线代控制理论7——反馈、镇定、状态观测器

注：本文是在MOOC平台上学习西北工业大学《现代控制理论基础》（郭建国、赵斌、郭宗易）的课程进行随笔记录与整理

一.两类反馈及其影响

反馈可以分为两种形式：状态反馈与输出反馈

反馈形式	反馈方程	动态方程	传递函数
状态反馈	u=-kx+v	x`=(A-BK)x+Bv，y=Cx	G(s)=C (sI-A+BK)^(-1) Bv
输出反馈	u=-Fy+v	x`=(A-BFC)X+Bv，y=Cx	G(s)=C (sI-A+BFC)^(-1) Bv

状态反馈示意图：（用x）

输出反馈示意图：（用y）

一个输出反馈系统的性能一定有对应的状态反馈系统与之等同：
令输出反馈中的 K=FC
一个状态反馈系统的性能不一定有对应的输出反馈系统与之等同：
KC^(-1)=F ？

2.影响

反馈类型	能控性	能观性	稳定性
状态反馈	不改变	可能改变	改变
输出反馈	不改变	不改变	改变

表是进行更好记忆的总结，文字描述的话就看下面的内容：
★状态反馈对 能控能观 的影响：
状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。（用秩判据+矩阵相关性质证明）
状态反馈系统不一定能保持能观测性。
★输出反馈对 能控能观 的影响：
输出反馈的引入既不改变系统的能控性，也不改变系统的能观测性。
★对稳定性影响：
状态反馈和输出反馈都能影响系统稳定性。
稳定性与特征值有关，在加入反馈后改变了方程，因此也就改变了稳定性。

二.状态反馈设计

1.状态反馈设计思路

在经典控制中，采用极点配置的方法。
是由于极点与系统的特性密切相关，例如是否稳定，能够收敛等等。但经典控制采用的设计方法都是试凑法，没有办法事先给出控制是否存在的结论。

对于单输入系统：状态方程：x` = Ax + Bu

设计一个1×n维的矩阵:u = -kx + u

状态反馈系统状态方程为：x`= A - bkx + bv
★用状态反馈 使闭环极点配置在 任意位置 上的充要条件是：受控对象能控。
若系统不完全能控，则不能控部分的状态变量不受输入控制，对应极点不可配置。

2.极点配置算法

1）判断系统能控性——能控才能配置
用状态反馈完成极点配置时，需要知道系统要配置的期望极点。
2）计算状态反馈系统 闭环特征多项式（设k）

3）计算给定极点的特征多项式

4）由f*(λ)=f(λ), 系数相同，求k0,…k(n-1)

★选择状态反馈矩阵的元素时，要防止数值过大，以免动态性能产生不良影响，以及不易进行物理实现；配置极点时，也并非离虚轴越远越好，以免造成频带过宽，使抗干扰性降低

★状态反馈对零点的影响：
状态反馈不改变系统的零点，但可能改变系统的能观测性；
闭环零点对系统动态性能影响很大，在规定待配置的极点时，必须充分考虑零点的影响；
当任意配置极点导致零极点相消时，可能将原有的能观测性转为不能观测，也可能使原有的不能观测变为能观测；

3.状态反馈可镇定

受控对象的能控性 ≠ 系统稳定性
受控对象的极点配置 ≠ 闭环系统稳定性

受控对象存在状态反馈使闭环系统稳定，则称该数控系统是状态反馈可镇定的。
线性定常系统 状态反馈可镇定 的充要条件是：受控对象不可控子系统是稳定的。
原因：系统不完全能控，可以通过结构分解；能控部分的极点可以任意配置，但是不能控部分极点不受反馈影响，因此这些不能控部分都有负实部则可以整体镇定。
★能控系统一定是可镇定的，可镇定系统不一定是能控的。

4.用状态反馈消除系统误差

（终于等到了看这个慕课的原始目的，这个部分和某些论文里的输出调节/内模原理相关啦）
以下都是以偏差和参考输入为阶跃为前提：（当扰动或者参考输入为幂函数时，需要引入多重积分器）
状态反馈消除稳态误差：通过引入偏差向量积分构成增广矩阵→增广矩阵能控→对增广系统采用状态反馈→用终值定理可得能够消除误差

增广受控对象能控的充要条件：
1）受控对象能控，（A,B）能控
2）

！：输入维数大于等于输出维数

对增广系统采用状态反馈：

闭环系统的状态方程为：


（最后一步极限的判断我也是有点不清楚过程。）
。。

三.全维状态观测器

1.实现任意极点配置的输出反馈

另一种输出反馈：输出至状态微分的反馈

x` = Ax - hy + Bu
y = cx

x` = (A-hc)x + Bu

输出反馈下的传函：

定理：用 输出至状态微分的反馈阵h 任意配置极点的充要条件是：受控对象能观测

2.全维状态观测器

背景：
受控对象能控时，利用状态反馈配置极点，需要用传感器测量出状态变量，但传感器通常用来测量输出，许多中间变量不易测得，因此利用输出量和输入量通过 状态观测器/状态估计器/重构器 来重构状态问题。

存在条件：
全维状态观测器存在的条件是：系统是能观测的

设计方法：

图示：

状态反馈与状态观测器部分相比较：
A,B,C阵的位置与内容都是不变的；
将上面的输出与下面的输出做差，再作为下面部分 状态微分的反馈，以实现x^渐进等于x

3.分离定理

若受控系统能控能观，用全维观测器得到的状态形成状态反馈时，其系统极点配置和状态观测器设计可以分开独立运行，即K和L的设计可以分开独立运行。


★增广系统传递矩阵 与 状态反馈部分传递矩阵 完全相同，与观测器部分无关。
★用观测器给出的估计状态作为状态反馈，没有影响状态反馈部分的输入-输出特性，观测器极点在增广系统传递矩阵中没有反应。