[学习记录]回溯算法及其应用

目录

一、简介

二、回溯算法的应用

三、回溯算法的模板

四、回溯算法解决子集问题

        (一)子集问题描述

        (二)问题解决

        (三)代码实现

        (四)剪枝操作

五、回溯算法解决分割问题

---

一、简介

        回溯与递归是相辅相成的，有回溯的地方必然会使用到递归。回溯算法并非是一种高效的算法，而是一种暴力法。

二、回溯算法的应用

        对于某些问题来说，即便多层for循环也无法解决，也无法写出这种程序，这时候就需要用到回溯算法。排列、组合、子集、切割、部分棋盘等问题都可以通过回溯算法解决。

        举个简单的例子来说明为什么要使用回溯法。

        假设从包含4个元素的集合中，找出所有元素个数为2的子集，这时候我们可以通过两层for循环来解决该问题，当要求子集元素个数为3时通过3层for循环解决。那么当要求子集包含的元素个数变为k时(k为较大的值)，不可能通过k层for循环来写代码，这时候就需要用到回溯算法，回溯算法其实就是通过递归来自动实现多层for循环的嵌套。

三、回溯算法的模板

        

 

四、回溯算法解决子集问题

        (一)子集问题描述

        从包含n个元素的集合中，找到所有包含k个元素的子集(对应leetcode上77题)。例如从[1,2,3,4]中找到所有包含两个元素的子集，结果有[1,2]，[1,3]，[1,4]，[2,3]，[2,4]，[3,4]。

        (二)问题解决

        从[1,2,3,4]这个具体问题来理解回溯算法，这里我们树形结构来模拟回溯算法的搜索过程。

        

        对于图中当箭头值取2时候，剩余元素仅为[3，4]，而不包含1，这是因为在子集问题中，[1,2]和[2,1]表示的是同一个子集。

        使用回溯法，要清楚三个问题。

        1.函数的参数值与返回值：在子集问题中，首先函数中传入的参数有元素个数n，子集元素个数k，此外还需要传入一个参数start_idx（这个参数的意义在于从哪个位置开始递归，比如当start_idx为0时候，此时取到的值为1，那么接着递归时候就要从索引为1开始(也就是值为2的地方)）；此外，由于每个子集会作为一个结果，因此定义一个空列表path来存放子集(上图中[1,2]的形成，是先把1存放到列表中，然后再将2存到列表中，因此需要一个空列表)，最终将所有符合条件的子集存放到一个新的列表中，因此需要另一个空列表res；由于子集问题是要将所有符合条件的子集存到一个列表中，而存放结果的操作在函数内部实现，因此不需要返回值；

        2.确定终止条件：如果终止条件设置错误，则很容易变成死循环。在子集问题中，当path中元素个数等于k值时，则终止；因此终止条件为len(path)==k;

        3.确定单层搜索逻辑：也就是如何通过递归以及回溯来实现多层循环的嵌套。

        (三)代码实现

class Solution:
    def combine(self, n: int, k: int):
        path = []
        res=[]

        def backtracking(n, k, start_idx):
            # 终止条件
            if len(path) == k:
                res.append(path[:])
                return

            # 单层逻辑
            for i in range(start_idx, n):
                path.append(i + 1)
                #递归
                backtracking(n, k, i + 1)
                #回溯
                path.pop()

        backtracking(n, k, 0)
        return res

        path用来存储子集，res存储最终结果。最外层的一次for循环(即第一次for循环)表示遍历当第一个数依次取1、2、3、4时。当每次递归函数执行完成后，执行path.pop()操作(即当找到一个符合条件的子集例如为[1,2]时，终止条件成立，执行path.pop()，此时path变为[1]，下一次递归path变为[1,3]，当第一个数取1完成之后，path回溯两次变为空，以此类推。

        (四)剪枝操作

        对于有些情况来说，剪枝操作可以降低时间复杂度。例如对于包含4个元素的集合，找到所有包含3个元素的子集，此时当第一个元素取3时候，已经不满足条件了，而不经过剪枝的回溯算法仍然是要对该节点的分支进行搜索，这就造成很大的时间消耗。

        由于代码中对每个节点所在分支进行搜索是在for循环中实现，因此只需要找到满足搜索条件的最大值即可，将n替换为n-(k-len(path))+1，简单说明一下(若当前path中存放的元素个数为0，此时计算值为4-(3-0)+1=2，由于python中for循环取不到右边值，也就是符合条件的最大索引为2-1(假设索引从0开始))。

        剪枝前后时间复杂度对比如下：

        

五、回溯算法解决分割问题

        待更新