【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记1 距离与范数1

高等工程数学 突击笔记1

距离与范数1

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写在开头

高等工程数学这个课真的很恶心，感谢B站UP ASH丶零 学长留下的突击视频，本笔记旨在记录看视频时遇到的疑问并写出我的一些想法。

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一、什么是范数

范数主要是对矩阵和向量的一种描述，有了描述那么“大小就可以比较了”，从字面理解一种比较构成规范的数。有了统一的规范，就可以比较了。
例如：1比2小我们一目了然，可是（3,5,3）和（6,1,2）哪个大就不太好比了
这时候就用到了范数
（3,5,3）的2范数为根号（43），（6,1,2）的2范数为根号（41），那就可以说在2范数这个擂台上（3,5,3）大。
（3,5,3）的无穷范数为5，（6,1,2）的无穷范数为6，因此无穷范数的对比中（6,1,2）大。
引自 [范数（简单的理解）、范数的用途、什么是范数]

向量范数可以描述一个向量的大小，矩阵范数则是用来描述一个矩阵造成的变化的大小。

向量范数
L-0范数：用来统计向量中非零元素的个数。
L-1范数：向量中所有元素的绝对值之和。可用于优化中去除没有取值的信息，又称稀疏规则算子。
L-2范数：典型应用——欧式距离。可用于优化正则化项，避免过拟合。（平方和开根号）
L-∞范数：计算向量中的最大值。
矩阵范数
L-1范数：矩阵列合中最大的那个
L-2范数：谱范数，暂且理解为最大的特征值
L-∞范数：矩阵行合中最大的那个

不同的范数只是比较的方法不同，就好比想比较两个班身高，可以让最高个的出来比，也可以算平均数。

二、诱导范数

前面说矩阵是一种变换，而矩阵范数则是衡量变换程度的值，那么怎么来衡量这个变换呢？我们可以把一个已知的向量丢给这个矩阵，再把变换之后的向量和变换前的向量做比较，两者之间的差距就可以拿来衡量矩阵的变换程度。两个向量的比较用的是向量范数，而通过这个向量范数比较得出的矩阵范数就叫他的诱导范数。

在一种向量的范数下，考虑所有的单位向量在矩阵变换之后取出其中变化最大的那一个
变换之后最大的向量的向量范数就可以作为矩阵的矩阵范数。
图片引自: 矩阵的【范数】：也是一种长度

注意变换之前的向量要做单位化。
例19年第一题
计算A矩阵的2范数
先计算特征值
A的2矩阵范数就是最大的特征值3

先将用于衡量看的向量单位化。第二个等于想了半天，似乎是利用了矩阵范数的相容性。

总结

提示：这里对文章进行总结：

先写这么多，第一章还剩下谱半径与特征值、条件数与误差。等复习到再说，打游戏去了————