吴恩达机器学习笔记

机器学习

week1

Introduction

1.Supervised Learning 监督学习
给定一个数据集，并且知道其一些正确输出，能够明确知道是不是正确或者错误

• 回归问题： 预测一个连续的值的输出
• 分类问题： 根据输入给出一个离散的结果输出

2.Unsupervised Learning 无监督学习
只给出一个数据集，并没有给出其关系，需要我们自行寻找其结构

Model and Cost Function

1. Model represention
   m = number of examples
   x = input
   y = output
   h = hypotheis h(x) = y 是一个预测，猜测的结构

2. Cost Function

   代价函数（平方误差函数）：$J(\theta )=\frac{1}{2m}\cdot {\sum }_{i=1}^m(h(x^{(i)})-y^{(i)})$

   目标：选择合适的h并且调整参数$\theta$使得$J(\theta )$最小

Parameter Learning

1. Gradient Descent
   目标：将代价函数J最小化
   通过初始化不同的起点，每次都贪心找到的一个局部最低点
   当对于$J({\theta }_0,{\theta }_1)$The gradient descent algorithm is:
   repeat until convergence:
   $${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J({\theta }_0,{\theta }_1)$$
   需要注意的
   • 是${\theta }_0,{\theta }_1$的赋值是同时进行的,即
     $$\begin{array}{l}\mathrm{temp}0:={\theta }_0-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_0}J\left({\theta }_0,{\theta }_1\right)\\ \mathrm{temp}1:={\theta }_1-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_1}J\left({\theta }_0,{\theta }_1\right)\\ {\theta }_0:=\text{ temp }0\\ {\theta }_1:=\text{ temp1 }\end{array}$$
   • $\alpha$为学习速率，$\alpha$越大，下降的速率越快，但是其值过大，可能会导致变换幅度过大，始终无法到达最低点，甚至导致最后结果为发散的。$\alpha$过小则会导致，迭代速度过慢，花费时间过长。
   • 当接近局部最低点时，偏导数会变小，自动降低迭代的速度，以靠近局部最低点，直到最后停留在偏导数值为0的局部最低点。

week2

Multivariate Linear Regression

1.Multiple features
含有多特征量的线性回归，通过矩阵乘法进行表示，通过向量的内积构造代价函数。n个特征量往往通过n+1维向量进行优化，第零维度表示初始值。回归方程如下所示
$$h_{\theta }(x)=\left[\begin{array}{llll}{\theta }_0& {\theta }_1& \dots & {\theta }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]={\theta }^{T}x$$
2.Gridient descent for Multiple Variables

代价函数的定义仍为：
$J(\theta )=\frac{1}{2m}\cdot {\sum }_{i=1}^m(h(x^{(i)})-y^{(i)})$

同样梯度递减算法，也没有发生变化，区别仅在于需要在更多维度上执行该算法。
为了更快找到最优点，可以通过调整特征值的统计特性，

• feature scaling 特征缩放
  将特征值约束在-1到1之间，减少一些多余的充分过程,实际值，除以极差$s_i$
• mean normalizzation 均值统一化
  将不同不同均值的特征进行调整，利用$x-\mu$
  效果$x_i:=\frac{x_i-{\mu }_i}{s_i}$

$J(\theta )$应该随着迭代更新次数增加，逐渐下降。但是$\alpha$的大小会影响其效果，过小更新过慢，过大则可能导致，不稳定的结果。
3.Features and Polynomial Regression
通过多项式的预测函数，可以拟合更为复杂的特征，构造的二次函数或者三次函数，也可以看作不同的变量，用线性回归方法，构造函数。

