Echoooooh
Echoooooh

蒙特卡洛算法

近似估算 π \pi π值

蒙特卡洛算法_第1张图片
如何判断点是否在圆里面？: x 2 + y 2 ≤ 1 x^2+y^2\leq1 x2+y2≤1
当抽的次数非常多的时候(n非常大)，在圆里面的点的数量m， m ≈ π n 4 m\approx \frac{\pi n}{4} m≈4πn​(实际观测值 ≈ \approx ≈期望)
得到 π ≈ 4 m n \pi \approx \frac{4m}{n} π≈n4m​
蒙特卡洛算法_第2张图片

布封投针

蒙特卡洛算法_第3张图片
蒙特卡洛算法_第4张图片

估计阴影部分面积

蒙特卡洛算法_第5张图片
蒙特卡洛算法_第6张图片
蒙特卡洛算法_第7张图片
蒙特卡洛算法_第8张图片

近似求积分

一元函数求积分

2.中的式子也可以近似理解为，当样本足够多时可以近似认为时均匀分布，把积分理解为求函数曲线下的面积，整个图形的面积被切割为若干小细条的加和，小细条的底为平均每个细条的宽度，高为函数值。
蒙特卡洛算法_第9张图片

多元函数求积分

蒙特卡洛算法_第10张图片
蒙特卡洛算法_第11张图片

求期望（在统计和机器学习中非常有用）

蒙特卡洛算法_第12张图片
蒙特卡洛算法_第13张图片
抽样不再是均匀抽样，而是根据概率密度函数 p ( x ) p(x) p(x)来抽样

补充知识：

蒙特卡洛的名字来源于摩纳哥的蒙特卡洛赌场

其他随机算法：

  • 拉斯维加斯算法：结果总是正确 e.g. 随机快排
  • 大西洋城算法：多项式时间复杂度，正确率大于75%

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