灰色预测（MATLAB）
本文借鉴了数学建模清风老师的课件与思路，可以点击查看链接查看清风老师视频讲解：清风数学建模：https://www.bilibili.com/video/BV1DW411s7wi
一、案例背景
二、基本思想
三、GM（1，1）模型
3.1 原理介绍
这里就是在讲由原始数据X0生成新数据X1和Z1。
累加数据X1：在X0数据基础上，第二个数据为第一个和第二个数据之和，第三个数据为第二个和第三个数据之和，后续数据类推。
紧邻均值生成序列Z1：在X1数据基础上，第二个数据为第一个和第二个数据之和，第三个数据为第二个和第三个数据之和，后续数据类推。
这里就是在讲将X0序列视为因变量，Z1序列视为自变量，进行回归（最小二乘法）。
3.2 模型使用条件
如果不满足准指数规律检验，则预测出来的误差可能较大。
实际建模中，只需要计算 ρ（k）∈（0,0.5）的占比，占比越高越好（一般前两期：ρ（2）和ρ（3）可能不符合要求，重点关注后面的期数）。就是指从第三期开始都要小于0.5。这里的检验可以详看后面的代码。
3.3 模型的检验（评价）
3.3.1 残差检验
3.3.2 级比偏差检验
3.4 GM(1，1)的拓展
（1）就是正常的GM（1，1）模型；
（2）就是只用了一部分数据的GM（1，1）模型；
（3）就是先用GM（1，1）模型只预测一个数据，再将预测出的这个数据代入GM（1，1）模型，预测下一个数据，再将这个数据也带入进模型，以此类推，直至预测出全部的数据；
（4）就是每预测出一个新数据，就舍去第一个数据，将新数据带入模型进行新的GM（1，1）计算。
实际写程序时用1，2，4模型就行，比较它们的效果，选择最好的模型。
四、GM（1，1）模型程序
4.1 GM（1，1）模型流程
4.2 GM（1，1）模型程序
4.2.1 程序
主函数程序：
%% 输入原始数据并做出时间序列图
clear;clc
year =[1995:1:2004]'; % 横坐标表示年份，写成列向量的形式（加'就表示转置）
x0 = [174,179,183,189,207,234,220.5,256,270,285]'; %原始数据序列，写成列向量的形式（加'就表示转置）
% year = [2009:2015]; % 其实本程序写成了行向量也可以，因为我怕你们真的这么写了，所以在后面会有判断。
% x0 = [730, 679, 632, 599, 589, 532, 511];
% year = [2010:2017]'; % 该数据很特殊，可以通过准指数规律检验，但是预测效果却很差
% x0 = [1.321,0.387,0.651,0.985,1.235,0.987,0.854,1.021]';
% year = [2014:2017]';
% x0 = [2.874,3.278,3.337,3.390]';
% 画出原始数据的时间序列图
figure(1); % 因为我们的图形不止一个，因此要设置编号
plot(year,x0,'o-'); grid on; % 原式数据的时间序列图
set(gca,'xtick',year(1:1:end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1
xlabel('年份'); ylabel('排污总量'); % 给坐标轴加上标签
%% 因为我们要使用GM(1,1)模型，其适用于数据期数较短的非负时间序列
ERROR = 0; % 建立一个错误指标，一旦出错就指定为1
% 判断是否有负数元素
if sum(x0<0) > 0 % x0<0返回一个逻辑数组(0-1组成)，如果有数据小于0，则所在位置为1，如果原始数据均为非负数，那么这个逻辑数组中全为0，求和后也是0~
disp('亲，灰色预测的时间序列中不能有负数哦')
ERROR = 1;
end
% 判断数据量是否太少
n = length(x0); % 计算原始数据的长度
disp(strcat('原始数据的长度为',num2str(n))) % strcat()是连接字符串的函数，第一讲学了，可别忘了哦
if n<=3
disp('亲，数据量太小，我无能为力哦')
ERROR = 1;
end
% 数据太多时提示可考虑使用其他方法（不报错）
if n>10
disp('亲，这么多数据量，一定要考虑使用其他的方法哦，例如ARIMA，指数平滑等')
end
% 判断数据是否为列向量，如果输入的是行向量则转置为列向量
if size(x0,1) == 1
x0 = x0';
end
if size(year,1) == 1
year = year';
end
%% 对一次累加后的数据进行准指数规律的检验(注意，这个检验有时候即使能通过，也不一定能保证预测结果非常好，例如上面的第三组数据)
if ERROR == 0 % 如果上述错误均没有发生时，才能执行下面的操作步骤
disp('------------------------------------------------------------')
disp('准指数规律检验')
x1 = cumsum(x0); % 生成1-AGO序列，cumsum是累加函数哦~ 注意：1.0e+03 *0.1740的意思是科学计数法,即10^3*0.1740 = 174
rho = x0(2:end) ./ x1(1:end-1) ; % 计算光滑度rho(k) = x0(k)/x1(k-1)
% 画出光滑度的图形，并画上0.5的直线，表示临界值
figure(2)
plot(year(2:end),rho,'o-',[year(2),year(end)],[0.5,0.5],'-'); grid on;
text(year(end-1)+0.2,0.55,'临界线') % 在坐标(year(end-1)+0.2,0.55)上添加文本
set(gca,'xtick',year(2:1:end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1
