用径向函数和球谐函数计算氢原子能级并验证维里定理

用分离变量法把波函数

分离成径向部分和角度部分

径向函数Rnl为

球谐函数Ylm为

由此计算氢原子n=1，2，3时的能级

其中z是核电荷数代入1.a0是波尔半径，用原子单位表示代入1，

拉普拉斯算符为

代入Ψ可得到

 

动能和势能比为-1/2符合维里定理。

 

Ψ3，2，0的python代码为
 

import sympy
import math
from sympy import symbols, cancel

a = sympy.Symbol('a')
e = sympy.Symbol('e')
m = sympy.Symbol('m')
h = sympy.Symbol('h')
l = sympy.Symbol('l')
r = sympy.Symbol('r')
EE = sympy.Symbol('EE')

x = sympy.Symbol('x')
y = sympy.Symbol('y')
z = sympy.Symbol('z')

θ= sympy.Symbol('θ')
Ψ= sympy.Symbol('Ψ')
Φ= sympy.Symbol('Φ')
pi=sympy.Symbol('pi')
E=sympy.Symbol('E')
I=sympy.Symbol('I')
sin=sympy.Symbol('sin')
cos=sympy.Symbol('cos')
diff=sympy.Symbol('diff')
integrate=sympy.Symbol(' integrate')

pi=sympy.pi
E=sympy.E
sin=sympy.sin
cos=sympy.cos
diff=sympy.diff
integrate=sympy.integrate


fx=(2)**(1.5)* 1/(81*15**0.5) *r**2*sympy.exp(-r/3)*  ( 5/(16*pi))**0.5*(3*cos(θ)*cos(θ) -1)

f1=( 1/(r*r) ) *diff ( ( r*r*diff(fx,r))  ,r)

f2=( 1/(r*r*sin(θ)) )  *  diff(  ( sin(θ)*diff(fx,θ) ) ,θ)

f3=( 1/(r*r*sin(θ)*sin(θ) ) )* diff(fx,Φ,Φ)

f8=(-1/2)*(f1+f2+f3)*fx

#print   (   f1 )
#print   (   f2 )
#print   (   f3 )

print    ( f8 )

#球坐标积分
f9=(  integrate( ( integrate(   integrate( f8*r*r*sin(θ) , (r ,0 , float('inf') )  )    , (θ, 0 , pi )  )   )  , (Φ,0,2*pi)  )   )

print  (  f9  )

f10=fx*(-1/r)*fx

f11=(  integrate( ( integrate(   integrate( f10*r*r*sin(θ) , (r ,0 , float('inf') )  )    , (θ, 0 , pi )  )   )  , (Φ,0,2*pi)  )   )

print  (  f11  )

print  (  f9+f11  )