一个预测函数示例 $$h(\theta )={\theta }_0+{\theta }_{1}x+{\theta }_2{x}^2$$

另外 特征缩放的方法在多项式回归中，要注意不同幂次函数的极差不同。

Computing Parameters Analytically

1.Normal equation
目标：给出一种利用解析式一次性求出最优解的方法
主要时间耗费在计算矩阵上，如果特征过多，会导致计算较慢

定义:$$\theta =(X^{T}X{)}^{-1}Xy$$
其中x为特征矩阵m*(N+1)维，在原矩阵的基础上增加一个列全为

2.noninvertibilty
如果$X^{T}X$不可逆，有两种可能，
- 存在两个不同的特征高度相关
- 特征值过多

week3

classification and representation

1.Classification
有若干个类和阈值，相互离散，根据阈值判断归属
2.Hypothesis Representation

• 假设函数 根据输入计算最后的预测值
• 逻辑函数 根据输入值进行逻辑计算
  $$\begin{array}{l}{h}_{\theta }(x)=g\left({\theta }^{T}x\right)\\ z={\theta }^{T}x\\ g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}\end{array}$$
  对于二元分类问题，满足如下性质
  $$\begin{array}{l}{h}_{\theta }(x)=P(y=1\mid x;\theta )=1-P(y=0\mid x;\theta )\\ P(y=0\mid x;\theta )+P(y=1\mid x;\theta )=1\end{array}$$
  3.Decision Boundary
  逻辑函数的输出值，与边界进行比较，确定最后的输出值
  决策边界不一定为线性，同样可能为线性或者非线性等等。
  $$\begin{array}{l}{h}_{\theta }(x)\ge 0.5\to y=1\\ h_{\theta }(x)<0.5\to y=0\end{array}$$
  即
  $$\begin{gathered} g(z)\ge 0.5 \\ whenz\ge 0 \end{gathered}$$
  当$z={\theta }^{T}X$时,
  $$\begin{array}{l}{h}_{\theta }(x)=g\left({\theta }^{T}x\right)\ge 0.5\\ \text{ when }{\theta }^{T}x\ge 0\end{array}$$
  所以有
  $$\begin{array}{l}{\theta }^{T}x\ge 0.5\to y=1\\ {\theta }^{T}x<0.5\to y=0\end{array}$$

Logistic Regression Model

1.Cost Function

逻辑回归代价函数定义
$$\begin{array}{ll}J(\theta )=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m\mathrm{Cost}\left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right),y^{(i)}\right)& \\ \mathrm{Cost}\left(h_{\theta }(x),y\right)=-\log \left(h_{\theta }(x)\right)& \text{ if }\mathrm{y}=1\\ \mathrm{Cost}\left(h_{\theta }(x),y\right)=-\log \left(1-h_{\theta }(x)\right)& \text{ if }\mathrm{y}=0\end{array}$$

根据定义易得
$$\begin{array}{rl}\mathrm{Cost}\left(h_{\theta }(x),y\right)& =0\text{ if }{h}_{\theta }(x)=y\\ \mathrm{Cost}\left(h_{\theta }(x),y\right)& \to \infty \text{ if }y=0\text{ and }{h}_{\theta }(x)\to 1\\ \mathrm{Cost}\left(h_{\theta }(x),y\right)& \to \infty \text{ if }y=1\text{ and }{h}_{\theta }(x)\to 0\end{array}$$

2. Simplified Cost Function and Gradient Descent
   两个cost函数，定义梯度递降函数，比较困难，因此需要将代价函数进行简化，得到结果如下

简化后端的代价函数
$\mathrm{Cost}\left(h_{\theta }(x),y\right)=-y\log \left(h_{\theta }(x)\right)-(1-y)\log \left(1-h_{\theta }(x)\right)$
所以代价函数为
$J(\theta )=-\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m\left[y^{(i)}\log \left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)+\left(1-y^{(i)}\right)\log \left(1-h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)\right]$

统一代价函数后，就可以设置合数的梯度递降算法
$$\begin{array}{l}\text{ Repeat }\{\\ {\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J(\theta )\\ \}\end{array}$$
向量化之后得到
$$\theta :=\theta -\frac{\alpha }{m}{X}^T(g(X\theta )-y)$$
3. Advanced Optimization

function [jVal, gradient] = costFunction(theta)
  jVal = [...code to compute J(theta)...];
  gradient = [...code to compute derivative of J(theta)...];
end

通过调用库函数，应用更为高级的优化算法。

Multiclass Classification

构造分类器，每次从所有数据中分离一类，最后就可以完成整体的分类过程。
$$\begin{array}{l}y\in \{0,1\dots n\}\\ h_{\theta }^{(0)}(x)=P(y=0\mid x;\theta )\\ h_{\theta }^{(1)}(x)=P(y=1\mid x;\theta )\\ \dots \\ h_{\theta }^{(n)}(x)=P(y=n\mid x;\theta )\\ \text{ prediction }={\max }_i\left(h_{\theta }^{(i)}(x)\right)\end{array}$$

