CINTA作业五：循环群

循环群及其应用

提示：本节介绍了这样一种群，它所有的元素都能被特定的元素计算出来(或者生成出来 )

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前言

提示：熟练掌握生成元及原根的相关求解和运用
 

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一、列举出群 $Z_{10}$ 的所有生成元。

$Z_{10}$ = { 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 }

计算得，$Z_{10}$ 的所有生成元为：1，3，7，9

 

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二、生成元个数的计算及判断

解：由原根定理可知，
     群 $Z_{17}^{\ast }$ 有 $\varphi$ (16）= 8 个生成元
     已知3 是其中一个生成元

     $\because$ 9 = $3^2$
     $\therefore$ gcd (2, 16) $\ne$ 1
     $\therefore$ 9 不是生成元

     $\because$ 10 = $3^3$ mod 17
     $\therefore$ gcd (3, 16) $=$ 1
     $\therefore$ 10 是生成元

 

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三、证明

证明：如果群 G 没有非平凡子群，则群 G 是循环群。

解：$\because$ 群 $G$ 没有非平凡子群
    $\therefore$ 群 $G$ 只有平凡子群（即群中有且仅有单位元 e 这一个元素）
    $\therefore$ 对于 $G$ 中任何一个非单位元元素 g，都能生成一个循环群 $⟨$ g $⟩$, 使得 $⟨$ g $⟩$ = G
    $\therefore$ 群 G 是循环群

 

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四、证明推论7.3

证明：有限循环群G中任意元素的阶都整除群G的阶

解：设群 $G$ = $⟨$ g $⟩$ 是阶为 n 的循环群
     则对群中任意元素 h = $g^k$, 必定存在一个 m $\in$ N, 使得 $h^m$ = $g^{km}$ = e
     令 d = gcd (k, n)
     由命题 7.4 可知， n | km, 即有 (n/d) | (k/d)m
     所以，(n/d) | (k/d)m 蕴含 (n/d) | m
     可被 n/d 整除的最小正整数是 n/d
     所以，m = n/d
     因此说，有限循环群G中任意元素的阶都整除群G的阶

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