高等数学——自总结结论(4)

17 多元函数积分学的预备知识

一般式曲线方程 { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 \begin{cases} &F(x,y,z)=0\\ &G(x,y,z)=0\\ \end{cases} {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0求某点的切向量:

  1. 化为参数方程进行求解

  2. 两平面法向量叉乘求切向量:

    n ⃗ = n ⃗ 1 × n ⃗ 2 = ( F x ′ , F y ′ , F z ′ ) ∣ P 0 × ( G x ′ , G y ′ , G z ′ ) ∣ P 0 \vec n=\vec n_1 \times \vec n_2=(F_x',F_y',F_z')|_{P_0} \times (G_x',G_y',G_z')|_{P_0} n =n 1×n 2=(Fx,Fy,Fz)P0×(Gx,Gy,Gz)P0

平面束方程求的是过一条直线的平面束方程,且该直线用一般式表达

假设函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) P 0 P_0 P0处,沿着 l ( 0 , 1 ) l(0,1) l(0,1)的方向的方向导数为2。注意这里 l ( 0 , 1 ) l(0,1) l(0,1)仅是指方向,而不是具体数值,即仅能认为 f x ′ ∣ P 0 = 0 , f y ′ ∣ P 0 > 0 f_x'|_{P_0}=0,f_y'|_{P_0}>0 fxP0=0,fyP0>0,而不可认为是 f y ′ ∣ P 0 = 1 f_y'|_{P_0}=1 fyP0=1,即有方程组:

{ f x ′ ∣ P 0 = 0 f y ′ ∣ P 0 > 0 ∂ u ∂ l ⃗ = f x ′ ⋅ 0 ⋅ i ⃗ + f y ′ ⋅ 1 ⋅ j ⃗ ⇒ ∣ ∂ u ∂ l ⃗ ∣ = 0 2 + ( f y ′ ) 2 = 2 \begin{cases} &f_x'|_{P_0}=0\\ &f_y'|_{P_0}>0\\ &\frac{\partial u}{\partial \vec l}=f_x' \cdot0 \cdot \vec i+f_y' \cdot1\cdot \vec j\\ \end{cases} \Rightarrow |\frac{\partial u}{\partial \vec l}|=\sqrt{0^2+(f_y')^2}=2 fxP0=0fyP0>0l u=fx0i +fy1j l u=02+(fy)2 =2

已知 A , B , C A,B,C A,B,C三点的坐标,要求过3点的平面方程可用点法式:

  1. n ⃗ = A B → × B C → \vec n=\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} n =AB ×BC
  2. 过点 A A A

法向方向与切向方向实际上有 ± \pm ±两个方向,做题时(尤其是填空题),勿忘带上 ± \pm ±

a ⃗ , b ⃗ \vec a,\vec b a ,b 为邻边的平行四边形面积: S = ∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ S=|\vec a \times \vec b| S=a ×b

直线一般式 { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 \begin{cases} &F(x,y,z)=0\\ &G(x,y,z)=0\\ \end{cases} {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0投影到坐标面 x o y xoy xoy的流程

  1. 联立方程组消去 z z z,得到仅含有 x , y x,y x,y得到函数 H ( x , y ) = 0 H(x,y)=0 H(x,y)=0
  2. 结果为

{ H ( x , y ) = 0 z = 0 \begin{cases} &H(x,y)=0\\ &z=0\\ \end{cases} {H(x,y)=0z=0

当二型面积分被积函数含有绝对值时,有时不可以直接用高斯公式(绝对值在0点的导数不存在),可以考虑分区域,再分别用高斯。

函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P(x_0,y_0,z_0) P(x0,y0,z0)初最大的方向导数即为该点的梯度值 ∣ grad f ∣ = ∣ ( f x ′ , f y ′ , f z ′ ) ∣ = ( f x ′ ) 2 + ( f y ′ ) 2 + ( f z ′ ) 2 |\text{grad}f|=|(f_x',f_y',f_z')|=\sqrt{(f_x')^2+(f_y')^2+(f_z')^2} gradf=(fx,fy,fz)=(fx)2+(fy)2+(fz)2 ,不过注意这里不要对梯度进行化简,如:

