贪心——哈夫曼树、不等式和推公式

Huffman树

给定N个权值作为N个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

合并果子

在一个果园里，达达已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。

达达决定把所有的果子合成一堆。

每一次合并，达达可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。

可以看出，所有的果子经过 n−1 次合并之后，就只剩下一堆了。

达达在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以达达在合并果子时要尽可能地节省体力。

假定每个果子重量都为 1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使达达耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有 3 种果子，数目依次为 1，2，9。

可以先将 1、2 堆合并，新堆数目为 3，耗费体力为 3。

接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 12，耗费体力为 12。

所以达达总共耗费体力=3+12=15。

可以证明 15 为最小的体力耗费值。

输入格式
输入包括两行，第一行是一个整数 n，表示果子的种类数。

第二行包含 n 个整数，用空格分隔，第 i 个整数 ai 是第 i 种果子的数目。

输出格式
输出包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。

输入数据保证这个值小于 231。

数据范围
1≤n≤10000,
1≤ai≤20000
输入样例：
3
1 2 9
输出样例：
15

1. 思路

   每次合并最小的两个结点并弹出，累加后插入到序列中，重复此过程，直到最终序列元素小于1

2. 代码

from heapq import *

n = int(input())

nums = list(map(int, input().split()))

heapify(nums)
res = 0
while len(nums) > 1 :
	a = heappop(nums)
	b = heappop(nums)
	res += a + b
	heappush(nums, a + b)

print(res)

排序不等式

例题

有 n 个人排队到 1 个水龙头处打水，第 i 个人装满水桶所需的时间是 ti，请问如何安排他们的打水顺序才能使所有人的等待时间之和最小？

输入格式
第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 个人装满水桶所花费的时间 ti。

输出格式
输出一个整数，表示最小的等待时间之和。

数据范围
1≤n≤105 ,
1≤ti≤104
输入样例：
7
3 6 1 4 2 5 7
输出样例：
56

1. 思路
   $res=p[0]\ast (n-1)+p[1]\ast (n-2)\ast ....\ast p[n-1]\ast 0，根据排序不等式可知，当p序列升序时最小$
2. 代码

n = int(input())

nums = list(map(int, input().split()))

nums.sort()

res = 0
for i in range(n) :
	res += nums[i] * (n - i - 1)

print(res)

绝对值不等式

仓库选址

在一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 A1∼AN。

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

输入格式
第一行输入整数 N。

第二行 N 个整数 A1∼AN。

输出格式
输出一个整数，表示距离之和的最小值。

数据范围
1≤N≤100000,
0≤Ai≤40000
输入样例：
4
6 2 9 1
输出样例：
12

1. 思路

   $dist=|x_1-x|+|x_2-x|+...+|x_n-x|=(|x_1-x|)+|x_n-x|+(|x_2-x|+|x_{n-1}-x|)+...<=|x_n-x_1|+|x_{n-1}-x_2|+...$ 当x为中位数时等号成立

n = int(input())
nums = list(map(int, input().split()))

nums.sort()
res = 0
for i in range(n) :
	res += abs(nums[i] - nums[n // 2])

print(res) 

推公式

耍杂技的牛

农民约翰的 N 头奶牛（编号为 1…N）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。

奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：

叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。

奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。

这 N 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 Wi 以及自己的强壮程度 Si。

一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为风险值，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。

您的任务是确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。

输入格式
第一行输入整数 N，表示奶牛数量。

接下来 N 行，每行输入两个整数，表示牛的重量和强壮程度，第 i 行表示第 i 头牛的重量 Wi 以及它的强壮程度 Si。

输出格式
输出一个整数，表示最大风险值的最小可能值。

数据范围
1≤N≤50000,
1≤Wi≤10,000,
1≤Si≤1,000,000,000
输入样例：
3
10 3
2 5
3 3
输出样例：
2

1. 思路
   
2. 代码

n = int(input())

cow = []

for i in range(n) :
	cow.append(list(map(int, input().split())))

cow.sort(key = lambda x : x[0] + x[1])

res = - int(2e9)
sum = 0
for i in cow :
	res = max(res, sum - i[1])
	sum += i[0]

print(res)

总结

贪心问题灵活多变，需要我们扩展数学思维，多见多练，算法基础部分基本结束~~~~