界输入信号后传递给输出层，输出层是M-P神经元（亦称”阈值逻辑单元“（threshold logic unit））。

注意：
感知机只有输出层神经元进行激活函数处理，即只拥有一层功能神经元，学习能力有限。
感知机只能解决线性可分问题

2.2多层网络

要解决非线性可分问题，需要多层感知机，就是多层网络。
输入层和输出层之间的层称为”隐层“或”隐含层“，隐含层和输出层都是拥有激活函数的功能神经元。
在神经网络中，只需包含隐层，即可称为多层网络。

其中： $x_1,x_2,x_3$ 是输入单元，将原始数据输入给它们，处于输入层； $a_1,a_2,a_3$是中间单元，负责将数据进行处理，然后呈递到下一层；最后是输出单元，它负责计算$h_{\theta }(x)$。

标记：
$L$：表示神经网络层数
$S_L$：表示第L层的单元数（不包括偏置单元）
$a_i^{(j)}$：第$j$层的第$i$个单元的激活值
${\theta }^{(j)}$：从第$j$层映射到第$j+1$层的权重矩阵
$k$：表示输出的类别数，相当于输出单元数

说明：
当类别k=2时，则直接用一个输出单元
当类别k>=3时，就有k个输出单元。$S_L=k$

三、前向传播算法

下图为一个3层的神经网络，第一层为输入层（Input Layer），最后一层为输出层（Output Layer），中间一层为隐藏层（Hidden Layers）。我们为每一层都增加一个偏差单位（bias unit）。

标记：

$a_i^{(j)}$：第$j$层的第$i$个单元的激活值

${\theta }^{(j)}$：从第$j$层映射到第$j+1$层的权重矩阵；例如${\theta }^{(1)}$代表从第1层映射到第2层的权重矩阵，其大小为：第$j+1$层的激活单元数量为行数，以第$j$层的激活单元数加1为列数的矩阵。

对上述模型，激活单元和输出分别表达为：

把$x,\theta ,a$ 分别用矩阵表示：

可得 $\Theta \cdot x=a$

把这样从左到右的算法称为前向传播算法( Forward Propagation ）

说明：
此处${\theta }^{(1)}\in R^{3\times 4}$ ，属于$3\times 4$的向量
更一般的，如果一个网络在第$j$层有$S_j$个单元，那么矩阵${\theta }^{(j)}$的维度为$S_{j+1}\times (S_j+1)$，这里包含了偏置单元

四、神经网络模型展示

介绍神经网络模型的展示，实现不同的功能。此处假设$h_{\Theta }(x)=\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}X}}$

4.1单层神经网络模拟逻辑与、或

单层神经网络可以解决线性可分问题，比如逻辑与、或、非等。
举例说明：逻辑与(AND)

当${\theta }_0=-30,{\theta }_1=20,{\theta }_2=20$，此时$h_{\Theta }(x)=g(-30+20x_1+20x_2)$


从图中可以看出$h_{\Theta }(x)\approx x_{1}AND{x}_2$

举例说明：逻辑或(OR)

4.2多层神经网络模拟同或（异或非）

多层功能神经元，解决非线性可分问题
举例说明：逻辑同或(XNOR)
XNOR = (x and y) or ((NOT x) and (NOT y))
x,y也可表示为下图中的$x_1,x_2$

这种方法可以逐渐构造出越来越复杂的函数，也能得到更加厉害的特征值。

五、神经网络的代价函数

以逻辑回归代价函数作为一般形式有
$Logisticregression$:
$$J(\theta )=-\frac{1}{m}[\sum _{i=1}^m{y}^{(i)}log{h}_{\theta }(x^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-h_{\theta }(x^{(i)}))]+\frac{\lambda }{2m}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2$$
可以这样理解，上述式子代表神经网络中一个输出单元的代价函数。

在逻辑回归中，我们只有一个输出变量，又称标量（scalar），也只有一个因变量，但
是在神经网络中，我们可以有很多输出变量，我们的ℎ()是一个维度为的向量，并且我们
训练集中的因变量也是同样维度的一个向量，因此我们的代价函数会比逻辑回归更加复杂一
些，为：

