高等数学——自总结结论（4）

17 多元函数积分学的预备知识

一般式曲线方程$\{\begin{array}{ll}& F(x,y,z)=0\\ & G(x,y,z)=0\end{array}$求某点的切向量：

1. 化为参数方程进行求解

2. 两平面法向量叉乘求切向量：

   $$n=n_1\times n_2=(F_x^{\prime },F_y^{\prime },F_z^{\prime }){|}_{P_0}\times (G_x^{\prime },G_y^{\prime },G_z^{\prime }){|}_{P_0}$$

平面束方程求的是过一条直线的平面束方程，且该直线用一般式表达

假设函数$f(x,y)$在$P_0$处，沿着$l(0,1)$的方向的方向导数为2。注意这里$l(0,1)$仅是指方向，而不是具体数值，即仅能认为$f_x^{\prime }{|}_{P_0}=0,f_y^{\prime }{|}_{P_0}>0$，而不可认为是$f_y^{\prime }{|}_{P_0}=1$，即有方程组：

$$\{\begin{array}{ll}& f_x^{\prime }{|}_{P_0}=0\\ & f_y^{\prime }{|}_{P_0}>0\\ & \frac{\partial u}{\partial l}=f_x^{\prime }\cdot 0\cdot i+f_y^{\prime }\cdot 1\cdot j\end{array}\Rightarrow |\frac{\partial u}{\partial l}|=\sqrt{0^2+(f_y^{\prime }{)}^2}=2$$

已知$A,B,C$三点的坐标，要求过3点的平面方程可用点法式：

1. $n=AB\times BC$
2. 过点$A$

法向方向与切向方向实际上有$\pm$两个方向，做题时（尤其是填空题），勿忘带上$\pm$号

以$a,b$为邻边的平行四边形面积：$S=|a\times b|$

直线一般式$\{\begin{array}{ll}& F(x,y,z)=0\\ & G(x,y,z)=0\end{array}$投影到坐标面$xoy$的流程

1. 联立方程组消去$z$，得到仅含有$x,y$得到函数$H(x,y)=0$。
2. 结果为

$$\{\begin{array}{ll}& H(x,y)=0\\ & z=0\end{array}$$

当二型面积分被积函数含有绝对值时，有时不可以直接用高斯公式（绝对值在0点的导数不存在），可以考虑分区域，再分别用高斯。

函数$f(x,y,z)$在点$P(x_0,y_0,z_0)$初最大的方向导数即为该点的梯度值$|\text{grad}f|=|(f_x^{\prime },f_y^{\prime },f_z^{\prime })|=\sqrt{(f_x^{\prime }{)}^2+(f_y^{\prime }{)}^2+(f_z^{\prime }{)}^2}$，不过注意这里不要对梯度进行化简，如：

对于$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，有$\text{grad}f=(2x,2y,2z)$，其梯度方向确实为$(x,y,z)$，毕竟方向是有无数种表示方法。但是其梯度值/最大的方向导数值为$\sqrt{(2x{)}^2+(2y{)}^2+(2z{)}^2}$，是不可以改变的。

如果$u_n>0$勿忘$u_{n+1}-u_n=(\sqrt{u_{n+1}}+\sqrt{u_n})(\sqrt{u_{n+1}}-\sqrt{u_n})$

如果一条之间的任意两个点在一个平面上，那么这条直线就在这个平面上

两直线异面的向量积判别法：两条直线的方向向量和其上任意两点连线的向量的混合积若不等于0 则两直线异面

18 多元函数积分学

除了常用的对称性化简：一个内部对称的区域，若被积函数满足奇函数条件，积分结果为0，若被积函数满足偶含数条件，积分结果为半区域2倍。也可以考虑半区域对称性：两个彼此对称的区域，若被积函数满足奇函数条件，则在两个积分区域上的积分结果互为相反数，若被积函数满足偶含数条件，则在两个积分区域上的积分结果相同。

化简先行：

1. 对称性：二重、三重、一型线面优先考虑对称性化简（注意定积分及二型线面没有对称性，但是二型线面可考虑代入，当然一型也可以；二型线面通过格林公式或者高斯公式也可转化为一型线面；三维二线也可以转化为一型或二型面积分）。奇函数消积分项，轮换对称性添消被积函数项
2. 代入：对于一、二型线面积分，由于是沿着积分域曲线或曲面进行积分的，所以可以将积分域方程代入被积函数中，这样有时可化简被积函数，或者去除被积函数的奇点，将不可用格林公式或者高斯公式的题目化为可以用的

目前学到的用格林公式的图形均是曲线无交叉的，如果遇见有交叉的，八成是图像画错了。

有时曲线方程开方所获得的正负号，可以由参数方程的取值来表示

曲线化为参数时，参数的取值是由曲线的起止点而确定的，不一定是从小到大的

函数的抽象曲线路径的曲线积分，或者很难直接求的路径，可以考虑是否积分与路径无关

注意区分二重积分和部分形式的二型曲面积分，二者的主要区别在于被积曲面是否在三维空间

有时候转换投影法比补面高斯要简单，不要吊死在一种方法上

一型面积分的$ds>0$，二型面积分的$dxdy,dydz,dxdz$是有符号的，其符号由有向曲面法向量与坐标轴夹角余弦$(\cos \gamma ,\cos \alpha ,\cos \beta )$而定，它们之间的关系为：

$$\{\begin{array}{ll}& dxdy=ds\cos \gamma \\ & dxdz=ds\cos \alpha \\ & dydz=ds\cos \beta \end{array}$$

