【统计学笔记】方差分析表和回归分析表的解读

$$\begin{gathered} F=\frac{MS\odot }{MSE}\sim F(df(\odot ),df(E)) \\ (\odot 表示误差来源中因素的简写，MS\odot 表示MSA、MSR或MSC等，df(\odot )表示因素\odot 的自由度) \end{gathered}$$
$$MS\odot =\frac{SS\odot }{df(\odot )}$$

自由度 ($df$)：degree of freedom
平方和 ($SS$)：Sum of Square
均方 ($MS$)：Mean Square

1. 方差分析表

1.1 单因素方差分析表

• k：因素总体的个数
• n：观测值个数

误差来源	平方和 $SS$	自由度 $df$	均方 $MS$	$F$值	$P$值	$F$临界值 $SignificanceF$
组间（因素影响） $factor\mathbf{A}$	$SSA$	$k-1$	$MSA=\frac{SSA}{k-1}$	$\frac{MSA}{MSE}$		根据显著性水平$\alpha$确定
组内（误差） $\mathbf{E}rror$	$SSE$	$n-k$	$MSE=\frac{SSE}{n-k}$
总和 $\mathbf{T}otal$	$SST$	$n-1$

1.2 双因素方差分析表

• $k$：行因素个数
• $r$：列因素个数
  （为什么不是$r$为行因素个数，$c$是列因素个数呢？哼？）

1.2.1 无交互作用的双因素方差分析表

误差来源	平方和 $SS$	自由度 $df$	均方 $MS$	$F$值	P值	F临界值
行因素 $\mathbf{R}ow$	$SSR$	$k-1$	$MSR=\frac{SSR}{k-1}$	$F_R=\frac{MSR}{MSE}$		根据显著性水平$\alpha$确定
列因素 $\mathbf{C}olumn$	$SSC$	$r-1$	$MSC=\frac{SSC}{r-1}$	$F_C=\frac{MSC}{MSE}$
误差 $\mathbf{E}rror$	$SSE$	$(k-1)\times (r-1)$	$MSE=\frac{SSE}{(k-1)\times (r-1)}$
总和 $\mathbf{T}otal$	$SST$	$kr-1$

1.2.2 有交互作用的双因素方差分析表

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2. 回归分析表

2.1 一元回归分析表

• 回归统计：

统计量	公式
$MultipleR$	相关系数 $r=\sqrt{R^2}$
$RSquare$	判定系数 $R^2=\frac{SSR}{SST}=r^2$
$AdjustedRSquare$	调整的 $R^2=1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1}$
标准误差	$s_e=\sqrt{MSE}$

• 方差分析：回归统计需要用到方差分析里的数据

误差来源	$SS$	$df$	$MS$	$F$值	$SignificanceF$
回归 $\mathbf{R}egression$	$SSR$	$1$	$MSR=\frac{SSR}{1}$	$F=\frac{MSR}{MSE}\sim F(1,n-2)$	根据显著性水平$\alpha$确定
残差 $\mathbf{E}rror$	$SSE$	$n-2$	$MSE=\frac{SSE}{n-2}$
总计 $\mathbf{T}otal$	$SST$	$n-1$

• 回归分析估计：

估计量	系数 $Coefficients$	标准误差	$t$ 统计量 $tStat$	P值 $P-value$	置信区间 $Lower95\%$	置信区间 $Upper95\%$
截距 $Intercept$	${\hat{\beta }}_0$	$s_{{\hat{\beta }}_0}$	$t=\frac{{\hat{\beta }}_0}{s_{{\hat{\beta }}_0}}$
斜率 $XVariable1$	${\hat{\beta }}_1$	$s_{{\hat{\beta }}_1}$	$t=\frac{{\hat{\beta }}_1}{s_{{\hat{\beta }}_1}}$

2.2 多元回归分析表（其实只用看这个就好了，当k=1时就是一元回归分析）

k：自变量x的个数

• 回归统计：

统计量	公式
$MultipleR$	相关系数 $r=\sqrt{R^2}$
$RSquare$	判定系数 $R^2=\frac{SSR}{SST}=r^2$
$AdjustedRSquare$	调整的 $R^2=1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1}$
标准误差	$s_e=\sqrt{MSE}$

• 方差分析：回归统计需要用到方差分析里的数据

误差来源	$SS$	$df$	$MS$	$F$值	$SignificanceF$
回归 $\mathbf{R}egression$	$SSR$	$k(自变量x的个数)$	$MSR=\frac{SSR}{k}$	$F=\frac{MSR}{MSE}\sim F(k,n-k-1)$	根据显著性水平$\alpha$确定
残差 $\mathbf{E}rror$	$SSE$	$n-k-1$	$MSE=\frac{SSE}{n-k-1}$
总计 $\mathbf{T}otal$	$SST$	$n-1$

• 回归分析估计：

估计量	系数 $Coefficients({\hat{\beta }}_i)$	标准误差($s_{{\hat{\beta }}_i}$)	检验统计量( $t$ ) $tStat$	P值 $P-value$	置信区间 $Lower95\%$	置信区间 $Upper95\%$
截距 $Intercept$	${\hat{\beta }}_0$	$s_{{\hat{\beta }}_0}$	$t_0=\frac{{\hat{\beta }}_0}{s_{{\hat{\beta }}_0}}$
$x_1$ $XVariable1$	${\hat{\beta }}_1$	$s_{{\hat{\beta }}_1}$	$t_1=\frac{{\hat{\beta }}_1}{s_{{\hat{\beta }}_1}}$
$x_2$ $XVariable2$	${\hat{\beta }}_2$	$s_{{\hat{\beta }}_2}$	$t_2=\frac{{\hat{\beta }}_2}{s_{{\hat{\beta }}_2}}$
$......$
$x_k$ $XVariablek$	${\hat{\beta }}_k$	$s_{{\hat{\beta }}_k}$	$t_k=\frac{{\hat{\beta }}_k}{s_{{\hat{\beta }}_k}}$