线性代数应用基础补充1

特征值

$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(A)=\sum {\lambda }_i$$$$\det (A)=\prod {\lambda }_i$$

称$\det (\lambda I-A)$为$A$的特征多项式。$A$的所有特征值的集合叫$A$的谱。

相似

对于方阵$A$、$B$，若存在可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP=B$，则A与B相似。即A左乘一个什么等于B右乘一个什么，或者A右乘一个什么等于B左乘一个什么，而且乘的这个东西可逆。

相似矩阵的特征多项式相同。继而谱相同。

转置

转置矩阵的谱相同。

可对角化

定义：如果方阵$A$与以它的谱为对角的对角矩阵相似，那么$A$可对角化。

定理1：A可对角化$⟺$A有$n$个线性无关的特征向量。

定理？：如果$A$是实对称矩阵（其实厄米矩阵就行），那么$A$的特征值都是实数，而且可以对角化。

定理2：对于A的每个不同的特征值，其对应的特征向量在特征值之间线性无关。设${\lambda }_i$的代数重数为$n_i$，其对应$n_i$个特征向量，其中线性无关的个数为$m_i$，称为几何重数。所以$m_i\le n_i$。总共的线性无关特征向量数为$\sum m_i$。

定理3：$A$可对角化$⟺$$n_i=m_i,\forall i$。

Jordan标准型

方阵$A$可以通过相似变化变为Jordan标准型矩阵$J$，即存在可逆矩阵$P$使$P^{-1}AP=J$。$J=\left[\begin{array}{ccc}{J}_1& & \\ & \ddots & \\ & & J_s\end{array}\right]$，其中$s$是不同的特征值个数。每个$J_i$是$n_i\times n_i$的方阵，称为Jordan子阵。

$J_i=\left[\begin{array}{ccc}{J}_{i1}& & \\ & \ddots & \\ & & J_{i{m}_i}\end{array}\right]$。$J_{ik}$称为Jordan块，边长是这个特征向量对应的特征值数量。它的对角线元素都是${\lambda }_i$，然后对角线右边1格（或向上1格）那条斜线都是$1$。

自乘终零矩阵第十三定理

如果$B$是自乘终零矩阵，钻石范数为$||\cdot ||$。那么

(1) $I+B$可逆。否则的话说明$B$有一个特征值-1，与终零矩阵性质$\rho (B)<1$矛盾。可以这么类比：终零就是$(-1,1)$的数，那这个数加$1$肯定不能是$0$（不可逆）。同样，$1$减这个数也不能是$0$，即$I-B$可逆。

(2) $1=||I||=||(I+B)(I+B{)}^{-1}||=||(I+B{)}^{-1}+B(I+B{)}^{-1}||\ge ||(I+B{)}^{-1}||(1-||B||)$。（三角不等式反过来用）

对角占优矩阵

如果方阵$A$的每个对角元的绝对值都大于这一行其他元素的绝对值的和，那么$A$是严格对角占优矩阵，简称严优。

如果方阵$A$的每个对角元的绝对值都大于等于这一行其他元素绝对值的和，且至少一行是大于，那么$A$是弱对角占优矩阵，简称弱优。

严优矩阵有以下性质：

• 对角元非零
• 可逆

不可约弱优矩阵（简称不弱矩阵）也有这些性质。

如果方阵对称，对角元都大于零，而且是严优矩阵或不弱矩阵，那么这个方阵对称正定。