SDR算法的应用 2021-12-20

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接上面的工作 SDR，SDR处理的QCQP问题形式为：
$$\begin{gathered} \underset{x\in {\mathbb{R}}^n}{\min }{x}^{T}Cx \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.x^T{A}_{i}x{⊵}_i{b}_i,i=1,\cdots ,m, \end{gathered}$$

• 该问题定义在实数域 ${\mathbb{R}}^n$，复数域类似。
• ${⊵}_i$ 可以表示为 $\ge$, $\le$, $=$，只要约束条件是二次约束即可。
• $C$, $A_i$ 都是对称矩阵，$C,A_i(i=1,\cdots ,m)\in {\mathbb{S}}^n$。
• 当 $x^T{A}_{i}x\ge 0$ 与 $x^T{A}_{i}x=0$时可行域并不是一个凸集，QCQP并不是一个凸问题。

利用SDR方法， 引入一个新的变量 $X=x{x}^T$ 作为优化变量， 那么上述问题可以写为
$$\begin{gathered} \underset{X\in {\mathbb{S}}^n}{\min }\mathrm{T}\mathrm{r}(CX) \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{T}\mathrm{r}(A_{i}X){⊵}_i{b}_i,i=1,\cdots ,m, \\ X⪰0,\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(X)=1. \end{gathered}$$

通过松弛掉 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(X)=1$ 约束，直接使用CVX求解这一凸问题， 得到最优解 $X^{\ast }$ 。接下来主要围绕如何从一个并不满足秩为1的矩阵 $X^{\ast }$ 中恢复出原QCQP问题所需要的向量 $x$。

EVD 分解

一种最直观的想法就是， 要从$X^{\ast }$ 中恢复 $x$。通过求解下面问题来获得一个次优解：
$$\underset{x}{\min }\Vert X^{\ast }-x^{T}x{\Vert }_F^2$$
该问题的最优解， 则由 $x$ 等于 $X^{\ast }$ 的 “最大特征向量” 乘以 “最大特征值的根” 给出。
对$X^{\ast }$ 做 EVD 分解得到其最大特征向量， 则是一种直截了当的 SDR恢复方式。matlab 代码如下：

 [V,D] = eig(X);
 [value,num] = max(diag(D));
 x = sqrt(value)*V(:,num);

为什么最优解是最大特征向量？
可以延伸到一个更general的问题， 即低秩矩阵近似问题。涉及 瑞利熵问题

高斯随机化

EVD分解法恢复 $x$ 虽然简单， 但显然有着较高的误差，从而带来不可避免的损失。 那么类似于常见于梯度下降法中，使用多组随机初始点，再挑选性能最优的作为解 这样的 “枚举思想”， SDR也有类似的并不高明但行之有效的性能优化手段。

具体做法为：
首先生成 $L$ 组随机向量
$${\xi }_{\ell }\sim N(0,X^{\ast })$$
然后找出令目标函数最小的 ${\xi }_{\ell }$，即令 ${\xi }^{\ast }={\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}_{\ell }{\xi }_{\ell }^{T}C{\xi }_{\ell }$.

需要指出的是， 如果 ${\xi }_{\ell }$ 不满足原QCQP问题中的约束， 那么需要进行稍微的“魔改”，使得满足原限制条件。然后再利用修改后的 ${\xi }_{\ell }$ 进行上述操作。 针对不同的问题， 我们可能需要不同的“魔改”。

• 如假设原问题要求 $x_i^2=1$, 这常出现在二元检测中。 那么此时， 我们先要对生成的 ${\xi }_{\ell }$ 进行如下操作：
  $$[{\xi }_{\ell }{]}_i=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}([{\xi }_{\ell }{]}_i)$$
• 如果原问题的限制条件为 $x^T{A}_{i}x\ge 0,\forall i$ ，那么我们需要进行的操作就是：
  $$\xi =\frac{\xi }{\sqrt{{\min }_i{\xi }^T{A}_i\xi }}$$
• 如果原问题的限制条件是在HBF问题和IRS问题中大放异彩的恒模约束 $|x_i|=1,\forall i$，我们需要进行的操作就是：
  $$[{\xi }_{\ell }{]}_i=\frac{[{\xi }_{\ell }{]}_i}{|[{\xi }_{\ell }{]}_i|}$$

由上可见，作为一种启发式算法， 魔改的方式不唯一，也不固定，核心要义是要随机出来的向量能满足原问题的限制条件。

具体流程：

1. 求解SDP问题得到 $X^{\ast }$
2. 生成 $L$ 组随机向量 ${\xi }_{\ell }\sim N(0,X^{\ast })$
3. 将 ${\xi }_{\ell }$ 魔改为符合原QCQP问题约束的可行解
4. 找出最优的 ${\xi }^{\ast }={\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}_{\ell }{\xi }_{\ell }^{T}C{\xi }_{\ell }$
5. 最优解 $x={\xi }^{\ast }$

matlab代码方面， 关键点则在于如何生成 一个 服从 $N(0,X^{\ast })$ 的向量呢？

已知 v = randn(n) 可以得到一个 服从 $N(0,1)$ 的 n 维向量 v。
如果我们对 v 进行乘法操作 v = A v，其分布则变为 $N(0,A{A}^H)$。 也就是说， 我们只需要找到能使得 $A{A}^H=X^{\ast }$ 的 $A$，就可以使用 v = A v 获得满足分布的 v 向量。 而获得这样的 $A$, 则只需要对 $X^{\ast }$ 做 Cholesky 分解即可， 对一个半正定矩阵 $X$ 作该分解为：
$$X=A{A}^H$$

for i = 1 : L
	v = randn(n);
	A = chol(Xstar); # chol 是内置matlab函数， 得到的是 A^H
	V(:, i) = A' * v;
end

另，两个工程实例代码详见 HBF 和 RIS

参考链接

【1】https://blog.csdn.net/weixin_39274659/article/details/121619619
【2】https://blog.csdn.net/weixin_39274659/article/details/103818469
【3】Wu Q , Zhang R . Intelligent Reflecting Surface Enhanced Wireless Network via Joint Active and Passive Beamforming[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2019, PP(99):1-1.