线性代数应用基础补充1

特征值

t r a c e ( A ) = ∑ λ i \rm trace\it(A)=\sum\lambda_i trace(A)=λi det ⁡ ( A ) = ∏ λ i \det(A)=\prod\lambda_i det(A)=λi

det ⁡ ( λ I − A ) \det(\lambda I-A) det(λIA) A A A的特征多项式。 A A A的所有特征值的集合叫 A A A

相似

对于方阵 A A A B B B,若存在可逆矩阵 P P P使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B,则A与B相似。即A左乘一个什么等于B右乘一个什么,或者A右乘一个什么等于B左乘一个什么,而且乘的这个东西可逆。

相似矩阵的特征多项式相同。继而谱相同。

转置

转置矩阵的谱相同。

可对角化

定义:如果方阵 A A A与以它的谱为对角的对角矩阵相似,那么 A A A可对角化。

定理1:A可对角化    ⟺    \iff A有 n n n个线性无关的特征向量。

定理?:如果 A A A是实对称矩阵(其实厄米矩阵就行),那么 A A A的特征值都是实数,而且可以对角化。

定理2:对于A的每个不同的特征值,其对应的特征向量在特征值之间线性无关。设 λ i \lambda_i λi的代数重数为 n i n_i ni,其对应 n i n_i ni个特征向量,其中线性无关的个数为 m i m_i mi,称为几何重数。所以 m i ≤ n i m_i\le n_i mini。总共的线性无关特征向量数为 ∑ m i \sum m_i mi

定理3: A A A可对角化    ⟺    \iff n i = m i , ∀ i n_i=m_i,\forall i ni=mi,i

Jordan标准型

方阵 A A A可以通过相似变化变为Jordan标准型矩阵 J J J,即存在可逆矩阵 P P P使 P − 1 A P = J P^{-1}AP=J P1AP=J J = [ J 1 ⋱ J s ] J=\begin{bmatrix}J_1&&\\&\ddots&\\&&J_s\end{bmatrix} J=J1Js,其中 s s s是不同的特征值个数。每个 J i J_i Ji n i × n i n_i\times n_i ni×ni的方阵,称为Jordan子阵。

J i = [ J i 1 ⋱ J i m i ] J_i=\begin{bmatrix}J_{i1}&&\\&\ddots&\\&&J_{im_i}\end{bmatrix} Ji=Ji1Jimi J i k J_{ik} Jik称为Jordan块,边长是这个特征向量对应的特征值数量。它的对角线元素都是 λ i \lambda_i λi,然后对角线右边1格(或向上1格)那条斜线都是 1 1 1

自乘终零矩阵第十三定理

如果 B B B是自乘终零矩阵,钻石范数为 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ||·|| 。那么

(1) I + B I+B I+B可逆。否则的话说明 B B B有一个特征值-1,与终零矩阵性质 ρ ( B ) < 1 \rho(B)<1 ρ(B)<1矛盾。可以这么类比:终零就是 ( − 1 , 1 ) (-1,1) (1,1)的数,那这个数加 1 1 1肯定不能是 0 0 0(不可逆)。同样, 1 1 1减这个数也不能是 0 0 0,即 I − B I-B IB可逆。

(2) 1 = ∣ ∣ I ∣ ∣ = ∣ ∣ ( I + B ) ( I + B ) − 1 ∣ ∣ = ∣ ∣ ( I + B ) − 1 + B ( I + B ) − 1 ∣ ∣ ≥ ∣ ∣ ( I + B ) − 1 ∣ ∣ ( 1 − ∣ ∣ B ∣ ∣ ) \it1=||I||=||(I+B)(I+B)^{-1}||=||(I+B)^{-1}+B(I+B)^{-1}||\ge||(I+B)^{-1}||(1-||B||) 1=I=(I+B)(I+B)1=(I+B)1+B(I+B)1(I+B)1(1B)。(三角不等式反过来用)

对角占优矩阵

如果方阵 A A A的每个对角元的绝对值都大于这一其他元素的绝对值的和,那么 A A A是严格对角占优矩阵,简称严优。

如果方阵 A A A的每个对角元的绝对值都大于等于这一行其他元素绝对值的和,且至少一行是大于,那么 A A A是弱对角占优矩阵,简称弱优。

严优矩阵有以下性质:

  • 对角元非零
  • 可逆

不可约弱优矩阵(简称不弱矩阵)也有这些性质。

如果方阵对称,对角元都大于零,而且是严优矩阵或不弱矩阵,那么这个方阵对称正定。

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