压缩感知之常用稀疏基及matlab代码

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前言

  压缩感知的第一步是进行信号的稀疏表示，那么寻找稀疏基就显得尤为重要，在此篇博客将介绍经常使用的稀疏基及其matlab代码。

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一、稀疏基是什么？

  稀疏基是将可以信号进行稀疏表示的一个矩阵。设一维离散信号$x$，长度为$N$，可看作为$N$维空间$N\times 1$ 的列向量，若此列向量中含有$K$个不为0元素，且$K<<N$，则称该信号$x$是$K$-稀疏信号，具有稀疏性。
  如果信号稀疏，则信号$x$可以表示为：$$x=\Psi s$$其中，$\Psi$就是稀疏基（稀疏矩阵）。

二、一些常用的稀疏基

1、DFT（离散傅里叶）稀疏基

%%matlab自带函数
dftmtx(N)/sqrt(N)；

%%和上面的等同
fft(eye(N))/sqrt(N);

2、DCT（离散余弦）稀疏基

%% matlab 自带函数
dctmtx(N);

%% 展开写为：
[cc,rr] = meshgrid(0:n-1);
c = sqrt(2 / n) * cos(pi * (2*cc + 1) .* rr / (2 * n));
c(1,:) = c(1,:) / sqrt(2);

3、DWT（小波）稀疏基

function ww=DWT(N)

[h,g]= wfilters('sym8','d');       %  分解低通和高通滤波器  

% N=256;                           %  矩阵维数(大小为2的整数幂次)
L=length(h);                       %  滤波器长度
rank_max=log2(N);                  %  最大层数
rank_min=double(int8(log2(L)))+1;  %  最小层数
ww=1;   %  预处理矩阵

%  矩阵构造
for jj=rank_min:rank_max
    
    nn=2^jj;
    
    %  构造向量
    p1_0=sparse([h,zeros(1,nn-L)]);
    p2_0=sparse([g,zeros(1,nn-L)]);
    
    %  向量圆周移位
    for ii=1:nn/2
        p1(ii,:)=circshift(p1_0',2*(ii-1))';
        p2(ii,:)=circshift(p2_0',2*(ii-1))';
    end
    
    %  构造正交矩阵
    w1=[p1;p2];
    mm=2^rank_max-length(w1);
    w=sparse([w1,zeros(length(w1),mm);zeros(mm,length(w1)),eye(mm,mm)]);
    ww=ww*w;
    
    clear p1;clear p2;
end

程序作者为沙威，香港大学电气电子工程学系，[email protected]

4、0-1随机稀疏基（根据稀疏特性觉得也合理）

%%使用rand函数产生0-1区间的数
function A=get01(N)

B=rand(N,N);    %将产生N行N列随机数矩阵
A=round(B);     %将产生的矩阵四舍五入，即可得到非 0 即 1 的矩阵

end

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总结

  以上就是要展示的稀疏基的内容及代码，如果大家还有其他常用的稀疏基，欢迎大家在下面评论分享~