实验二：矩阵连乘（动态规划）

1.实验题目

矩阵连乘问题
给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

2.实验目的

1.掌握动态规划算法的基本思想、技巧和效率分析方法。 
2.熟练掌握动态规划算法的最优子结构性质的分析与证明。 
3.学会利用动态规划算法解决实际问题。

3.实验要求

(1)根据实验内容构思设计算法，选取适合的数据结构； 
(2)对所设计的算法采用大O符号进行时间复杂性分析； 
(3)上机实现算法，编程语言不限； 
(4)实验报告内容应包括问题描述、问题分析、算法设计、算法实现、运行结果及算法复杂度分析等内容。

4.实验过程

问题分析：

1. 矩阵连乘的条件：第一个矩阵的列等于第二个矩阵的行，此时两个矩阵是可乘的；
2. 多个矩阵连乘的结果矩阵，其行列等于第一个矩阵的行和最后一个矩阵的列；
3. 矩阵连乘AiAi+1Ai+2……Aj的最优解问题

假设在第k位置上找到最优解，则问题变成了两个子问题：（AiAi+1……Ak），（Ak+1……Aj）

用m[i][j]表示矩阵连乘的最优值，那么两个子问题对应的最优值变成m[i][k],m[k+1][j];

设矩阵Am的行数为Pm，列数为qm，矩阵是可连乘的，即相邻矩阵qm=Pm+1，所以（AiAi+1……Ak）可表示为Pi * qk，

（Ak+1……Aj）可表示为Pk+1 * qj，qk = Pk+1.则两个矩阵连乘的乘法次数为Pi * Pk+1 * qj。

4. 矩阵连乘最优值递归式：
   

5.代码实现

#include
#include 
using namespace std;
 
const int size=100;
int p[size];
int m[size][size],s[size][size];
int n;
 
void matrixchain()
{
	int i,r,j,k;
	memset(m,0,sizeof(m));
	memset(s,0,sizeof(s));//初始化数组
	for(r=2;r<=n;r++)//矩阵连乘的规模为r 
	{
		for(i=1;i<=n-r+1;i++)
		{
			j=i+r-1;
			m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//对m[][]开始赋值
			s[i][j]=i;//s[][]存储各子问题的决策点
			for(k=i+1;k<j;k++)//寻找最优值
			{
				int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
				if(t < m[i][j])
				{
					m[i][j]=t;
					s[i] [j]=k;
				}
			}
		}
	}
}
 
void print(int i,int j)
{
	if(i == j)
	{
		cout<<"A["<<i<<"]";
		return;
	}
	cout<<"(";
	print(i,s[i][j]);
	print(s[i][j]+1,j);//递归1到s[1][j]
	cout<<")";
}
 
int main()
{
	cout<<"请输入矩阵的个数n : "<<endl;
	cin>>n;
	int i,j;
	cout<<"请依次输入每个矩阵的行数和最后一个矩阵的列数："<<endl;
	for(i=0;i<=n;i++)
		cin>>p[i];
	matrixchain(); 
	print(1,n);
	cout<<endl;
	cout<<"最小计算量的值为："<<m[1][n]<<endl;
	
	return 0;
}

6.实验结果

7.复杂度分析

算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r，i和k的3重循环。循环体内的计算量为O(1)，而3重循环的总次数为O(n3)。因此算法的计算时间上界为O(n3)。算法所占用的空间显然为O(n2)。