Householder变换（反射变化）与Givens变换（旋转变化）的学习笔记

先放个例题在这里，会就做，不会就带着问题向下看

答案的H计算错误，这个才是正确答案

一点点矩阵理论

学习笔记，开干！

Householder变换（反射变化）

你别看它名字整的牛逼哄哄的，其实就一纸老虎，本质就是镜面反射变换（对称）

下面我们借助3维的Householder变换为你推导Householder矩阵也就是H矩阵

如图：u为平面π的单位法向量，求Householder变换矩阵H使x向量投影到 关于与u向量正交的平面 对称的镜像向量y处

推导如下图

 

 那么我们将3维的HouseHolder变换拓展到n维，那么这里的x，y就是关于 与单位向量u正交的n-1维的超平面 镜像对称的两个向量，并且对应的Householder矩阵为H

 

那么你会问Householder变换有什么用?Householder矩阵可以将向量投影到坐标轴上面，从而让其他的n-1个分量等于0，你说这个用处大不大。

 这是household矩阵拥有的4个性质

下面进行一些粗略简短的证明

定理1：矩阵的转置就相当于交换一下坐标系并不影响反射变换

定理2：就相当于你把x反射到y然后再反射一次反射回x所以H平方是单位矩阵

定理3与4的证明：

Givens变换（旋转变化）

        旋转变换更加简单，就是初等旋转变换，通过固定n-2维不变，选择剩下的两维构成的平面在这个平面上面做旋转变换。基本结构如下图，在下图中含有变换角度θ所在的两个向量，它两构成的平面就是旋转的平面。

 

本文章的图片出自李继根 张新发编著的矩阵分析与技术

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