The Problem of Overfitting

原因：完美拟合所有数据点，但是却得到了一条过于曲折的曲线，不能很好的进行预测。
与欠拟合相对应，后者为因为拟合的数据点过少而导致曲线无法进行预测。
解决方法：

• 去掉多余的数据点
• 正则化

1. regularization
   方法： 通过给不需要的特征值对于的参数，加上较大的代价值，在优化时，就会将该特征值忽略。
   实际使用中：往往对所有的参数进行正则化，因为参数值越小，其得到曲线越平滑也越接近一条直线。好处是，不用手动选择需要进行惩罚的特征量。
   引入的代价值即为正则化参数$\lambda$
   正则化之后的代价函数为
   $J(\theta )={\min }_{\theta }\frac{1}{2m}{\sum }_{i=1}^m{\left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)}^2+\lambda {\sum }_{j=1}^n{\theta }_j^2$

• 正则参数过大会导致欠拟合，过小则无法达到取消过度拟合的作用。

2. Regularized Linear Regression
   梯度递降算法的修正如下：
   $$\begin{array}{l}\text{ Repeat }\{\\ \begin{array}{l}{\theta }_0:={\theta }_0-\alpha \frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m\left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)x_0^{(i)}\\ {\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \left[\left(\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m\left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)x_j^{(i)}\right)+\frac{\lambda }{m}{\theta }_j\right]j\in \{1,2\dots n\}\end{array}\\ \}\end{array}$$
   可以转化为$${\theta }_j:={\theta }_j\left(1-\alpha \frac{\lambda }{m}\right)-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)x_j^{(i)}$$
   其中$1-\alpha \frac{\lambda }{m}$总是小于1，就可以在每次梯度递降时减小$\theta$的值
   正规方程将$\lambda$引入的方法如下：
   $$\begin{array}{l}\theta ={\left(X^{T}X+\lambda \cdot L\right)}^{-1}{X}^{T}y\\ \text{ where }L=\left[\begin{array}{lllll}0& & & & \\ & 1& & & \\ & & 1& & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 1\end{array}\right]\end{array}$$
   正则化之后就可以解决原来的方程不可逆的问题。

3.Regularized Logistic Regression
正则化的代价函数如下。
$$J(\theta )=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left[y^{(i)}\log \left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)+\left(1-y^{(i)}\right)\log \left(1-h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)\right]+\frac{\lambda }{2m}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2$$

week4

motivation about Neural Network

1.non-liner hypotheses
常规的多项式方法建立的假设函数，随着特征值的增加，面临项数过多，以及过拟合的问题，
2.Neorons ans the Brain

Neural Network

类似大脑，利用不同的层将不同的特征值组合起来，形成一张网络，就是神经网络。
简化的表示为$[x_0{x}_1{x}_2]\to []\to h_{\theta }(x)$
包括输入层输出层和隐藏层
第一层也被称为输入层
最后一层为输出层
其余的为隐藏层

• 第$j$层的第$i$个单元的动作(activation)表示为$a_i^{(j)}$
• 权重矩阵中用来控制第$j$层到第$j+1$层的值为${\Theta }^{(j)}$
• 每一层都有自己的权重矩阵，用来计算动作。
• 如果第$j$层有$s_j$个动作而第$j+1$层有$s_{j+1}$个动作，那么${\Theta }^{(j)}$有$s_{j+1}\times (s_j+1)$维。

举个栗子
当一个神经网络只有一个隐藏层时，其可以表示为
$$[x_0{x}_1{x}_2]\to [a_1^{(2)}{a}_2^{(2)}{a}_3^{(2)}]\to h_{\theta }(x)$$
每一个动作的描述为
$$\begin{array}{r}{a}_1^{(2)}=g\left({\Theta }_{10}^{(1)}{x}_0+{\Theta }_{11}^{(1)}{x}_1+{\Theta }_{12}^{(1)}{x}_2+{\Theta }_{13}^{(1)}{x}_3\right)\\ a_2^{(2)}=g\left({\Theta }_{20}^{(1)}{x}_0+{\Theta }_{21}^{(1)}{x}_1+{\Theta }_{22}^{(1)}{x}_2+{\Theta }_{23}^{(1)}{x}_3\right)\\ a_3^{(2)}=g\left({\Theta }_{30}^{(1)}{x}_0+{\Theta }_{31}^{(1)}{x}_1+{\Theta }_{32}^{(1)}{x}_2+{\Theta }_{33}^{(1)}{x}_3\right)\\ h_{\Theta }(x)=a_1^{(3)}=g\left({\Theta }_{10}^{(2)}{a}_0^{(2)}+{\Theta }_{11}^{(2)}{a}_1^{(2)}+{\Theta }_{12}^{(2)}{a}_2^{(2)}+{\Theta }_{13}^{(2)}{a}_3^{(2)}\right)\end{array}$$