xlabel('年份'); ylabel('原始数据的光滑度'); % 给坐标轴加上标签
disp(strcat('指标1：光滑比小于0.5的数据占比为',num2str(100*sum(rho<0.5)/(n-1)),'%'))
disp(strcat('指标2：除去前两个时期外，光滑比小于0.5的数据占比为',num2str(100*sum(rho(3:end)<0.5)/(n-3)),'%'))
disp('参考标准：指标1一般要大于60%, 指标2要大于90%，你认为本例数据可以通过检验吗？')
Judge = input('你认为可以通过准指数规律的检验吗？可以通过请输入1，不能请输入0：');
if Judge == 0
disp('亲，灰色预测模型不适合你的数据哦~ 请考虑其他方法吧 例如ARIMA，指数平滑等')
ERROR = 1;
end
disp('------------------------------------------------------------')
end
%% 当数据量大于4时，我们利用试验组来选择使用传统的GM(1,1)模型、新信息GM(1,1)模型还是新陈代谢GM(1,1)模型； 如果数据量等于4，那么我们直接对三种方法求一个平均来进行预测
if ERROR == 0 % 如果上述错误均没有发生时，才能执行下面的操作步骤
if n > 4 % 数据量大于4时，将数据分为训练组和试验组(根据原数据量大小n来取，n为5-7个则取最后两年为试验组，n大于7则取最后三年为试验组)
disp('因为原数据的期数大于4，所以我们可以将数据组分为训练组和试验组') % 注意，如果试验组的个数只有1个，那么三种模型的结果完全相同，因此至少要取2个试验组
if n > 7
test_num = 3;
else
test_num = 2;
end
train_x0 = x0(1:end-test_num); % 训练数据
disp('训练数据是: ')
disp(mat2str(train_x0')) % mat2str可以将矩阵或者向量转换为字符串显示, 这里加一撇表示转置，把列向量变成行向量方便观看
test_x0 = x0(end-test_num+1:end); % 试验数据
disp('试验数据是: ')
disp(mat2str(test_x0')) % mat2str可以将矩阵或者向量转换为字符串显示
disp('------------------------------------------------------------')
% 使用三种模型对训练数据进行训练，返回的result就是往后预测test_num期的数据
disp(' ')
disp('***下面是传统的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
result1 = gm11(train_x0, test_num); %使用传统的GM(1,1)模型对训练数据，并预测后test_num期的结果
disp(' ')
disp('***下面是进行新信息的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
result2 = new_gm11(train_x0, test_num); %使用新信息GM(1,1)模型对训练数据，并预测后test_num期的结果
disp(' ')
disp('***下面是进行新陈代谢的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
result3 = metabolism_gm11(train_x0, test_num); %使用新陈代谢GM(1,1)模型对训练数据，并预测后test_num期的结果
% 现在比较三种模型对于试验数据的预测结果
disp(' ')
disp('------------------------------------------------------------')
% 绘制对试验数据进行预测的图形（对于部分数据，可能三条直线预测的结果非常接近）
test_year = year(end-test_num+1:end); % 试验组对应的年份
figure(3)
plot(test_year,test_x0,'o-',test_year,result1,'*-',test_year,result2,'+-',test_year,result3,'x-'); grid on;
set(gca,'xtick',year(end-test_num+1): 1 :year(end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1
legend('试验组的真实数据','传统GM(1,1)预测结果','新信息GM(1,1)预测结果','新陈代谢GM(1,1)预测结果') % 注意：如果lengend挡着了图形中的直线，那么lengend的位置可以自己手动拖动
xlabel('年份'); ylabel('排污总量'); % 给坐标轴加上标签
% 计算误差平方和SSE
SSE1 = sum((test_x0-result1).^2);
SSE2 = sum((test_x0-result2).^2);
SSE3 = sum((test_x0-result3).^2);
disp(strcat('传统GM(1,1)对于试验组预测的误差平方和为',num2str(SSE1)))
disp(strcat('新信息GM(1,1)对于试验组预测的误差平方和为',num2str(SSE2)))
disp(strcat('新陈代谢GM(1,1)对于试验组预测的误差平方和为',num2str(SSE3)))
if SSE1子函数传统GM（1，1）程序：
function [result, x0_hat, relative_residuals, eta] = gm11(x0, predict_num)
