算法设计与分析----矩阵连乘

给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。例如，给定三个连乘矩阵{A1，A2，A3}的维数分别是10 * 100，100 * 5和5 * 50，采用（A1A2）A3，乘法次数为10 * 100 * 5 + 10 * 5 * 50=7500次，而采用A1（A2A3），乘法次数为100550+1010050=75000次乘法，显然，最好的次序是（A1A2)A3，乘法次数为7500次。

矩阵连乘问题，需要用动态规划来解决，为每个矩阵编号：

输入矩阵：

用p数组来表示矩阵，因为前一个矩阵的列是后一个矩阵的行，所以对于n个矩阵来讲只需输入n+1个数。1号矩阵 = p[0] * p[1] , 2号矩阵 = p[1] * p[2]，…
我们假设1号矩阵到3号矩阵已经乘完，那么得到了一个10 * 25 的矩阵（10 * 50 50 * 20 20 * 25得到的最后矩阵为10 * 25 ）,假设4号矩阵到5号矩阵也已经乘完，得到了25 * 100 的矩阵，那如果这两个矩阵相乘，需要多少次呢？矩阵的乘法是一行乘一列这样乘的，所以需要10 * 25 * 100 = 25000次乘法运算。10是一号矩阵的行，25是3号矩阵的列，100是5号矩阵的列，我们将矩阵乘法的最少次数保存到m[][]二维数组中，那么m[1][5]就表示1号矩阵乘到5号矩阵需要的次数，拿上面的例子来说，m[1][5]=m[1][3]+m[4][5]+p[0]*p[3]*p[5]，意思是说 1号到5号矩阵乘法的次数=1号矩阵乘到3号矩阵的次数 + 4号矩阵乘到5号矩阵的次数 + 这两个乘法的次数（1号矩阵行 * 3号矩阵列 * 5号矩阵行 p[0]*p[3]*p[5]），而对于m[1][3]来说，也是类似于上面的求法，求出最小值。由此可以得出动态转移方程：
当 i = j 时：
m[i][j] = 0
当 i < j 时：
m[i][j] = min{ m[i][k] + m[k+1][j] + pi-1 * pk * pj } , i<=k

#include
using namespace std;
int p[100];
int m[50][50];
int s[50][50];
void print(int i,int j)
{
	if(i == j)
	{
		printf("A[%d]",i) ;
		return ;
	}	
	printf("(");
	print(i,s[i][j]);
	print(s[i][j]+1,j);
	printf(")");
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 0;i<=n;i++)
		scanf("%d",&p[i]);
	for(int step=2;step<=n;step++) //链长 
		for(int left=1;left<=n-step+1;left++)
		{
			int right = left+step-1;
			m[left][right] = m[left+1][right]+p[left-1]*p[left]*p[right];
			s[left][right] = left;
			for(int k=left+1;k<right;k++)
				if(m[left][k]+m[k+1][right]+p[left-1]*p[k]*p[right]<m[left][right])
					m[left][right] = m[left][k]+m[k+1][right]+p[left-1]*p[k]*p[right],s[left][right] = k;
		}
	printf("%d\n",m[1][n]);
	print(1,n);
}