QR分解－givens旋转与Householder变换
目录
- 一、Householder QR分解
-
- Householder矩阵
- Householder变换
- Householder QR分解
- Householder物理意义
- 二、Givens 旋转QR分解
-
- 功能表现
- 计算方式
- QR分解
- 三、QR分解适用情况
一、Householder QR分解
Householder矩阵
Householder变换
同理
例子：将列向量其他元素置零
Householder QR分解
按列消元，一列一列操作
详细消元顺序见：householder进行QR分解
matlab代码：
Householder物理意义
矩阵H叫做初等反射矩阵，或称为Householder矩阵。Hs=t的变换叫做Householder变换。
二、Givens 旋转QR分解
功能表现
要把xi变为０，使用x_k把x_i变为0,givens矩阵计算需要使用xi,xk为xi同一列对角矩阵的元素，也可以选择同一列的其他元素
计算方式
注：Givens旋转每次变化的是第ｉ行和第ｊ行
QR分解
超定矩阵，QR分解实例
QR分解注意事项：
- 从左到右逐列执行。
- 每一列，从下往上执行。
- 每一次的Givens矩阵由要消为0 的元素和对应对角线的元素确定。
参考：消元顺序
三、QR分解适用情况
如下图所示矩阵，前面几列为0元素更多，可以使用givens消元，后面0元素更少，可以使用householder消元，householder计算矩阵更小
图一顺序不适合givens，消去第一列后整个矩阵都会fill,图二更适合，m*n,消元n次就可以得到上三角矩阵
参考文献：ppt QR分解