% 函数作用：使用传统的GM(1,1)模型对数据进行预测
% x0：要预测的原始数据
% predict_num： 向后预测的期数
% 输出变量 （注意，实际调用时该函数时不一定输出全部结果，就像corrcoef函数一样~，可以只输出相关系数矩阵，也可以附带输出p值矩阵）
% result：预测值
% x0_hat：对原始数据的拟合值
% relative_residuals： 对模型进行评价时计算得到的相对残差
% eta： 对模型进行评价时计算得到的级比偏差
n = length(x0); % 数据的长度
x1=cumsum(x0); % 计算一次累加值
z1 = (x1(1:end-1) + x1(2:end)) / 2; % 计算紧邻均值生成数列（长度为n-1）
% 将从第二项开始的x0当成y，z1当成x，来进行一元回归 y = kx +b
y = x0(2:end); x = z1;
% 下面的表达式就是第四讲拟合里面的哦~ 但是要注意，此时的样本数应该是n-1，少了一项哦
k = ((n-1)*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/((n-1)*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x));
b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/((n-1)*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x));
a = -k; %注意：k = -a哦
% 注意： -a就是发展系数, b就是灰作用量
disp('现在进行GM(1,1)预测的原始数据是: ')
disp(mat2str(x0')) % mat2str可以将矩阵或者向量转换为字符串显示
disp(strcat('最小二乘法拟合得到的发展系数为',num2str(-a),'，灰作用量是',num2str(b)))
disp('***************分割线***************')
x0_hat=zeros(n,1); x0_hat(1)=x0(1); % x0_hat向量用来存储对x0序列的拟合值，这里先进行初始化
for m = 1: n-1
x0_hat(m+1) = (1-exp(a))*(x0(1)-b/a)*exp(-a*m);
end
result = zeros(predict_num,1); % 初始化用来保存预测值的向量
for i = 1: predict_num
result(i) = (1-exp(a))*(x0(1)-b/a)*exp(-a*(n+i-1)); % 带入公式直接计算
end
% 计算绝对残差和相对残差
absolute_residuals = x0(2:end) - x0_hat(2:end); % 从第二项开始计算绝对残差，因为第一项是相同的
relative_residuals = abs(absolute_residuals) ./ x0(2:end); % 计算相对残差，注意分子要加绝对值，而且要使用点除
% 计算级比和级比偏差
class_ratio = x0(2:end) ./ x0(1:end-1) ; % 计算级比 sigma(k) = x0(k)/x0(k-1)
eta = abs(1-(1-0.5*a)/(1+0.5*a)*(1./class_ratio)); % 计算级比偏差
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
% % 视频中提到的附件可在售后群（购买后收到的那个无忧自动发货的短信中有加入方式）的群文件中下载。包括讲义、代码、我视频中推荐的资料等。
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% % 视频价格不贵，但价值很高。单人购买观看只需要58元，三人购买人均仅需46元，视频本身也是下载到本地观看的，所以请大家不要侵犯知识产权，对视频或者资料进行二次销售。
% % 如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231（必看）子函数新信息GM（1，1）程序：
function [result] = new_gm11(x0, predict_num)
% 函数作用：使用新信息的GM(1,1)模型对数据进行预测
% 输入变量
% x0：要预测的原始数据
% predict_num： 向后预测的期数
% 输出变量
% result：预测值
result = zeros(predict_num,1); % 初始化用来保存预测值的向量
for i = 1 : predict_num
result(i) = gm11(x0, 1); % 将预测一期的结果保存到result中
x0 = [x0; result(i)]; % 更新x0向量，此时x0多了新的预测信息
end
end
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% % 如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231（必看）子函数新陈代谢GM（1，1）程序：
function [result] = metabolism_gm11(x0, predict_num)
% 函数作用：使用新陈代谢的GM(1,1)模型对数据进行预测
% 输入变量
% x0：要预测的原始数据
% predict_num： 向后预测的期数
% 输出变量
% result：预测值
result = zeros(predict_num,1); % 初始化用来保存预测值的向量
for i = 1 : predict_num
result(i) = gm11(x0, 1); % 将预测一期的结果保存到result中