高斯公式与格林公式由于有求导操作，所以也是有消项的作用的。

二重积分变换后用格林公式：

有时面对二重积分，需要对其被积函数数实行求导操作，可考虑用下面步骤，将二重积分转化为二型线积分，再用格林公式：

$$\begin{array}{rl}二重积分转极坐标方程& \to 逆用二线的参数坐标转化\{\begin{array}{ll}& dx=r\cos \theta d\theta \\ & dy=r\sin \theta d\theta \end{array},将内次其化为二线\\ & \to 对用格林公式，对被积函数求导\end{array}$$

如，已知$f_{xx}^{\prime \prime }+f_{yy}^{\prime \prime }=1,S_d=1$，求$I=\underset{D}{\iint }(x{f}_x^{\prime }+y{f}_y^{\prime })d\sigma$：

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{1}rdr{\int }_0^{2\pi }{f}_x^{\prime }r\cos \theta +f_y^{\prime }r\sin \theta d\theta ={\int }_0^1[{\oint }_{Lr}-f_y^{\prime }dx+f_x^{\prime }dy]rdr\\ & ={\int }_0^1[\underset{D}{\iint }(f_{xx}^{\prime \prime }+f_{yy}^{\prime \prime })d\sigma ]rdr\end{array}$$

注意曲面方向取正，指的是指向坐标轴正方向

三种转换公式：

1. 格林公式：平面二线转为二重
2. 斯托克斯：空间二线转为一面或二面
3. 高斯：二面转为二重

有一类二线题目是要求挖洞去求解，如果原线积分方向是你几分，且$Q_x^{\prime }=P_y^{\prime }$，那么直接可以补小曲线$L_{r^{-}}$（顺时针），注意补完线之后的式子也别一激动用了隔离门，往往可以用代入法求解。

线积分的比较大小有时可用定义法求解（化为积分和式），注意化为积分和式后，微分元素化为：

$$\begin{array}{rl}& \Delta s=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}\\ & dx=\Delta x,dy=\Delta y\end{array}$$

注意：

$$\text{grad}f(x,y,z)\cdot dS=f_x^{\prime }dx+f_y^{\prime }dy+f_z^{\prime }dz$$

曲面$F(x,y,z)$的外法向量为$n=(F_x^{\prime },F_y^{\prime },F_z^{\prime })$，单位外法向量再归一即可

计算二线时，注意$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$是可以直接代入的：

$$I=\oint x{y}^{\prime }dx-\frac{y}{y^{\prime }}dy=\oint xdy-ydx=\iint 2d\sigma$$

求二型曲面积分时不仅除了补面高斯，别忘了还可以直接投影。有时这种有多种思路的题不仅是简单与否的问题，甚至是算出来算不出来的问题（如存在一种含有未知函数$f(x)$的二型曲面积分，如果补面高斯，消不掉未知函数，但是用直接投影反而可以消去）

注意对z轴的空间曲面的转动惯量是$\underset{\Sigma }{\iint }(x^2+y^2)\rho dS$；而空间立方体的对z轴的转动惯量为$\underset{\Omega }{\iiint }(x^2+y^2)\rho dV$

注意有一种问法，要求曲线$y(x)$在$x\ge 0$上的全长，注意$x$的实际区间范围：

例：求曲线$4y={\int }_0^{2}x\sqrt{12-x^2{u}^2}du(x\ge 0)$的全长：

有$S={\int }_{}^{}\sqrt{1+(y_x^{\prime }{)}^2}dS$，求得$y=\sqrt{3-x^2}$，所以$0\le x\le \sqrt{3}$。

PS：不要代入$\sqrt{1+(y_x^{\prime }{)}^2}=\sqrt{4-x^2}$后认为$0\le x\le 4$，是错误的

关于一种常见的补小曲面用高斯公式题型的结论：

若原曲面方向为+，那么最终结果补的面就是+；若原曲面方向为-，那么最终结果补的面就是-；

注意若是多段曲面组成的闭曲面的正负号，全向外才是正，全向内才是负

1. 原曲面${\Sigma }_0^{+}$

   那么补充曲面应该为${\Sigma }_1^{-}$，有：

   $$I=\iint =\iint +\iint =\iint$$

2. 原曲面${\Sigma }_0^{-}$，有：

   那么补充曲面应该为${\Sigma }_1^{+}$，有：

   $$I=\iint =\iint -\iint =-\iint$$

抽象二型线积分求解常用的两种方法

1. 利用积分区域的轮换对称性，补项消项，令最终结果为0

2. 利用全微分方程在闭曲线上的积分为0，令最终结果为0

   例：$I=\oint f(x^2+y^2)xdy+f(x^2+y^2)ydx，其中f(x)连续$，求$I$：

   解：由于$f(x)$连续，那么可以令函数$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$，那么有：

   $$I=\oint f(x^2+y^2)[xdx+ydx]=\oint f(x^2+y^2)d[\frac{x^2+y^2}{2}]=\oint d[\frac{F(x^2+y^2)}{2}]$$

   即

   $$dF(x^2+y^2)=2[f(x^2+y^2)xdy+f(x^2+y^2)ydx]$$

   被积函数为全微分方程，结果直接为0

   注意求与空间曲面相关的形心坐标时，注意要求的是曲面的形心坐标，还是曲面围成的立方体的形心坐标，二者的方法完全不同