【图机器学习】图神经网络入门（三）从图傅里叶变换到图卷积

1 前言

  在之前的文章中（图上的傅里叶变换），已经顺利的从传统的傅里叶变换过渡到了图上的傅里叶变换，这样使得离散的图数据能够进行卷积操作。本节主要阐述如何如何从图的傅里叶变换到图卷积。
  本文为自学的记录，其中多有借鉴他人的地方，一并在参考文献中给出链接。

2 卷积定理及卷积操作的意义

2.1 卷积的意义

  卷积主要有三个含义（强烈推荐参考文献【1】的视频讲解）：

• 对于一个系统，如果输入是不稳定的，输出是稳定的，那么卷积操作可以求出系统的存量。
• 在图像处理中，一个卷积核就是规定了周围像素点对当前像素点的产生的影响。
• 在卷积神经网络的图像预处理中，一个过滤器的卷积核就是规定了，一个像素点会如何对周围像素点的试探，如何筛选图像的特征。

2.2 卷积定理

  卷积定理：函数卷积的傅里叶变换是函数傅立叶变换的乘积，即对于函数$f$与$g$两者的卷积是其函数傅立叶变换乘积的逆变换（中间的桥梁就是傅立叶变换与反傅立叶变换 证明点击这里）：
$$\mathrm{f}\ast \mathrm{g}={\mathcal{F}}^{-1}\{\mathcal{F}(\mathrm{f})\cdot \mathcal{F}(\mathrm{g})\}={\mathcal{F}}^{-1}\{\hat{\mathrm{f}}\cdot \hat{\mathrm{g}}\}$$

  那么重点来了类比传统卷积的定义，我们将卷积定义到图上并且带入傅里叶变换，则 $f$ 与卷积核 $g$ 在图上的卷积可以做如下定义：

$f$ 的图傅里叶变换为 $\hat{f}=U^{T}f$

卷积核 $g$ 的图傅里叶变换为 $\hat{g}=U^{T}g$

注意：卷积核$g$不是先天有的而是根据需要设计的，可以类比图像中的卷积核设计。

3 图(graph)卷积

  有了上面的基础之后，我们来定义图卷积的公式：
$$\begin{array}{rl}x{\star }_{G}g& ={\mathcal{F}}^{-1}(\mathcal{F}(f)\odot \mathcal{F}(g))\\ & =U\left(U^{T}f\odot U^{T}g\right)\end{array}$$

$\odot$ 表示哈达玛积（对于两个维度相同的向量、矩阵、张量进行对应位置的逐元素乘积运算，这里是不是有点卷积核的感觉了）

将上面的公式重新整理推导为更一般的方式：
$$\begin{array}{l}\mathrm{x}{\star }_{\mathrm{G}}{\mathrm{g}}_{\theta }=\mathrm{U}\left(\left({\mathrm{U}}^{\mathrm{T}}\mathrm{f}\right)\odot \left({\mathrm{U}}^{\mathrm{T}}\mathrm{g}\right)\right)\\ =\mathrm{U}\left(\begin{array}{c}\hat{\mathrm{f}}\left({\lambda }_1\right)\\ \hat{\mathrm{f}}\left({\lambda }_2\right)\\ ⋮\\ \hat{\mathrm{f}}\left({\lambda }_{\mathrm{n}}\right)\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}\hat{\mathrm{g}}\left({\lambda }_1\right)\\ \hat{\mathrm{g}}\left({\lambda }_2\right)\\ ⋮\\ \hat{\mathrm{g}}\left({\lambda }_n\right)\end{array}\right)\\ =U\left(\begin{array}{c}\hat{\mathrm{g}}\left({\lambda }_1\right)\hat{\mathrm{f}}\left({\lambda }_1\right)\\ \hat{\mathrm{g}}\left({\lambda }_2\right)\hat{\mathrm{f}}\left({\lambda }_2\right)\\ ⋮\\ \hat{\mathrm{g}}\left({\lambda }_{\mathrm{n}}\right)\hat{\mathrm{f}}\left({\lambda }_{\mathrm{n}}\right)\end{array}\right)\\ =\mathrm{U}\left(\begin{array}{ccc}\hat{\mathrm{g}}\left({\lambda }_1\right)& & \\ & \ddots & \\ & & \hat{\mathrm{g}}\left({\lambda }_{\mathrm{n}}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\hat{\mathrm{f}}\left({\lambda }_1\right)\\ \hat{\mathrm{f}}\left({\lambda }_2\right)\\ ⋮\\ \hat{\mathrm{f}}\left({\lambda }_{\mathrm{n}}\right)\end{array}\right)\\ =\mathrm{U}\left(\begin{array}{ccc}\hat{\mathrm{g}}\left({\lambda }_1\right)& & \\ & \ddots & \\ & & \hat{\mathrm{g}}\left({\lambda }_{\mathrm{n}}\right)\end{array}\right){\mathrm{U}}^{\mathrm{T}}\mathrm{f}\end{array}$$
上述推导的更详细见参考文献【4】

  上面就是谱域图卷积最终的公式，所有的谱域图卷积的原理就是这个公式，只是对滤波器$\hat{g}$做了不同的处理。这个公式的意义是：卷积核信号（或者说滤波器信号$\hat{g}$是一个n维的向量，它的作用是将原信号的不同的分量进行一个放大或者缩小，这取决于卷积核信号在谱域上不同元素的值。

4 总结

5 参考文献

[1]【王木头学科学|深度学习】1. 什么是卷积？卷积的3个意义。卷积、图像卷积操作、卷积神经网络
[2]【图机器学习】图神经网络入门（二）图上的傅里叶变换
[3]图卷积神经网络1-谱域图卷积：拉普拉斯变换到谱域图卷积
[4]GCN中的等式证明
[5]图卷积网络 GCN Graph Convolutional Network（谱域GCN）的理解和详细推导