定义变量z使得
$$\begin{array}{l}{a}_1^{(2)}=g\left(z_1^{(2)}\right)\\ a_2^{(2)}=g\left(z_2^{(2)}\right)\\ a_3^{(2)}=g\left(z_3^{(2)}\right)\end{array}$$
所以有
$$z_k^{(2)}={\Theta }_{k,0}^{(1)}{x}_0+{\Theta }_{k,1}^{(1)}{x}_1+\cdots +{\Theta }_{k,n}^{(1)}{x}_n$$
向量化为
$$x=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ \cdots \\ x_n\end{array}\right]z^{(j)}=\left[\begin{array}{c}{z}_1^{(j)}\\ z_2^{(j)}\\ \cdots \\ z_n^{(j)}\end{array}\right]$$
进而有
$$z^{(j+1)}={\Theta }^{(j)}{a}^{(j)}$$
可以转化为
$$h_{\Theta }(x)=a^{(j+1)}=g\left(z^{(j+1)}\right)$$

Application

1.与运算、或运算
通过取值模拟与和或运算

假设函数如下
$$\begin{gathered} AND:h_{\Theta }=g(-30+20x_1+20x_2) \\ OR:h_{\Theta }=g(-10+20x_1+20x_2) \end{gathered}$$

2.异或函数
无法用一层神经网络模拟，所以引入了第二层神经网络。
利用真值表就可以算出简单计算得到如果设计神经网络
3.Multiclass Classification

Week5 Neural network Learning

Cost function and backpropgation

1. cost function
   神经网络的代价函数，每一层为一个逻辑回归代价函数，将一层逻辑回归的代价函数进行推广，即可得到神经网络的代价函数。
   $$\begin{gathered} J(\Theta )=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\sum _{k=1}^K\left[y_k^{(i)}\log \left({\left(h_{\Theta }\left(x^{(i)}\right)\right)}_k\right)+\left(1-y_k^{(i)}\right)\log \left(1-{\left(h_{\Theta }\left(x^{(i)}\right)\right)}_k\right)\right] \\ +\frac{\lambda }{2m}\sum _{l=1}^{L-1}\sum _{i=1}^{sl}\sum _{j=1}^{sl+1}{\left({\Theta }_{j,i}^{(l)}\right)}^2 \end{gathered}$$

• $l$为总层数
• $sl$为每层单元数
• $K$为输出单元数

2. Backpropagation Algorithm
   反向传播算法是神经网络最小化代价函数的算法，就像梯度递降算法一样，我们需要计算代价函数在某个位置的偏导数值，反向传播算法，利用结果和导数的定义进行计算，进而优化代价函数。

算法步骤:
1.给定数据集$\left\{\left(x^{(1)},y^{(1)}\right)\cdots \left(x^{(m)},y^{(m)}\right)\right\}$,
2.对于所有的$(i,j,l)$，设${\Delta }_{i,j}^{(l)}:=0$
3.对于每一个数据$(s^{(t)},y^{(t)}),1\le t\le m$，我们令$a^{(1)}=x^{(t)}$,使用前向反馈算法计算所有的$a^{(i)},2\le i\le l$
4.用$y^{(t)}$,计算${\delta }^{(L)}=a^{(L)}-y^{(t)}$，其中L为神经网络层数
5. 利用 ${\delta }^{(l)}=\left({\left({\Theta }^{(l)}\right)}^T{\delta }^{(l+1)}\right)\cdot \ast a^{(l)}\cdot \ast \left(1-a^{(l)}\right)$依次计算$\delta^{(L-1)}, \delta^{(L-2)}, \ldots, \delta^{(2)} $
定义：$g^{\prime }\left(z^{(l)}\right)=a^{(l)}\cdot \ast \left(1-a^{(l)}\right)$
6.计算$\Delta_{i, j}^{(l)}:=\Delta_{i, j}^{(l)}+a_{j}{(l)} \delta_{i}^{(l+1)} $
向量化并行表示为${\Delta }^{(l)}:={\Delta }^{(l)}+{\delta }^{(l+1)}{\left(a^{(l)}\right)}^T$
更新$\Delta$矩阵，$$\begin{array}{l}{D}_{i,j}^{(l)}:=\frac{1}{m}\left({\Delta }_{i,j}^{(l)}+\lambda {\Theta }_{i,j}^{(l)}\right),\text{ if }j\ne 0.\\ D_{i,j}^{(l)}:=\frac{1}{m}{\Delta }_{i,j}^{(l)}\text{ If }j=0\end{array}$$
7.得到了最后的偏导数值$\frac{\partial }{\partial {\Theta }_{ij}^{(l)}}J(\Theta )=D_{ij}^{(l)}$

