矩阵的秩+基础解系的秩为什么等于n?

本文证明任何一个 m × n m \times n m×n矩阵的秩和对应齐次线性方程组的秩和为n。

Rank-Nullity Theorem叙述如下:

对任意 m × n m\times n m×n矩阵 A A A
r a n k ( A ) + n u l l i t y ( A ) = n (1) rank(A) + nullity(A) = n \tag{1} rank(A)+nullity(A)=n(1)
其中, r a n k ( A ) rank(A) rank(A)是矩阵 A A A n u l l i t y ( A ) nullity(A) nullity(A) 是矩阵 A A A n u l l s p q c e nullspqce nullspqce。如果之前不知道矩阵 A A A n u l l s p a c e ( A ) , n u l l i t y ( A ) nullspace(A), \quad nullity(A) nullspace(A),nullity(A) 的定义,只需要把 n u l l i t y ( A ) nullity(A) nullity(A) 理解为齐次线性方程组(system of homogenous linear equations)
A x ⃗ = 0 ⃗ (2) A \vec{x} = \vec{0} \tag{2} Ax =0 (2)
基础解系(rank)即可。

证明如下:

  1. r a n k ( A ) = n rank(A) = n rank(A)=n 时, 那么 A x = 0 ⃗ Ax=\vec{0} Ax=0 只有唯一的零解,根据空间维度的定义,立刻有方程(2)解空间的维度是0(零向量永远线性相关)。此时等式(1)成立。

  2. r a n k ( A )    =    r    < n rank(A) \;= \;r \;< n rank(A)=r<n 时, 对矩阵 A A A高斯消元法, 得到一个 行阶梯矩阵(严格要求非零行第一个非零元素为1)。此时,在方程(2)的解 x ⃗ \vec{x} x 的分量中有 n − r > 0 n-r>0 nr>0自由变量。选取行阶梯矩阵中不存在leading one 的列,对应 x ⃗ \vec{x} x 中的分量为自由变量(下面有例子说明怎么选取)。leading one指的是,行阶梯矩阵中非零行中第一个1。记
    t 1 , t 2 , . . . t n − r (3) t_1,t_2,...t_{n-r} \tag{3} t1,t2,...tnr(3)
    为自由变量(标量)。如下图所示,矩阵的第1,2列有leading one,所以对应解向量的第1, 2个分量不是自由变量,而矩阵的第3,4列不含leading one,所以对应的解向量的第3, 4个分量是自由变量。并且把解向量中的3,4个自由变量分别赋值给 t 1 ,    t 2 t_1, \;t_2 t1,t2
    矩阵的秩+基础解系的秩为什么等于n?_第1张图片

    把自由变量移项到等号右边,令第 t i t_i ti 对应的分量取1,其余分量取0( i = 1 , 2 , 3 , . . . , n − r i=1,2,3,...,n-r i=1,2,3,...,nr ),得到
    x ⃗ 1 , x ⃗ 2 , . . . x ⃗ n − r (4) \vec{x}_1,\vec{x}_2,...\vec{x}_{n-r} \tag{4} x 1,x 2,...x nr(4)
    其实,如下图所示, x ⃗ 1 , x ⃗ 2 \vec{x}_1,\vec{x}_2 x 1,x 2 对应用红色序号标出来的1对应的 x 3 x_3 x3后面的列向量和 x 4 x_4 x4后面的列向量
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    注意到:
    { x ⃗ 1 , x ⃗ 2 , . . . x ⃗ n − r } (5) \{\vec{x}_1,\vec{x}_2,...\vec{x}_{n-r}\} \tag{5} {x 1,x 2,...x nr}(5)
    是一组线性无关组(这里其实需要证明事实上,因为每个向量 x ⃗ i \vec{x}_i x i 的构造方法导致了 x ⃗ i \vec{x}_i x i t i t_i ti对应的分量 取1,而其他 t j    , j ≠ i t_j\;,j \neq i tj,j=i取0,注意这里 t i t_i ti是前文选取的自由变量。那么如果每个向量 x ⃗ i \vec{x}_i x i 都取其中的 t i {t_i} ti对应的分量构成新的向量,这些新向量构成的显然是一个线性无关组。然后用反证法证明原来向量组是线性无关即可)。

