02 线性代数

线性代数

1.1 标量

• 简单操作
  
  
  c = a + b
  
  c = a * b
  
  c = sin a

• 长度
  

1.2 向量

• 简单操作
  
  c = a + b where ci = ai + bi
  
  
  c = α * b where ci = αbi
  
  
  c = sina where ci = sinai

• 长度
  
  

- c = a + b

• c = α * b
  
  

• 点乘
  
  

• 正交
  
  
  

1.3 矩阵

• 简单操作
  
  C = A + B where Cij = Aij + Bij
  
  C = α * B where Cij = α * Bij
  
  C = sinA where Cij = sin Aij
  

• 乘法（矩阵乘以向量）
  
  
  
  

• 乘法（矩阵乘以矩阵）
  
  

• 范数
  
  

取决于如何衡量b和c的长度

• 常见范数
  
  矩阵范数：最小的满足的上面公式的值
  
  Frobenius范数
  
  

- 特殊矩阵
(1)对称和反对称

(2)正定

(3)正交矩阵

1. 所有行都相互正交

2. 所有行都有单位长度
   
   
   

3. 可以写成
   
   

(4)置换矩阵

置换矩阵是正交矩阵

(4)特征向量和特征值

• 不被矩阵改变方向的向量
  
  

• 对称矩阵总是可以找到特征向量

按特定的轴求和