每一个$\delta$可以通过下一层所有的的$\delta$反向计算得到，
例如：当第三层只有两个单元时，就可以得到${\delta }_2^{(2)}={\Theta }_{12}^{(2)}{\delta }_1^{(3)}+{\Theta }_{22}^{(2)}{\delta }_2^{(3)}$

backpropgation application

1.gradient checking
检查算法错误，所带来的结果的误差

方法：利用导数的定义，近似计算某个点的导数值，观察两者是否相等，判断计算是否正确。

epsilon = 1e-4;
for i = 1:n,
  thetaPlus = theta;
  thetaPlus(i) += epsilon;
  thetaMinus = theta;
  thetaMinus(i) -= epsilon;
  gradApprox(i) = (J(thetaPlus) - J(thetaMinus))/(2*epsilon)
end;

2. Random Initialization
   多重神经网络如果呈现对称特性，则退化为了逻辑回归，所以需要随机设置初始值，同时需要注意，避免参数的对称性。

3. conclusion
   进行依次神经网络学习，首先需要知道其结构，包括输入输出单元数量，隐藏层的数量和和隐藏单元数量
   然后执行如下步骤

   1. 随机初始化权重
   2. 计算前向传播
   3. 实现代价函数
   4. 计算反向传播，求偏导数
   5. 进行梯度检查
   6. 进行梯度递降算法

Week6

Evaluating a Learning Algorithm

1. Hypotheis
   目的：避免过拟合和欠拟合的问题
   方法：将数据分为训练数据集和测试数据集两类，我们对于训练集进行学习，并通过测试集计算偏差值，评估假设的优劣。
   $$\mathrm{err}\left(h_{\Theta }(x),y\right)=\begin{array}{cc}1& \text{ if }{h}_{\Theta }(x)\ge 0.5\text{ and }y=0\text{ or }{h}_{\Theta }(x)<0.5\text{ and }y=1\\ 0& \text{ otherwise }\end{array}$$
2. Model Selection and Train/Validation/Test Sets
   在模型选择时，基于训练集选择，会导致过拟合等问题，于是需要一个交叉验证的有效集，比较不同模型的效果。一般分为3：1：1.

Bias vs. Variance

1. Diagnosing Bias vs. Variance
   高偏差（bias）表示为欠拟合，高方差（variance）表示为过度拟合
2. regularization
   通标准化，纠正过拟合和欠拟合时的方法，为列出$\lambda$并且根据不同的多项式度数，进行学习。得到不同$\lambda$和$\Theta$对应代价函数的集合。
   从中选择训练代价和验证代价最小的一组，作为待选的解
3. Learning Curves
   通过学习曲线，可以观察到训练数据量的大小，对于改进拟合效果的影响。随着m的增大，训练代价和验证代价将趋近相同，但不一定稳定在相同条件下。
   • 高偏差的情况下，增大m，更多数据也很难训练好，不会提高拟合效果
   • 高方差的情况下，增大m，是训练集贴近真实，改善过拟合的效果 JCV高
4. Conclusion
   过拟合则减小样本集，欠拟合增大样本集
   度数低的多项式，多会出现欠拟合的状态，偏差较高
   度数高的多项式，多会出现过拟合的状态，方差较高

• 改进高方差：得到更多数据，减少方差度数，增大惩罚参数
• 改进高偏差： 增大特征值数量，增大幂次，减小惩罚参数

Build a spam classifer

设计一个复杂的机器学习算法需要

1. 收集大量数据
2. 选择合适的特征值
3. 使用算法加速学习以及输入过程
   误差分析

• 首先选择一个相对简单的算法
• 画出学习曲线，分析特征值
• 手动检验误差，并调整起始算法
  Skewed Data
  通过根据预测结果与实际结果，分析召回率准确率等信息。
  P=预测 A=实际 （P，A）表示一次预测