对于 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 f(x,y,z)=x2+y2+z2,有 grad f = ( 2 x , 2 y , 2 z ) \text{grad}f=(2x,2y,2z) gradf=(2x,2y,2z),其梯度方向确实为 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z),毕竟方向是有无数种表示方法。但是其梯度值/最大的方向导数值为 ( 2 x ) 2 + ( 2 y ) 2 + ( 2 z ) 2 \sqrt{(2x)^2+(2y)^2+(2z)^2} (2x)2+(2y)2+(2z)2 ,是不可以改变的。

如果 u n > 0 u_n>0 un>0勿忘 u n + 1 − u n = ( u n + 1 + u n ) ( u n + 1 − u n ) u_{n+1}-u_{n}=(\sqrt{u_{n+1}}+\sqrt{u_{n}})(\sqrt{u_{n+1}}-\sqrt{u_{n}}) un+1un=(un+1 +un )(un+1 un )

如果一条之间的任意两个点在一个平面上,那么这条直线就在这个平面上

两直线异面的向量积判别法:两条直线的方向向量和其上任意两点连线的向量的混合积若不等于0 则两直线异面

18 多元函数积分学

除了常用的对称性化简:一个内部对称的区域,若被积函数满足奇函数条件,积分结果为0,若被积函数满足偶含数条件,积分结果为半区域2倍。也可以考虑半区域对称性:两个彼此对称的区域,若被积函数满足奇函数条件,则在两个积分区域上的积分结果互为相反数,若被积函数满足偶含数条件,则在两个积分区域上的积分结果相同。

化简先行:

  1. 对称性:二重、三重、一型线面优先考虑对称性化简(注意定积分及二型线面没有对称性,但是二型线面可考虑代入,当然一型也可以;二型线面通过格林公式或者高斯公式也可转化为一型线面;三维二线也可以转化为一型或二型面积分)。奇函数消积分项,轮换对称性添消被积函数项
  2. 代入:对于一、二型线面积分,由于是沿着积分域曲线或曲面进行积分的,所以可以将积分域方程代入被积函数中,这样有时可化简被积函数,或者去除被积函数的奇点,将不可用格林公式或者高斯公式的题目化为可以用的

目前学到的用格林公式的图形均是曲线无交叉的,如果遇见有交叉的,八成是图像画错了。

有时曲线方程开方所获得的正负号,可以由参数方程的取值来表示

曲线化为参数时,参数的取值是由曲线的起止点而确定的,不一定是从小到大的

函数的抽象曲线路径的曲线积分,或者很难直接求的路径,可以考虑是否积分与路径无关

注意区分二重积分和部分形式的二型曲面积分,二者的主要区别在于被积曲面是否在三维空间

有时候转换投影法比补面高斯要简单,不要吊死在一种方法上

一型面积分的 d s > 0 ds>0 ds>0,二型面积分的 d x d y , d y d z , d x d z dxdy,dydz,dxdz dxdy,dydz,dxdz是有符号的,其符号由有向曲面法向量与坐标轴夹角余弦 ( cos ⁡ γ , cos ⁡ α , cos ⁡ β ) (\cos \gamma,\cos \alpha ,\cos \beta ) (cosγ,cosα,cosβ)而定,它们之间的关系为:

{ d x d y = d s cos ⁡ γ d x d z = d s cos ⁡ α d y d z = d s cos ⁡ β \begin{cases} &dxdy=ds\cos\gamma\\ &dxdz=ds\cos \alpha \\ &dydz=ds \cos \beta \\ \end{cases} dxdy=dscosγdxdz=dscosαdydz=dscosβ

高斯公式与格林公式由于有求导操作,所以也是有消项的作用的。

二重积分变换后用格林公式:

有时面对二重积分,需要对其被积函数数实行求导操作,可考虑用下面步骤,将二重积分转化为二型线积分,再用格林公式:

二 重 积 分 转 极 坐 标 方 程 → 逆 用 二 线 的 参 数 坐 标 转 化 { d x = r cos ⁡ θ d θ d y = r sin ⁡ θ d θ , 将 内 次 其 化 为 二 线 → 对 用 格 林 公 式 , 对 被 积 函 数 求 导 \begin{aligned} 二重积分转极坐标方程 &\rightarrow 逆用二线的参数坐标转化\begin{cases} &dx =r \cos \theta d\theta\\ &dy = r \sin \theta d \theta\\\end{cases},将内次其化为二线\\ &\rightarrow 对用格林公式,对被积函数求导 \end{aligned} 线{dx=rcosθdθdy=rsinθdθ,线

