第一章 极限、连续与求极限的方法

第一章 极限、连续与求极限的方法

·求极限的方法概述（约12种）：

1. 利用极限的四则运算与幂指数运算法则
2. 利用函数的连续性
3. 利用变量替换与两个重要极限
4. 利用等价无穷小因子替换
5. 利用洛必达法则
6. 分别求左右极限
7. 数列极限转化为函数极限
8. 利用适当放大缩小法
9. 对递归数列先证明极限存在（常用到单调有界数列有极限的准则，对于无单调性有界数列还要用其他方法），再利用递推关系求出极限
10. 利用导数的定义求极限
11. 利用泰勒公式
12. 利用定积分求n项式和的极限
13. 利用拉格朗日中值定理求极限

一、极限的概念与性质

（一）极限的定义

1.1 数列的极限
1.2 函数的极限，趋近无穷时的极限
注：x与n趋向∞的含义不同，前者有正负，后者只有正
1.3 函数的极限，趋近于x0时的左右极限

（二）极限的性质

1.1 数列极限的不等式性质（两条）
1.2 收敛数列的有界性
1.3 函数极限的不等式性质（两条）
推论：极限的保号性
1.4 存在极限的函数的局部有界性

（三）两个重要极限

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二、极限存在性的判别

（一）极限存在的两个准则

1.5 数列夹逼定理
1.6 函数夹逼定理
1.7 单调有界数列必收敛定理

（二）极限存在的一个充要条件

1.8 函数极限存在的充要条件，分段函数在分段点的左右极限相等
1.9 数列极限存在的充要条件，偶数项极限 = 奇数项极限 = A <=> 数列极限 = A
（所有子数列的极限都相等）

（三）证明函数极限不存在的常用方法

方法1：左右极限不相等，（比如含有那三个函数的极限要对正负无穷分别求极限，比如开根号、取绝对值时存在的正负问题）
方法2：xn、yn趋近于x0时f(xn)、f(yn)的极限不相等 （例1.4的Ⅰ）
方法3：不存在 + 存在 = 不存在、不存在 × 存在 = 不存在 （运算法则）（例1.4的Ⅱ）

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三、求极限的方法

（一）利用极限四则运算和幂指数运算法则求极限

1.10 极限的四则运算法则及其推广
1.11 幂指数函数的极限运算法则及其推广
注：只有 每部分的极限存在才可用四则运算法则

（二）利用函数的连续性求极限

1. 代入法
2. 一切初等函数在定义域内都连续

（三）利用变量替换法与两个重要极限求极限

主要是1的无穷型极限
注意看变量是否真的趋近于0，有可能变量极限不存在

（四）利用等价无穷小因子替换求极限

记住大概11个等价无穷小

（五）洛必达

洛就完事了

（六）分别求左右极限

要提高警觉，注意有哪些会导致左右不一致的变量

（七）利用函数极限求数列极限

主要是为了利用洛必达法则

（八）利用放缩法

利用夹逼定理
掌握几种放缩手段，对分子分母进行调整，极限不等式，积分的极限，积分不等式等等

（九）递归数列极限的求法

方法1：先证数列收敛，然后去解
方法2：利用两个结论

（十）利用导数的定义求极限（见第二章）

（十一）利用定积分求某些n项式和的极限（见第三章）

（十二）利用泰勒公式求未定式的极限（见第五章）

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四、无穷小及其比较

1. 无穷小阶的比较，分式，常用洛必达或者泰勒公式
   

2. 确定无穷小的阶的方法
   方法1：等价无穷小
   方法2：待定阶数法
   方法3：泰勒公式（见第五章）
   方法4：利用无穷小阶的运算性质

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五、函数的连续性及其判断

（一）连续性及其相关概念

1.8 连续性的定义（（1）~（3）有三个互相等价的定义）
（4）~（6）左连续、右连续、内连续

（二）间断点的定义与分类

1.9 间断点的定义

1. 第一类
2. 第二类

（三）判断函数的连续性和间断点的类型

1. 初等函数
2. 连续性运算法则
3. 定义
4. 分别判断左右连续性
   1.14 连续性运算法则
5. 两个函数做四则运算
6. 两个函数做复合运算
7. 反函数连续性

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六、连续函数的性质

（一）连续函数的局部保号性质

（二）有界闭区间上连续函数的性质

1.16 有界闭区间上连续函数的有界性
推论：第一类间断点 => 有界
1.17 有界闭区间上连续函数存在最大、最小值
1.18 连续函数介值定理
推论：连续函数零点存在性定理
注：①推广到开区间；②有界闭区间；③存在一点使得

推论：根据最大值最小值得出函数值域
注：求连续函数值域，就是求连续函数最值

（三）方程式根到存在性——连续介值定理的应用

可用来证明 f(x) = 0有根

这章常考题型约有十二种

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后记：

对于上面的第13条，利用拉格朗日中值定理求极限，例题（法三）：

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