    进而,方程(2)的任何一个解都能表示成(3)的一个线性组合(这里其实是把自由变量移项到等号右边而已
    x ⃗ = t 1 x ⃗ 1 + t 2 x ⃗ 2 + . . . + t n − r x ⃗ n − r (6) \vec{x} = t_1\vec{x}_1+t_2\vec{x}_2+...+t_{n-r}\vec{x}_{n-r} \tag{6} x =t1x 1+t2x 2+...+tnrx nr(6)
    这表明(5)张成了 n u l l s p a c e ( A ) nullspace(A) nullspace(A)。即(4)是 n u l l s p a c e ( A ) nullspace(A) nullspace(A)的一个基,故 n u l l i t y ( A )    =    n − r nullity(A)\; = \; n-r nullity(A)=nr

    等式6可能看上去会比较奇怪,拿解向量的分量(标量) t i t_i ti作向量的 x i x_i xi的系数。其实不奇怪,只需要认真看一下本文图2即可理解。实际上, x ⃗ i \vec{x}_i x i 和对应的自由向量所在列在行阶梯矩阵中的列向量有极大关联,大家自己观察就能发现。命题得证。

Proof:

If rank( A A A) = n, , the only solution to the above equation ( 2 ) (2) (2) is 0 \mathbb 0 0. Thus n u l l s p a c e ( A ) nullspace(A) nullspace(A) is { 0 } \{\mathbb{0}\} {0} . According to the definition of Linear Dependence, the relation of dimenson of space and number of vector in a maximal linearly independent group. Instanly obtains n u l l i t y ( A ) = 0 nullity(A)=0 nullity(A)=0. Hence, e q u a t i o n ( 1 ) equation (1) equation(1) holds.

Now suppose r a n k ( A )    =    r    < n rank(A) \;= \;r \;< n rank(A)=r<n, do Gauss Elimination to matrix A A A, obtain a Row-Echelon matrix. In this case, there are n    −    r    >    0 n\;-\;r\;>\;0 nr>0 free variables in the solution to equation (2). Let
t 1 , t 2 , . . . t n − r t_1,t_2,...t_{n-r} t1,t2,...tnr
denote these free variables(chosen as those variables not attached to a leading one in any row-echelon form of A A A), and let
x ⃗ 1 , x ⃗ 2 , . . . x ⃗ n − r (7) \vec{x}_1,\vec{x}_2,...\vec{x}_{n-r} \tag{7} x 1,x 2,...x nr(7)
denote the solutions obtained by sequentially setting each free variable to 1 and the remaining free variables to zero. Note that
{ x ⃗ 1 , x ⃗ 2 , . . . x ⃗ n − r } (8) \{\vec{x}_1,\vec{x}_2,...\vec{x}_{n-r}\} \tag{8} {x 1,x 2,...x nr}(8)
is linearly independent, since there is only one sequential element in each vector does not equas zeros. Moreover, every solution to equation (2) is a linear combination of (8) :
x ⃗ = t 1 x ⃗ 1 + t 2 x ⃗ 2 + . . . + t n − r x ⃗ n − r (9) \vec{x} = t_1\vec{x}_1+t_2\vec{x}_2+...+t_{n-r}\vec{x}_{n-r} \tag{9} x =t1x 1+t2x 2+...+tnrx nr(9)
which shows that (4) spans n u l l s p a c e ( A ) nullspace(A) nullspace(A). Thus, (4) is a basis for n u l l s p a c e ( A ) nullspace(A) nullspace(A), and n u l l i t y ( A )    =    n − r . nullity(A)\; = \; n-r. nullity(A)=nr. So the Rank-Nullity Theorem has been proved.

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