任意点间求最短路径——弗洛伊德(Floyd)算法

迪杰斯特拉算法求得是 从某个特定的点出发到任意点之间的最短路径，但我们要处理从任一点到任一点怎么办？因此就直接介绍更具普遍意义而且代码写的很优美的弗洛伊德算法。
弗洛伊德算法求的是任意点间的最短路径，为了方便说明，这里先给出一个例子：

左边是一个网，右边的带回再解释。我们先来分析这个网，从v1到v2最短的路径是多少？反正不会是5，只要稍微绕个路，先去v0，再去v2，这个权值加起来只有3，所以最短路径应该是3（不能围成三角形的我想说明一下，权值不等同于这条线的长度，只是我们将这个边赋了一个值而已）。
现在来解释右边的四个矩阵。我们定义一个最短路径权值和的矩阵D，还定义一个对应顶点的最小路径的前驱矩阵P。最初的状态，我们记做D^-1，其矩阵相当于是这个网的邻接矩阵。首先查看
D^-1 [1][0] + D^-1 [0][2] = 2 + 1 = 3 < D^-1 [1][2] = 5，所以替换成 D^-1 [1][2] = 3，由于对称，所以 D^-1 [2][1] = 3，修改后记为D⁰。同时，P^-1矩阵的在D^-1修改的地方修改自己的前驱，说简单点就是中转站，于是P^-1 [1][2] = 0，P^-1 [2][1] = 0，记做P⁰。
下面我们来看一个较为复杂的网（下面的网）：

这是我们要来看的例子。其代码如下：

#define MAXVEX 20
#define INFINITY 65535

typedef struct
{
	int vexs[MAXVEX];
	int arc[MAXVEX][MAXVEX];
	int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

typedef int Patharc[MAXVEX][MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX];

/*弗洛伊德(Floyd)算法*/
void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{    
	int v,w,k;    
	for(v=0; v(*D)[v][k]+(*D)[k][w])    // 如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短
				{                                                         
					(*D)[v][w]=(*D)[v][k]+(*D)[k][w];      // 将当前两点间权值设为更小的一个 
					(*P)[v][w]=(*P)[v][k];          // 路径设置为经过下标为k的顶点 
				}
			}
		}
	}
}

假设我们的结构体里面的arc数组已经放好了，就像D^-1一样，我i们主要来看弗洛伊德算法。最初的for循环就是初始化D^-1和P^-1两个数组（如上图下面的两个数组）。
下面就到了三个for循环的嵌套：

for(k=0; k(*D)[v][k]+(*D)[k][w])    // 如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短
			{                                                         
				(*D)[v][w]=(*D)[v][k]+(*D)[k][w];      // 将当前两点间权值设为更小的一个 
				(*P)[v][w]=(*P)[v][k];          // 路径设置为经过下标为k的顶点 
			}
		}
	}
}

第一个for循环，k是中转点，也就是说我去哪个点都要向Vk点先走。第二个for循环的变量v是起点，第三个是终点，这两个for循环就形成了任一点间路径的计算。我们来过一遍。第一遍，k是0，大家都要经过v0中转，可惜没有变化，记作D⁰和P⁰：

结束了k = 0，来看k = 1，也就是都经过v1中转，D⁰ [0][1] + D⁰ [1][2] = 1 + 3 = 4 < D⁰ [0][2] = 5，取最小值，于是就将
D⁰ [0][2]改成了4，相应的，P⁰中的前驱也要改变，改成1。其他的顶点也都是一样的，修正后的已经用红圈标出：

接下来K = 2，即每个点都经过v2，可以看看是不是近一些，近的化就修改，相应的改变P矩阵中的前驱，这样循环到最后，我们就得到如下的修正后的结果：

这里我们可以从D⁸，P⁸这两个矩阵中看到每一行都是迪杰特斯拉算法，比如v0行，就是v0到任意点的路径的权值(D矩阵)以及路径(P矩阵)，这样类推，所以弗洛伊德算法就实现了任意点间最短路径。主要是理解它的思想，它做到了用简洁的三个for循环嵌套实现了该需求，简洁明了。可惜的是由于它是三层for嵌套，其时间复杂度是O(n³)级别的。