【机器学习】课程笔记05_逻辑回归(Logistic Regression)

分类（Classification）

• 线性回归： 解决分类问题，假设函数的输出值可能远大于1或远小于0，这是不合适的。
• 逻辑回归： 虽然叫回归，但是分类算法，适用于标签$y$离散的情况。

假设陈述（Hypothesis Representation）

• 逻辑回归（Sigmoid function/logistic function）： 该模型的输出变量范围始终在0和1之间。

$$\begin{gathered} h_{\theta }(x)=g({\theta }^{T}X) \\ g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}} \end{gathered}$$

• $g(z)$的函数图像为：

• $h_{\theta }(x)$的作用是： 对于给定的输入变量，根据选择的参数计算输出变量为1的可能性（estimated probablity）。

$$\begin{gathered} h_{\theta }(x)=P(y=1|x;\theta ) \\ P(y=1|x;\theta )+P(y=0|x;\theta )=1 \end{gathered}$$

决策边界（Decision Boundary）

• 决策边界：

  • 是假设函数的一个属性，取决于函数的参数，而不是数据集。
  • 将基础向量空间划分为$y=1$和$y=0$两个集合。（即图中当$h_{\theta }(x)=0.5$时的那条线）

• 例：

  决策边界：$x_1+x_2=3$

  

  决策边界：$x_1^2+x_2^2=1$

  

• 随着阶数增加，我们可以用非常复杂的模型来适应非常复杂形状的决策边界。

代价函数（Cost Function）

• 训练集（Training Set）：$\{(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),\cdots ,(x^{(m)},y^{(m)})\}$

• m个训练样本（m examples）：$x\in \left[\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ \cdots \\ x_n\end{array}\right]x_0=1,y\in \{0,1\}$

• 假设函数（Hypothesis）：$h_{\theta }(x)=\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}x}}$

  • 对于该函数，如果使用线性回归的代价函数$\sum (h(x)-y{)}^2$，将得到一个非凸函数，这样就不能使用梯度下降的方法求解全局最优解，所以需要另一个为凸函数的代价函数。

  

• 单个样本代价函数（Cost Function）：
  $$Cost(h_{\theta }(x),y)=\{\begin{array}{ll}-log(h_{\theta }(x)),& ify=1\\ -log(1-h_{\theta }(x)),& ify=0\end{array}$$

  • 当实际 $y=1$ 且 $h_{\theta }(x)=1$ 时，误差为0，当 $y=1$ 但 $h_{\theta }(x)\ne 1$ 时，误差随着 $h_{\theta }(x)$ 的变小而加速变大；
  • 当实际 $y=0$ 且 $h_{\theta }(x)=0$ 时，误差为0，当 $y=0$ 但 $h_{\theta }(x)\ne 0$ 时，误差随着 $h_{\theta }(x)$ 的变大而加速变大；

​

简化代价函数与梯度下降（Simplified Cost Function and Gradient Descent）

• 合并后的单个样本代价函数：$Cost(h_{\theta }(x),y)=-ylog(h_{\theta }(x))-(1-y)log(1-h_{\theta }(x))$

• 逻辑回归代价函数：

$$\begin{array}{rl}J(\theta )& =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}Cost(h_{\theta }(x^{(i)}),y^{(i)})\\ & =-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y^{(i)}log{h}_{\theta }(x^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-h_{\theta }(x^{(i)}))]\end{array}$$

• 目的： 找出让 $J(\theta )$ 最小的 $\theta$ 值。

• 梯度下降法：

  

  

  • 该式子与线性回归时的式子一模一样，但假设函数$h_{\theta }(x)$的含义发生了变化，所以是两个完全不同的东西。
  • 提倡使用向量化的方法实现，这样可以把所有的n个参数同时更新。
  • 特征缩放同样适用于逻辑回归，可以使梯度下降收敛得更快。

• 求偏导过程：

  

高级优化（Advanced Optimization）

• 其他高级算法：
  • 共轭梯度法BFGS（变尺度法）
  • 共轭梯度法L-BFGS（限制变尺度法）
• 优点：
  • 无需手动选择学习率$\alpha$，算法有智能的内部循环线性搜索算法（line search），可以自动尝试不同的学习率，并自动选择一个好的。

多元分类：一对多（Multi-classClassification: One-vs-all）

• 方法：

  • 将多元分类转化为多个二元分类问题，每一类（正向类）和剩余的其他类（负向类）看作一个二元分类。
  • 得到一系列模型：$h_{\theta }^{(i)}=P(y=i|x;\theta )$，其中$i=(1,2,3,\cdots ,k)$。

  

  • 将所有分类机运行一遍，对每个输入变量选择最高可能性的输出变量：$\underset{i}{\max },h_{\theta }^{(i)}(x)$。