	A=1	A=0
P=1	True Possitive	Flase Possitive
P=0	Flase Negative	True Negative

召回率(Recall)=（P=1，A=1）/（P=1，A=1）+（P=0，A=1）
查准率(Prediction)=（P=1，A=1）/（P=1，A=1）+（P=1，A=0）
综合评价方法 Fscore=$2\frac{PR}{P+R}$

Week7 Support Vector Machine

Large Margin Classification

1. SVM(支持向量机) 可以学习更为复杂的非线性方程
   从逻辑回归逐步改进得到SVM的假设函数如下所示
   $$\underset{\theta }{\min }C\sum _{i=1}^m\left[y^{(i)}{\mathrm{cost}}_1\left({\theta }^T{x}^{(i)}\right)+\left(1-y^{(i)}\right){\mathrm{cost}}_0\left({\theta }^T{x}^{(i)}\right)\right]+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{\theta }_j^2$$
2. 大间隔分类器
   SVM常用来分离两组数据，通过SVM可以求解出间隔最大的分离线，实现最优的分离方法。
3. 数学推导
   1. Inner product
      $u=[u_1{u}_2{]}^{T}v=[v_1{v}_2{]}^T$
      $\left | \left | u \right | \right | = \text{length of u} = \sqrt{ u_1^2+u_22} $
      所以，
      $u^{T}v=u_1\ast v_2+u_2\ast v_1$
      如果$p$是$v$在$u$上的投影长度
      那么，
      $u^{T}v=p\ast ||u||$
   2. SVM Decision Boundary
      $$min\frac{1}{2}{\Sigma }_{j=1}^n{\theta }_j^2$$

Kernal function

当对非线性的类进行区分时，需要引入不同的区预测方程。
$$h_{\theta }={\theta }^{T}f(x)$$
则不同的$f(x)$成为核函数，利用不同的核函数可以区分不同的类。
其中高斯核函数为
$$f(x)=exp(-\frac{||x-l^{(i)}||}{2{\sigma }^2})$$
其中，$l^{(i)}$为已知的点

支持向量回归

利用支持向量机构造的回归函数
$$\underset{\theta }{\min }C\sum _{i=1}^m{y}^{(i)}{\mathrm{cost}}_1\left({\theta }^T{f}^{(i)}\right)+\left(1-y^{(i)}\right)\cos t_0({\theta }^T{f}^{(i)})+\frac{1}{2}\sum _{j=1}^{n=m}{\theta }_j^2$$
其中，$C=\frac{1}{\lambda }$，C越大方差越小，偏差越大，C越小方差越大，偏差越小
对于高斯核函数，${\sigma }^2$越大，曲线越平滑，方差越大，偏差越小，${\sigma }^2$越小，曲线越陡峭，方差越小，偏差越大

How to use

• 选择参数C
• 选择核函数
  • 选择核函数的参数，例如高斯核函数的${\sigma }^2$

逻辑回归 vs. SVM

1. n很大，则使用逻辑回归SVM线性核函数
2. n比较小， m的大小适中，则使用SVM的高斯核函数
3. n很小，但是m很大，则添加更多特征来，然后使用逻辑回归或者线下核函数的SVM
4. 神经网络适应大部分情况，但是通常速度较慢

Week8

Unsupervised Learning

Clustering

1. Clustering
   聚类是一种常见的无监督学习，
2. K-Means
   划分聚类的算法，数据中选择K个聚类中心，利用到聚类中心的距离，划分成K个距离的过程
   步骤：
   1. 选择K个距聚类中心，将每个数据点划分到距其最近的距离中心
   2. 将每一个聚类的所有点的平均值作为，新的聚类中心
   3. 重复上述过程
3. 优化目标
   目标：让所有距离的平方最小 称为失真代价函数
   K均值算法的代价函数，不会增大，每次循环都能缩小代价函数。
4. 随机初始化
   避开局部最优化现象，需要随机的初始化聚类中心。
   方法：每次随机化的从所有点中选择k个点，作为聚类中心
5. 聚类数量
   肘部法则：在失真函数减小速度变缓的点作为聚类数量（斜率突然减小的点）

dimensionality reduction

1. data-compression
   将拥有较多特征值的数据，压缩维度，减少特征量，降低使用的存储空间
2. data-visualization
3. 主成分分析算法PCA
   找到一个低维平面，使得所有数据点到该低维平面距离最短，点到平面的距离称为，投影误差。
   与线性回归的区别在于，PCA算法没有特别的y值需要去预测，所有的数据均为已知数据点。
   方法：
   1. 计算协方差矩阵
   2. 求解协方差矩阵的特征向量
4. Applying

