【问题思考总结】旋转体的体积和函数在直线上下有关吗?【几何+微元】

问题

在一道题里面，函数在直线的上下是不确定的，只能确定x的范围，然而，在我之前的理解中，必须要都高于或者低于这个转轴才行，然而导数还求不出来，不能够判断这个曲线到底在函数的上面还是下面，因此有了下面的思考。

思考

首先，看一下微元法的体积公式。

这个公式的实际含义是，

将无数个小圆盘的体积微元累加到了一起（圆盘底面半径是yx，圆盘高度是dx）。
回到最开始的问题，这个公式和在转轴上下有关系吗？
不妨找一个更一般的情况方便看一些：

可以看到，我们V1和V2的公式是不同的，但是平方后，是相同的，因此可以整合到一个式子里面。

根本原因是这个微元法实际上用的就是距离，虽然距离本身带绝对值，可能在转轴的上下两侧方程不一样，但是平方将他们两个的区别给抹平了。

总结

在求旋转体的体积过程中，曲线在转轴的上下两侧或者是单侧都可以用一个统一的公式，即与函数和转轴的位置关系无关。