牛顿迭代法

 

目录

一、牛顿迭代公式

二、利用牛顿迭代公式求平方根

C 语言实现

Python 语言实现 

三、利用牛顿迭代公式求立方根

C 语言实现

Python 语言实现

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一、牛顿迭代公式

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可解，从而寻求方程的近似根就显得尤为重要。牛顿就提出了一种用迭代求方程近似根的方法，思路是不断取切线，用线性方程的根逼近非线性方程 f(x) = 0 的根。

具体过程：

设 x* 是 f(x) = 0 的根，选取 x0 作为 x* 的初始近似值，过点 (x0，f(x0)) 作曲线 y = f(x) 的切线 L，L：y = f(x0) + f'(x0)(x - x0)，则 L 与 x 轴交点的横坐标为：，称 x1 为 x* 的一次近似值。过点 (x1, f(x1)) 作曲线 y = f(x) 的切线，切线与 x 轴的交点横坐标为：，称 x2 为 x* 的二次近似值。重复上述过程，得 x* 的近似值序列，其中： 称为 x* 的 n + 1 次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

概述图：

 

 

二、利用牛顿迭代公式求平方根

求数 a 的平方根，即求二次方程 f(x) = x^2 - a = 0（a >= 0）的根，f'(x) = 2x，利用牛顿迭代公式，则有： 。

C 语言实现

#include 
#include 

double square_root(double a)
{
	if (a < 0)
	{
		return -1;
	}
	double t = a;  // t 为近似值
	while (fabs(t * t - a) > 1e-10)
	{
		t = (t + a / t) / 2.0;
	}
	return t;
}

int main()
{
	double a = 0.0;
	scanf("%lf", &a);
	double ret = square_root(a);
	printf("%lf\n", ret);
	return 0;
}

fabs(t * t - a) > 1e-10：是将方程的近似值 t 代入方程 f(x) = x^2 - a 中，判断绝对误差是否小于等于 1e - 10。  

Python 语言实现 

def square_root(a):
    if a < 0:
        return -1
    t = a
    while abs(t * t - a) > 1e-10:
        t = (t + a / t) / 2.0
    return t


print(square_root(3))  # 1.7320508075688772
print(square_root(5))  # 2.236067977499978
print(square_root(10))  # 3.162277660168379
print(square_root(-10))  # -1

 

 

三、利用牛顿迭代公式求立方根

同理，求数 a 的立方根，即求三次方程 f(x) = x^3 - a = 0 的根，f'(x) = 3x2，利用牛顿迭代公式，则有： 。

C 语言实现

#include 
#include 

double cube_root(double a)
{
	double t = a;
	while (fabs(t * t * t - a) > 1e-10)
	{
		t = (2 * t + a / (t * t)) / 3.0;
	}
	return t;
}

int main()
{
	double a = 0.0;
	scanf("%lf", &a);
	double ret = cube_root(a);
	printf("%lf\n", ret);
	return 0;
}

Python 语言实现

def cube_root(a):
    t = a
    while abs(t * t * t - a) > 1e-10:
        t = (2 * t + a / (t * t)) / 3.0
    return t


print(cube_root(3))  # 1.4422495703074112
print(cube_root(5))  # 1.7099759466766973
print(cube_root(10))  # 2.154434690031893
print(cube_root(-10))  # -2.154434690031893