如,已知 f x x ′ ′ + f y y ′ ′ = 1 , S d = 1 f''_{xx}+f''_{yy}=1,S_d=1 fxx+fyy=1,Sd=1,求 I = ∬ D ( x f x ′ + y f y ′ ) d σ I=\iint\limits_D(xf_x'+yf_y')d\sigma I=D(xfx+yfy)dσ

I = ∫ 0 1 r d r ∫ 0 2 π f x ′ r cos ⁡ θ + f y ′ r sin ⁡ θ d θ = ∫ 0 1 [ ∮ L r − f y ′ d x + f x ′ d y ] r d r = ∫ 0 1 [ ∬ D ( f x x ′ ′ + f y y ′ ′ ) d σ ] r d r \begin{aligned} I&=\int_{0}^{1}rdr\int_{0}^{2\pi}f_x'r\cos \theta+f_y'r\sin \theta d \theta=\int_{0}^{1}[\oint_{Lr}-f_y'dx+f_x'dy]rdr\\&=\int_{0}^{1}[\iint\limits_D(f_{xx}''+f_{yy}'')d\sigma]rdr \end{aligned} I=01rdr02πfxrcosθ+fyrsinθdθ=01[Lrfydx+fxdy]rdr=01[D(fxx+fyy)dσ]rdr

注意曲面方向取正,指的是指向坐标轴正方向

三种转换公式:

  1. 格林公式:平面二线转为二重
  2. 斯托克斯:空间二线转为一面或二面
  3. 高斯:二面转为二重

有一类二线题目是要求挖洞去求解,如果原线积分方向是你几分,且 Q x ′ = P y ′ Q_x'=P_y' Qx=Py,那么直接可以补小曲线 L r − L_{r^-} Lr(顺时针),注意补完线之后的式子也别一激动用了隔离门,往往可以用代入法求解。

线积分的比较大小有时可用定义法求解(化为积分和式),注意化为积分和式后,微分元素化为:

Δ s = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 d x = Δ x , d y = Δ y \begin{aligned}&\Delta s=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\\ &dx=\Delta x,\quad dy=\Delta y\\ \end{aligned} Δs=(Δx)2+(Δy)2 dx=Δx,dy=Δy

注意:

grad f ( x , y , z ) ⋅ d S = f x ′ d x + f y ′ d y + f z ′ d z \text{grad}f(x,y,z)\cdot dS=f_x'dx+f_y'dy+f_z'dz gradf(x,y,z)dS=fxdx+fydy+fzdz

曲面 F ( x , y , z ) F(x,y,z) F(x,y,z)的外法向量为 n ⃗ = ( F x ′ , F y ′ , F z ′ ) \vec n=(F_x',F_y',F_z') n =(Fx,Fy,Fz),单位外法向量再归一即可

计算二线时,注意 y ′ = d y d x y'=\frac{dy}{dx} y=dxdy是可以直接代入的:

I = ∮ x y ′ d x − y y ′ d y = ∮ x d y − y d x = ∬ 2 d σ I=\oint xy'dx-\frac{y}{y'}dy=\oint xdy-ydx=\iint2d\sigma I=xydxyydy=xdyydx=2dσ

求二型曲面积分时不仅除了补面高斯,别忘了还可以直接投影。有时这种有多种思路的题不仅是简单与否的问题,甚至是算出来算不出来的问题(如存在一种含有未知函数 f ( x ) f(x) f(x)的二型曲面积分,如果补面高斯,消不掉未知函数,但是用直接投影反而可以消去)

注意对z轴的空间曲面的转动惯量是 ∬ Σ ( x 2 + y 2 ) ρ d S \iint\limits_\Sigma(x^2+y^2)\rho dS Σ(x2+y2)ρdS;而空间立方体的对z轴的转动惯量为 ∭ Ω ( x 2 + y 2 ) ρ d V \iiint\limits_\Omega(x^2+y^2)\rho dV Ω(x2+y2)ρdV

注意有一种问法,要求曲线 y ( x ) y(x) y(x) x ≥ 0 x \geq0 x0上的全长,注意 x x x的实际区间范围:

