python实现阵列信号处理（二）：基于波束形成空间谱

一、概述

  常规空间谱估计就是扫描整个方位的方向矢量, 由其输出的幅度与方位关系可得到空间幅度谱, 多快拍输出的平均功率就是空间功率谱。常规波束形成方法分辨 率较低, 但同时也具有运算量低、稳健性高、不需要目标信号先验知识等优点, 因而仍然得到广泛运用。

二、空间谱估计原理

2.1 基于波束形成的空间谱估计原理

  阵列加权后相加输出为
$$\mathbf{y}(t)=⟨\mathbf{w},\mathbf{x}(t)⟩\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

  为了接收某一方向 ${\theta }_0$ 的信号 $s_0(t)$, 抑制其他方向信 号, 也就是形成指向 ${\theta }_0$ 主波束, 需找一个权值矢量 $\mathbf{w}$, 使波束指向 ${\theta }_0$, 从而加权后相加为此方向期望信号 $s_0(t)$, 以抑制其他信号。

  当满足条件的权值 $w$ 找到后, 可以得到波束指向 ${\theta }_0$ 时输出功率, 即：

$$\begin{array}{rl}P(\mathbf{w})=& E\left[|\mathbf{y}(t){|}^2\right]=E\left[\mathbf{y}(t){\mathbf{y}}^{\mathrm{H}}(t)\right]=\\ & E\left[{\mathbf{w}}^{\mathrm{H}}\mathbf{x}(t){\left({\mathbf{w}}^{\mathrm{H}}\mathbf{x}(t)\right)}^{\mathrm{H}}\right]={\mathbf{w}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{R}}_x\mathbf{w}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

  因为 $\mathbf{w}$ 是指向 ${\theta }_0$ 的权值, 因此一定与方向 ${\theta }_0$ 相关, 上式变为：

$$P\left({\theta }_0\right)={\mathbf{w}}^{\mathrm{H}}\left({\theta }_0\right){\mathbf{R}}_x\mathbf{w}\left({\theta }_0\right)\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

2.2 常规波束形成的空间谱估计

  常规波束形成器中取 $\mathbf{w}=\mathbf{a}\left({\theta }_0\right)$, 那么可以得到常规波束形成时的空间功率谱为：

$$P(\theta )={\mathbf{a}}^{\mathrm{H}}(\theta ){\mathbf{R}}_x\mathbf{a}(\theta )\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

2.3 最小方差波束形成方法

  最小方差法是 Capon 于 1969 年提出的, 也称为基于 Capon 的滤波方法。首先，阵列信号接收模型可表示为：

$$\mathbf{x}(t)=s_0(t)\mathbf{a}\left({\theta }_0\right)+\mathbf{n}(t)\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

  在波束形成中, 寻找加权矢量 $\mathbf{w}$, 从阵列快拍 $\mathbf{x}(t)$ 中恢复出信号 $s_0(t)$ 为：

$${\mathbf{s}}_0(t)=⟨\mathbf{w},\mathbf{x}(t)⟩=⟨\mathbf{w},s_0(t)\mathbf{a}\left({\theta }_0\right)+\mathbf{n}(t)⟩=s_0(t){\mathbf{w}}^{\mathrm{H}}\mathbf{a}\left({\theta }_0\right)+{\mathbf{w}}^{\mathrm{H}}\mathbf{n}(t)\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

  从上面的式子可以看出, 当 ${\mathbf{w}}^{\mathrm{H}}\mathbf{a}\left({\theta }_0\right)=1$ 时, 可以恢复出信号 $s_0(t)$ 。

  计算以下方差：

$$\begin{array}{rl}E\left[{\left|s_0(t)-E\left[s_0(t)\right]\right|}^2\right]=& E\left[{\left|s_0(t)\right|}^2\right]-{\left|E\left[s_0(t)\right]\right|}^2=\\ & E\left[{\left|s_0(t)\right|}^2\right]-{\left|s_0(t)\right|}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

  在估计理论中可知, 估计方差最小的估计为最优估计, 即：

$$\underset{w}{\min }E\left[{\left|s_0(t)-E\left[s_0(t)\right]\right|}^2\right]\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

  上式等效为：

$$\underset{w}{\min }E\left[{\left|{\mathbf{s}}_0(t)\right|}^2\right]=\underset{w}{\min }E\left[{\mathbf{w}}^{\mathrm{H}}\mathbf{x}(t){\mathbf{x}}^{\mathrm{H}}(t)\mathbf{w}\right]=\underset{\mathbf{w}}{\min }{\mathbf{w}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{R}}_x\mathbf{w}\text{\hspace{1em}(2.9)}$$

