《机器学习》西瓜书第四章 神经网络（南瓜书辅助）

5.1 M-P神经元

M‑P神经元（一个用来模拟生物行为的数学模型）：接收n个输入(通常是来自其他神经元)，并给各个输入赋予权重计算加权和，然后和自身特有的阈值 进行比较（作减法），最后经过激活函数（模拟“抑制”和“激活”）处理得到输出（通常是给下一个神经元）
$$y=f\left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i-\theta \right)=f\left({\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}+b\right)$$
单个M‑P神经元：感知机（$\mathrm{sgn}$ 作激活函数，阶跃函数小于0取0，大于零取1）、对数几率回归（$\mathrm{sigmoid}$作激活函数）多个M‑P神经元：神经网络

5.2 感知机

• 从代数角度

感知机模型（二分类判断0,1样本）：激活函数为 $\mathrm{sgn}$​​ （阶跃函数）的神经元
$$y=\mathrm{sgn}\left({\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}-\theta \right)=\{\begin{array}{ll}1,& {\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}-\theta ⩾0\\ 0,& {\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}-\theta <0\end{array}$$
其中，$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$ 为样本的特征向量，是感知机模型的输入，$\mathbf{w},\theta$ 是感知机模型的参数， $\mathbf{w}$ 为权重， $\theta$ 为阈值。

超平面：对于一维空间超平面就是点，二维空间是一条线，三维空间是一个面

• 从几何角度

给定一个线性可分（就是在二维空间可以找到一条线把正负样本分开）的数据集 $T$ ，感知机的学习目标是求得能对数据集 $T$ 中的正负样本完全正确划分的超平面，其中 ${\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}-\theta$ 即为超平面方程。

5.2.1感知机学习策略

将全体训练样本代入模型找出误分类样本，误分类样本集合为 $M$ ，对任意一个误分类样本 $(x,y)$ 来说

当 ${\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}-\theta ⩾0$ 时，模型输出值为 $\hat{y}=1$ ，样本真实标记为 $y=0$

当 ${\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}-\theta <0$ 时，模型输出值为 $\hat{y}=0$ ，样本真实标记为 $y=1$

综合两种情形可知，以下公式恒成立
$$(\hat{y}-y)\left({\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}-\theta \right)\ge 0$$
损失函数为
$$L(\mathbf{w},\theta )=\sum _{\mathbf{x}\in M}(\hat{y}-y)\left({\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}-\theta \right)$$
显然，此损失函数是非负的。如果没有误分类点，损失函数值是0。而且，误分类点越少，误分类点离超平面越近，损失函数值就越小。

具体地，给定数据集
$$T=\left\{\left({\mathbf{x}}_1,y_1\right),\left({\mathbf{x}}_2,y_2\right),\dots ,\left({\mathbf{x}}_N,y_N\right)\right\}$$
求参数 $\mathbf{w},\theta$ ，使其为极小化损失函数的解：
$$\underset{\mathbf{w},\theta }{\min }L(\mathbf{w},\theta )=\underset{\mathbf{w},\theta }{\min }\sum _{{\mathbf{x}}_i\in M}\left({\hat{y}}_i-y_i\right)\left({\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_i-\theta \right)$$
若将阈值 看作一个固定输入为 $-1$ 的“哑节点”，即
$$-\theta =-1\cdot w_{n+1}=x_{n+1}\cdot w_{n+1}$$
根据该式，可将要求解的极小化问题进一步简化为
$$\underset{\mathbf{w}}{\min }L(\mathbf{w})=\underset{\mathbf{w}}{\min }\sum _{{\mathbf{x}}_i\in M}\left({\hat{y}}_i-y_i\right){\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_i$$

5.2.2感知机学习算法

损失函数的梯度为
$${\nabla }_{\mathbf{w}}L(\mathbf{w})=\sum _{{\mathbf{x}}_i\in M}\left({\hat{y}}_i-y_i\right){\mathbf{x}}_i$$
感知机的学习算法采用的是随机梯度下降法，随机从 $M$ 选取一个误分类点使其梯度下降

权重 $w$ 的更新公式为
$$\begin{array}{c}\mathbf{w}\leftarrow \mathbf{w}+\Delta \mathbf{w}\\ \Delta \mathbf{w}=-\eta \left({\hat{y}}_i-y_i\right){\mathbf{x}}_i=\eta \left(y_i-{\hat{y}}_i\right){\mathbf{x}}_i\end{array}$$
通常解出来的最小值不唯一，$w$ 也不唯一

5.3 神经网络

由于像感知机这种单个神经元分类能力有限，只能分类线性可分的数据集，对于线性不可分的数据集则无能为力，但是多个神经元构成的神经网络能够分类线性不可分的数据集。

通用近似定理：只需一个包含足够多神经元的隐层，多层前馈网络（最经典的神经网络之一）就能以任意精度逼近任意复杂度的连续函数。因此，神经网络既能做回归，也能做分类，而且不需要复杂的特征工程。

5.3.1 多层前馈网络

多层前馈网络：每层神经元与下一层神经元全互连，神经元之间不存在同层连接，也不存在跨层连接。（隐层阈值 ${\gamma }_h$ ，输出层阈值 ${\theta }_j$）

将神经网络（记为 $\mathrm{N}\mathrm{N}$)看作一个特征加工函数，将 $\mathbf{x}$ 由 $n$ 维转化为 $l$ 维
$$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d\to \mathrm{N}\mathrm{N}(\mathbf{x})\to \mathbf{y}={\mathbf{x}}^{\ast }\in {\mathbb{R}}^l$$

• （单输出）线性回归： $\mathrm{N}\mathrm{N}$ 后面接一个 ${\mathbb{R}}^l\to \mathbb{R}$ 的神经元，例如：没有激活函数的神经元

$$y={\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}^{\ast }+b$$

• 分类：后面接一个 ${\mathbb{R}}^l\to [0,1]$ 的神经元，例如：激活函数为 $\mathrm{sigmoid}$ 函数的神经元

$$y=\frac{1}{1+e^{-\left({\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}^{\ast }+b\right)}}$$

假设多层前馈网络中的激活函数全为 $\mathrm{sigmoid}$ 函数，且当前要完成的任务为一个（多输出）回归任务，因此损失函数可以采用均方误差（分类任务则用交叉熵）。对于某个训练样本 $\left({\mathbf{x}}_k,{\mathbf{y}}_k\right)$ ，其中 ${\mathbf{y}}_k=\left(y_1^k,y_2^k,\dots ,y_l^k\right)$ ，假定其多层前馈网络的输出为 ${\hat{\mathbf{y}}}_{\mathbf{k}}=\left(y_1^k,y_2^k,\dots ,y_l^k\right)$ ,则该单个样本的均方误差（损失）为
$$E_k=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^l{\left({\hat{y}}_j^k-y_j^k\right)}^2$$
误差逆传播算法（BP算法）：基于随机梯度下降的参数更新算法
$$\begin{array}{c}w\leftarrow w+\Delta w\\ \Delta w=-\eta {\nabla }_{w}E\end{array}$$
其中只需推导出 ${\nabla }_{w}E$ 这个损失函数 $E$ 关于参数的一阶偏导数（梯度）即可（链式求
导）