详解张正友相机标定原理（一）

写在前面

看到这篇文章的朋友们，大家好。本文的作者是一个懒惰的工科女，这是我在CSDN上的第一篇博客。开始写博客的目的很简单，就是想督促自己梳理学过的知识同时也能和大家在网络上交流学习。作者水平有限，欢迎大家留言发表自己的看法哦！
文中有一些公式和图片偷懒没有自己做，偷偷使用了别人现成的，希望原作者看到不要打我，实在介意我可以删除的。

相机参数

为确定空间物体表面某点的三维几何位置与其在图像中对应点之间的相互关系，必须建立相机成像的几何模型，这些几何模型就是相机参数。在大多数条件下，这些参数必须通过实验与计算才能得到，这个求解参数的过程就是相机标定。其中张正友相机标定法是一种非常常见的标定方法。
我们在标定过程中通常要求解的参数为：相机内参、相机外参、畸变系数

相机内外参

世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系

• 世界坐标系：上图中P点所在的坐标系，可以任意指定$X_w$轴，$Y_w$轴和$Z_w$轴；
• 相机坐标系：原点位于镜头的光心，$Z$轴与光轴重合，为上图坐标系中的$X_c$、$Y_c$、$Z_c$；
• 图像坐标系：原点位于光轴和投影面的交点，为上图坐标系中的$x$、$y$、$z$坐标系；
• 像素坐标系：从小孔向投影方向看，投影面的左上角为原点，该坐标系与图像坐标秀处在同一平面，但原点不同，为上图中的$u$$v$坐标系；
• $f$为相机的焦距。

世界坐标系和相机坐标系

将坐标系绕$Z$轴旋转$\theta$角：


同理，将坐标系绕$X$轴和$Y$轴旋转之后，得到：所以，相机坐标系相对于世界坐标系的旋转矩阵为$R=R_1{R}_2{R}_3$
相机坐标系和世界坐标系之间不止差了一个旋转关系，还差了一个平移的关系，因此，还需要加上一个平移矩阵$T$，如下图所示：

相机坐标系和世界坐标系之间的关系：

相机坐标系和图像坐标系

相机和成像平面的关系可以参考小孔成像的原理，利用三角形相似关系：
相机坐标系和图像坐标系的关系：

图像坐标系和像素坐标系

图像坐标系和像素坐标系在同一平面内，但原点的位置不同

假设每一个像素在$u$轴和$v$轴方向上的实际物理尺寸为$d_x$和$d_y$，那么：

图像坐标系和像素坐标系之间的关系：

世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系和像素坐标系与相机参数

其中：

• $f_x=f/d_x$；
• $f_y=f/d_y$；
• $u_0$：像素坐标系原点和图像坐标系原点在$x$轴方向上的距离；
• $v_0$：像素坐标系原点和图像坐标系原点在$y$轴方向上的距离；
• $R$：相机坐标系相对于世界坐标系的旋转矩阵；
• $T$：相机坐标系相对于世界坐标系的平移矩阵，
  $f_x$，$f_y$，$u_0$，$v_0$即相机的内参，$R$，$T$即相机的外参。