• k 平方误差/数据总偏差$\le 0.01$
• $\frac{\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m{\Vert x^{(i)}-x_{approx}^{(i)}\Vert }^2}{\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m{\Vert x^{(i)}\Vert }^2}\le 0.01?$

Week 9

高斯分布和异常检查算法

数据集$\left { {x^{(1)},x{(2)},…x^{(m)}} \right } $ x的取值范围为$x\in {\mathbb{R}}^n$
对于每个x的出现的概率$p(x)={\prod }_{j=1}^{n}p(x_j;{\mu }_j,{\sigma }_j^2)$

异常检测算法步骤：

1. 选择与异常数据相关的特征值
2. 估计参数
   ${\mu }_j=\frac{1}{m}{\Sigma }_{u=1}^m{x}_j^{(i)}$
   ${\sigma }_j^2=\frac{1}{m}{\Sigma }_{i=1}^m(x_j^{(i)}-{\mu }_j{)}^2$
3. 给定一个新的x，计算$p(x)$
   $p(x)={\prod }_{j=1}^{n}p(x_j;u_j,{\sigma }_j^2)={\prod }_{j=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_j}exp(-\frac{(x_j-{\mu }_j{)}^2}{2{\sigma }_j^2})$
   如果$p(x)<\varepsilon $则为异常数据

设立一个异常检测系统

假设：无标签训练集均为正常数据，交叉验证集，测试集出现异常样本
注意：在异常检测系统中，一部分异常数据可能同时出现在交叉验证集和测试集中
如果直接使用异常检测算法，可能会存在正确率与召回率均高的情况，所以应该求出所有偏斜集合的比率。
同时，$\epsilon$的选择，也需要进行常识。

如何区分异常检测与监督学习

1. 异常检测：

   • 正反数据有一个数量极大，另一个数量较少
   • 数据较少，掌握的异常数据类型较少

2. 监督学习：

   • 有大量的正反数据，数量差别较小
   • 数据集较大，已经清楚掌握了异常类型

选择合适的特征值

1. 如果数据集，不能很好的适合高斯分布时，可以使用取对数等方法，将其调整为高斯分布。或者可以同调整不同的特征值的幂次，使其能够趋向于的高斯分布。
2. 误差分析 借助交叉验证集可以，测试异常检测算法的问题

推荐系统

对于人工智能算法，特征值的选择是重要的，很多人工智能算法可以自动化的计算好的特征值。

基于内容的推荐

• $r(i,j)$ 用户$j$是否进行评分
• $y^{(i,j)}$ 用户$j$对电影$i$ 的评分
• ${\theta }^{(j)}$ 用户的参数向量
• $x^{(i)}$ 电影的特征向量
• 预测用户的评分$({\theta }^{(j)}{)}^T(x^{(i)})$

对于${\theta }^{(j)}$的代价函数为
${\min }_{{\theta }^{(j)}}\frac{1}{2}{\sum }_{i:r(i,j)=1}{\left({\left({\theta }^{(j)}\right)}^T{x}^{(i)}-y^{(i,j)}\right)}^2+\frac{\lambda }{2}{\sum }_{k=1}^n{\left({\theta }_k^{(j)}\right)}^2$

对于所有用户的向量的代价函数为
$$\underset{\theta (1),\dots ,{\theta }^{\left(n_u\right)}}{\min }\frac{1}{2}\sum _{j=1}^{n_u}\sum _{i:r(i,j)=1}{\left({\left({\theta }^{(j)}\right)}^T{x}^{(i)}-y^{(i,j)}\right)}^2+\frac{\lambda }{2}\sum _{j=1}^{n_u}\sum _{k=1}^n{\left({\theta }_k^{(j)}\right)}^2$$
梯度递降算法公式为
KaTeX parse error: Got function '\sum' with no arguments as argument to '\stackrel' at position 72: …ackrel{\alpha} \̲s̲u̲m̲_{i: r(i, j)=1}…