  经过最小二乘法变换，最终可以得到如下结果：

$${\mathbf{w}}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}=\frac{{\mathbf{R}}_x^{-1}\mathbf{a}\left({\theta }_0\right)}{{\mathbf{a}}^{\mathrm{H}}\left({\theta }_0\right){\mathbf{R}}_x^{-1}\mathbf{a}\left({\theta }_0\right)}\text{\hspace{1em}(2.10)}$$

  阵列的输出功率为：

$$P(\theta )=\frac{1}{{\mathbf{a}}^{\mathrm{H}}(\theta ){\mathbf{R}}_x^{-1}\mathbf{a}(\theta )}\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

  由于不知道来波方向, 可对整个方向上扫描得到谱线, 谱线峰值对应方向即为来波方向。

三、python语言实现波束形成

# 导入模块
import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成快拍数据
def gen_signal(fre, t_0, theta, speed, numbers, space):
    res = []
    for i in range(numbers):
        res.append(np.exp(2j*np.pi*fre*t_0 + 2j*np.pi*fre*i*space*np.sin(theta)/speed))
    return np.array(res)

# 生成方向矢量
def steer_vector(fre, theta, speed, numbers, sapce):
    alphas = []
    for i in range(numbers):
        alphas.append(np.exp(2j*np.pi*fre*i*space*np.sin(theta)/speed))   
    return np.array(alphas).reshape(-1, 1)
 
# 计算空间谱
def cal_spectrum(fre, speed, numbers, space, signal):
    mags = []
    thetas = np.linspace(-np.pi/2, np.pi/2, 1800)
    for _theta in thetas:
        _alphas = steer_vector(fre, _theta, speed, numbers, space)
        projection = np.matmul(np.conjugate(_alphas).T, signal.reshape(-1, 1))
        mags.append(projection[0][0])
    mags = np.array(mags)
    return thetas/np.pi*180, mags

# 计算空间谱功率
def cal_P(fre, speed, numbers, space, signals):
    R_x = np.matmul(signals, np.conjugate(signals.T)) / signals.shape[1]
    P = []
    thetas = np.linspace(-np.pi/2, np.pi/2, 1800)
    for _theta in thetas:
        _alphas = steer_vector(fre, _theta, speed, numbers, space).reshape(-1, 1)
        P_x = np.matmul(np.matmul(np.conjugate(_alphas.T), R_x), _alphas)
        P.append(P_x[0][0])
    P = np.array(P)
    return thetas/np.pi*180, P

# 最小二乘法计算空间谱
def cal_capon(fre, speed, numbers, space, signals):
    R_x = np.matmul(signals, np.conjugate(signals.T)) / signals.shape[1]
    inv = np.linalg.pinv(R_x)
    P = []
    thetas = np.linspace(-np.pi/2, np.pi/2, 1800)
    for _theta in thetas:
        _alphas = steer_vector(fre, _theta, speed, numbers, space).reshape(-1, 1)
        P_x = 1 / np.matmul(np.matmul(np.conjugate(_alphas.T), inv), _alphas)
        P.append(P_x)
    P = np.array(P).flatten()
    return thetas/np.pi*180, P

# 初始化数据
fs = 20000
# 定义源信号
fre = 100
t = np.arange(0, 0.01, 1/fs)
theta1 = -np.pi / 6
theta2 = np.pi / 3
# 传播速度
speed = 340
# 阵元数量
numbers = 32
# 阵元之间距离
space = 1
# 生成模拟快拍数据
signals = []
for t_0 in t:
    signal1 = gen_signal(fre, t_0, theta1, speed, numbers, space)
    signal2 = gen_signal(fre, t_0, theta2, speed, numbers, space)
    signal = signal1 + signal2
    signals.append(signal.tolist())
signals = np.array(signals).T

# 计算空间谱功率
thetas, P = cal_P(fre, speed, numbers, space, signals)
plt.figure(figsize=(10, 2))
plt.plot(thetas, abs(P))
plt.xlim(-90, 90)
plt.xlabel('degree')
plt.ylabel('mag')
plt.show()

# 最小方差波速形成
thetas, P = cal_capon(fre, speed, numbers, space, signals)
plt.figure(figsize=(10, 2))
plt.plot(thetas, abs(P))
plt.xlim(-90, 90)
plt.xlabel('degree')
plt.ylabel('mag')
plt.show()

图3.1 最小方差波速形成结果

四、Tips

  文中如有错误或不清晰的地方，敬请谅解，可留言指出，笔者将及时答复、更改，希望共同进步，谢谢支持。