矩阵的秩+基础解系的秩为什么等于n？

本文证明任何一个$m\times n$矩阵的秩和对应齐次线性方程组的秩和为n。

Rank-Nullity Theorem叙述如下：

对任意$m\times n$矩阵$A$
$$rank(A)+nullity(A)=n\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中, $rank(A)$是矩阵 $A$ 的秩，$nullity(A)$ 是矩阵 $A$ 的 $nullspqce$ 的秩。如果之前不知道矩阵 $A$ 的$nullspace(A),nullity(A)$ 的定义，只需要把 $nullity(A)$ 理解为齐次线性方程组(system of homogenous linear equations)
$$Ax=0\text{\hspace{1em}(2)}$$
的基础解系的秩（rank）即可。

证明如下:

1. 当 $rank(A)=n$ 时， 那么 $Ax=0$ 只有唯一的零解，根据空间维度的定义，立刻有方程（2）解空间的维度是0（零向量永远线性相关）。此时等式（1）成立。

2. 当 $rank(A)=r<n$ 时, 对矩阵 $A$ 做高斯消元法， 得到一个 行阶梯矩阵（严格要求非零行第一个非零元素为1）。此时，在方程（2）的解 $x$ 的分量中有 $n-r>0$ 个自由变量。选取行阶梯矩阵中不存在leading one 的列，对应 $x$ 中的分量为自由变量（下面有例子说明怎么选取）。leading one指的是，行阶梯矩阵中非零行中第一个1。记
   $$t_1,t_2,...t_{n-r}\text{\hspace{1em}(3)}$$
   为自由变量（标量）。如下图所示，矩阵的第1，2列有leading one，所以对应解向量的第1, 2个分量不是自由变量，而矩阵的第3,4列不含leading one，所以对应的解向量的第3, 4个分量是自由变量。并且把解向量中的3，4个自由变量分别赋值给$t_1,t_2$。
   

   把自由变量移项到等号右边，令第$t_i$ 对应的分量取1，其余分量取0（$i=1,2,3,...,n-r$ ），得到
   $$x_1,x_2,...x_{n-r}\text{\hspace{1em}(4)}$$
   其实，如下图所示，$x_1,x_2$ 对应用红色序号标出来的1对应的$x_3$后面的列向量和$x_4$后面的列向量
   

   注意到：
   $$\{x_1,x_2,...x_{n-r}\}\text{\hspace{1em}(5)}$$
   是一组线性无关组（这里其实需要证明。事实上，因为每个向量 $x_i$ 的构造方法导致了 $x_i$中 $t_i$对应的分量 取1，而其他$t_j,j\ne i$取0，注意这里$t_i$是前文选取的自由变量。那么如果每个向量$x_i$ 都取其中的$t_i$对应的分量构成新的向量，这些新向量构成的显然是一个线性无关组。然后用反证法证明原来向量组是线性无关即可）。

   进而，方程（2）的任何一个解都能表示成（3）的一个线性组合（这里其实是把自由变量移项到等号右边而已）
   $$x=t_1{x}_1+t_2{x}_2+...+t_{n-r}{x}_{n-r}\text{\hspace{1em}(6)}$$
   这表明（5）张成了$nullspace(A)$。即（4）是$nullspace(A)$的一个基，故$nullity(A)=n-r$ 。

   等式6可能看上去会比较奇怪，拿解向量的分量（标量）$t_i$作向量的$x_i$的系数。其实不奇怪，只需要认真看一下本文图2即可理解。实际上，$x_i$ 和对应的自由向量所在列在行阶梯矩阵中的列向量有极大关联，大家自己观察就能发现。命题得证。

Proof:

If rank($A$) = n, , the only solution to the above equation $(2)$ is $0$. Thus $nullspace(A)$ is $\{0\}$ . According to the definition of Linear Dependence, the relation of dimenson of space and number of vector in a maximal linearly independent group. Instanly obtains $nullity(A)=0$. Hence, $equation(1)$ holds.

Now suppose $rank(A)=r<n$, do Gauss Elimination to matrix $A$, obtain a Row-Echelon matrix. In this case, there are $n-r>0$ free variables in the solution to equation (2). Let
$$t_1,t_2,...t_{n-r}$$
denote these free variables(chosen as those variables not attached to a leading one in any row-echelon form of $A$), and let
$$x_1,x_2,...x_{n-r}\text{\hspace{1em}(7)}$$
denote the solutions obtained by sequentially setting each free variable to 1 and the remaining free variables to zero. Note that
$$\{x_1,x_2,...x_{n-r}\}\text{\hspace{1em}(8)}$$
is linearly independent, since there is only one sequential element in each vector does not equas zeros. Moreover, every solution to equation (2) is a linear combination of (8) :
$$x=t_1{x}_1+t_2{x}_2+...+t_{n-r}{x}_{n-r}\text{\hspace{1em}(9)}$$
which shows that (4) spans $nullspace(A)$. Thus, (4) is a basis for $nullspace(A)$, and $nullity(A)=n-r.$ So the Rank-Nullity Theorem has been proved.