协同过滤算法

通过不同用户的$\theta$ 预测电影的属性值。
通过${\theta }^{(1)},{\theta }^{(2)},...,{\theta }^{n_u}$ 学习$x^{(i)}$
$$\underset{x^{(i)}}{\min }\frac{1}{2}\sum _{j:r(i,j)=1}({\left({\theta }^{(j)}\right)}^T{x}^{(i)}-y^{(i,j)}{)}^2+\frac{\lambda }{2}\sum _{k=1}^n{\left(x_k^{(i)}\right)}^2$$
如果要一次学习所有x的值
$$\underset{x^{(1)},\dots ,x^{(n_m})}{\min }\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{n_m}\sum _{j:r(i,j)=1}{\left({\left({\theta }^{(j)}\right)}^T{x}^{(i)}-y^{(i,j)}\right)}^2+\frac{\lambda }{2}\sum _{i=1}^{n_m}\sum _{k=1}^n{\left(x_k^{(i)}\right)}^2$$

将基于x学习$\theta$的代价函数，和基于$\theta$学习$x$的代价函数结合，就可以得到能够自动选择特征值的代价函数，协同过滤
$$\begin{gathered} J(x^{(1)},\dots ,x^{\left(n_m\right)},{\theta }^{(1)},\dots ,{\theta }^{(n_u)}) \\ =\frac{1}{2}\sum _{(i,j):r(i,j)=1}({\left({\theta }^{(j)}{)}^T{x}^{(i)}-y^{(i,j)}\right)}^2+\frac{\lambda }{2}\sum _{i=1}^{n_m}\sum _{k=1}^n{\left(x_k^{(i)}\right)}^2+\frac{\lambda }{2}\sum _{j=1}^{n_u}\sum _{k=1}^n{\left({\theta }_k^{(j)}\right)}^2 \end{gathered}$$

算法执行的流程如下

1. 给$x,\theta$随机初始值
2. 利用梯度递降算法进行优化
   $$\begin{array}{l}{x}_k^{(i)}:=x_k^{(i)}-\alpha \left({\sum }_{j:r(i,j)=1}\left({\left({\theta }^{(j)}\right)}^T{x}^{(i)}-y^{(i,j)}\right){\theta }_k^{(j)}+\lambda x_k^{(i)}\right)\\ {\theta }_k^{(j)}:={\theta }_k^{(j)}-\alpha \left({\sum }_{i:r(i,j)=1}\left({\left({\theta }^{(j)}\right)}^T{x}^{(i)}-y^{(i,j)}\right)x_k^{(i)}+\lambda {\theta }_k^{(j)}\right)\end{array}$$
3. 根据预测的$x,\theta$给出用户对电影评分的预测值

Week 10 Learning with Big Datasets

大数据往往能够减小学习算法的偏差值，提高算法的准取程度。

梯度递降算法

• 批量梯度递降算法需要一次性计算所有样本的代价函数，然后再进行迭代，计算速度过慢。
• 随机算法，将所有数据随机打乱，每次去一个数据计算代价函数，并进行梯度递降算法，最后逼近到最优值
• 小批量梯度递降，将所有的样本进行分组，每次计算一组的代价函数，并进行梯度递降算法，能够通过并行进行优化

小批量梯度递降实际上是随机递降与批量梯度递降的折衷算法

参数选择
梯度递降算法需要选择合适的学习速率$\alpha$，但是数据集过大和随机算法，不能确定$\alpha$的具体值。
因此需要通过绘制学习曲线，调节$\alpha$和分组数量的取值，得到最优的学习结果。

线上学习

通过不断的增加学习样本数量，持续的对机器学习算法进行优化

映射约减

将整个数据集分为多个小数据集，然后分别计算各小数据集的梯度，然后集中汇总

Week 10

1. 机器流水线
   将大型工作分工合作，不同机器负责不同的部分，提高运行效率
2. 滑动窗口算法
3. 人工数据合成
   通过人工日案件噪声的方法，可以较为方便的得到大量的人造数据，在很多机器学习项目中，得到10倍于原始数据的人工合成数据是容易的，而且更大的数据集往往对于算法改进发挥很大作用，因此人工合成数据是有必要的。