例:求曲线 4 y = ∫ 0 2 x 12 − x 2 u 2 d u ( x ≥ 0 ) 4y=\int_{0}^{2}x\sqrt{12-x^2u^2}du{\kern 5pt}(x\geq0) 4y=02x12x2u2 du(x0)的全长:

S = ∫ 1 + ( y x ′ ) 2 d S S=\int_{}^{}\sqrt{1+(y_x')^2}dS S=1+(yx)2 dS,求得 y = 3 − x 2 y=\sqrt{3-x^2} y=3x2 ,所以 0 ≤ x ≤ 3 0\leq x \leq \sqrt{3} 0x3

PS:不要代入 1 + ( y x ′ ) 2 = 4 − x 2 \sqrt{1+(y_x')^2}=\sqrt{4-x^2} 1+(yx)2 =4x2 后认为 0 ≤ x ≤ 4 0\leq x \leq 4 0x4,是错误的

关于一种常见的补小曲面用高斯公式题型的结论:

若原曲面方向为+,那么最终结果补的面就是+;若原曲面方向为-,那么最终结果补的面就是-;

注意若是多段曲面组成的闭曲面的正负号,全向外才是正,全向内才是负

  1. 原曲面 Σ 0 + \Sigma_0^+ Σ0+

    那么补充曲面应该为 Σ 1 − \Sigma_1^- Σ1,有:

    I = ∯ Σ 0 + = ∯ Σ 0 + + Σ 1 − + ∯ Σ 1 + = ∯ Σ 1 + I=\oiint_{\Sigma_0^+}=\oiint_{\Sigma_0^++\Sigma_1^-}+\oiint_{\Sigma_1^+}=\oiint_{\Sigma_1^+} I= Σ0+= Σ0++Σ1+ Σ1+= Σ1+

  2. 原曲面 Σ 0 − \Sigma_0^- Σ0,有:

    那么补充曲面应该为 Σ 1 + \Sigma_1^+ Σ1+,有:

    I = ∯ Σ 0 − = ∯ Σ 0 − + Σ 1 + − ∯ Σ 1 + = − ∯ Σ 1 + I=\oiint_{\Sigma_0^-}=\oiint_{\Sigma_0^-+\Sigma_1^+}-\oiint_{\Sigma_1^+}=-\oiint_{\Sigma_1^+} I= Σ0= Σ0+Σ1+ Σ1+= Σ1+

抽象二型线积分求解常用的两种方法

  1. 利用积分区域的轮换对称性,补项消项,令最终结果为0

  2. 利用全微分方程在闭曲线上的积分为0,令最终结果为0

    例: I = ∮ f ( x 2 + y 2 ) x d y + f ( x 2 + y 2 ) y d x , 其 中 f ( x ) 连 续 I=\oint f(x^2+y^2)xdy+f(x^2+y^2)ydx,其中f(x)连续 I=f(x2+y2)xdy+f(x2+y2)ydxf(x),求 I I I

    解:由于 f ( x ) f(x) f(x)连续,那么可以令函数 F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t F(x)=\int_0^xf(t)dt F(x)=0xf(t)dt,那么有:

    I = ∮ f ( x 2 + y 2 ) [ x d x + y d x ] = ∮ f ( x 2 + y 2 ) d [ x 2 + y 2 2 ] = ∮ d [ F ( x 2 + y 2 ) 2 ] I=\oint f(x^2+y^2)[xdx+ydx]=\oint f(x^2+y^2)d[\frac{x^2+y^2}{2}]=\oint d[\frac{F(x^2+y^2)}{2}] I=f(x2+y2)[xdx+ydx]=f(x2+y2)d[2x2+y2]=d[2F(x2+y2)]

    d F ( x 2 + y 2 ) = 2 [ f ( x 2 + y 2 ) x d y + f ( x 2 + y 2 ) y d x ] dF(x^2+y^2)=2[f(x^2+y^2)xdy+f(x^2+y^2)ydx] dF(x2+y2)=2[f(x2+y2)xdy+f(x2+y2)ydx]

    被积函数为全微分方程,结果直接为0

    注意求与空间曲面相关的形心坐标时,注意要求的是曲面的形心坐标,还是曲面围成的立方体的形心坐标,二者的方法完全不同

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