$Neuralnetwork$:
$$J_{(\Theta )}=-\frac{1}{m}[\sum _{i=1}^m\sum _{k=1}^K{y}_k^{(i)}log(h_{\Theta }(x^{(i)}){)}_k+(1-y_k^{(i)})log(1-(h_{\Theta }(x^{(i)}){)}_k)]+\frac{\lambda }{2m}\sum _{l=1}^{L-1}\sum _{i=1}^{S_l}\sum _{j=1}^{S_{l+1}}({\Theta }_{ji}^{(l)}{)}^2$$

解释：
L：表示神经网络层数
$S_l$：表示第L层的单元数（不包括偏置单元）
K：表示输出层的单元数
j：表示权重矩阵的行数
正则化中的i：表示权重矩阵的列

这个看起来复杂很多的代价函数背后的思想还是一样的，我们希望通过代价函数来观察
算法预测的结果与真实情况的误差有多大，唯一不同的是，对于每一行特征，我们都会给出
个预测，基本上我们可以利用循环，对每一行特征都预测个不同结果，然后在利用循环
在个预测中选择可能性最高的一个，将其与中的实际数据进行比较。

正则化的那一项只是排除了每一层${\theta }_0$后，每一层的矩阵的和。最里层的循环循环所
有的行（由 +1 层的激活单元数决定），循环则循环所有的列，由该层（$S_l$层）的激活单
元数所决定。

六、最小化代价函数 - 反向传播算法

6.1回顾前向传播

为了计算偏导数，我们使用一种反向传播的算法。
假设训练集只有一个样本，记为(x,y)。
我们先用前向传播算法计算在给定输入的时候，假设函数是否会真的输出结果。

$a^{(1)}=x$ $(a^{(1)}$表示第一层的激活值)
$z^{(2)}={\theta }^{(1)}{a}^{(1)}$
$a^{(2)}=g(z^{(2)})$ $(add{a}_0^{(2)})$
$z^{(3)}={\theta }^{(2)}{a}^{(2)}$
$a^{(3)}=g(z^{(3)})$ $(add{a}_0^{(3)})$
$z^{(4)}={\theta }^{(3)}{a}^{(3)}$
$a^{(4)}=h_{\Theta }(x)=g(z^{(4)})$

6.2反向传播的意义

反向传播算法是一种计算偏导数的方法。反向传播就是和之前正向传播算法相对应的，从神经网络模型的最后一层误差开始，逐层往前推导的，反向传播求误差，其实是求模型代价函数偏导$\frac{\partial }{\partial {\theta }_{ij}^{(l)}}J(\Theta )$的一种手段，意义就在于比正向传播算法更快速更高效地求出代价函数偏导,在实际模型训练过程中，能大大降低计算时间，使模型更快收敛。

梯度计算

链式法则

公式推导

6.3反向传播示例

为了计算偏导数，我们使用一种反向传播的算法。

反向传播的含义：把输出层（第四层）的误差反向传播到第三层，再反向传播到第二层。
根据数学证明，可以推出代价函数的偏导数的计算公式（下图中最下方的蓝色手写体）

不考虑正则项，假设有m个样本，k项输出，我们从最后一层(输出层)的误差开始计算，假设误差用$\delta$表示。${\delta }_j^{(l)}$表示第$l$层的第$j$个单元的误差。
最后一层：误差 = 预测值 - 实际值 = ${\delta }_j^{(4)}=a_j^{(4)}-y_j$ $(a_j^{(4)}也可写成(h_{\theta }(x){)}_j)$

此图中：
第4层：${\delta }^{(4)}=a^{(4)}-y$ （向量表示）
第3层：${\delta }^{(3)}=({\theta }^{(3)}{)}^T{\delta }^{(4)}\cdot \ast g\prime (z^{(3)})$
第2层：${\delta }^{(2)}=({\theta }^{(2)}{)}^T{\delta }^{(3)}\cdot \ast g\prime (z^{(2)})$
第1层：No ${\delta }^{(1)}$，因为第一层对应输入层，不存在误差

其中左半部分$({\theta }^{(3)}{)}^T{\delta }^{(4)}$表示权重导致的误差的和；右半部分$g\prime (z^{(3)})$是激活函数Sigmoid函数的导数。
具体的解析和推导见下面。

误差公式解析

参考资料：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/74167352.