x0 = [x0(2:end); result(i)]; % 更新x0向量，此时x0多了新的预测信息，并且删除了最开始的那个向量
end
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
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% % 如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231（必看）4.2.2 程序运行结果
原始数据的长度为10
------------------------------------------------------------
准指数规律检验
指标1：光滑比小于0.5的数据占比为77.7778%
指标2：除去前两个时期外，光滑比小于0.5的数据占比为100%
参考标准：指标1一般要大于60%, 指标2要大于90%，你认为本例数据可以通过检验吗？
你认为可以通过准指数规律的检验吗？可以通过请输入1，不能请输入0：1
------------------------------------------------------------
因为原数据的期数大于4，所以我们可以将数据组分为训练组和试验组
训练数据是:
[174 179 183 189 207 234 220.5]
试验数据是:
[256 270 285]
------------------------------------------------------------
***下面是传统的GM(1,1)模型预测的详细过程***
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[174 179 183 189 207 234 220.5]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.053355，灰作用量是162.1358
***************分割线***************
***下面是进行新信息的GM(1,1)模型预测的详细过程***
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[174 179 183 189 207 234 220.5]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.053355，灰作用量是162.1358
***************分割线***************
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[174 179 183 189 207 234 220.5 242.509856680773]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.053316，灰作用量是162.1589
***************分割线***************
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[174 179 183 189 207 234 220.5 242.509856680773 255.749834975262]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.053284，灰作用量是162.1806
***************分割线***************
***下面是进行新陈代谢的GM(1,1)模型预测的详细过程***
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[174 179 183 189 207 234 220.5]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.053355，灰作用量是162.1358
***************分割线***************
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[179 183 189 207 234 220.5 242.509856680773]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.055735，灰作用量是169.0787
***************分割线***************
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[183 189 207 234 220.5 242.509856680773 257.26402744888]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.054739，灰作用量是180.0538
***************分割线***************
------------------------------------------------------------
传统GM(1,1)对于试验组预测的误差平方和为614.0612
新信息GM(1,1)对于试验组预测的误差平方和为618.9622
新陈代谢GM(1,1)对于试验组预测的误差平方和为531.1548
{'因为新陈代谢GM(1,1)模型的误差平方和最小，所以我们应该选择其进行预测'}------------------------------------------------------------
请输入你要往后面预测的期数： 10
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[174 179 183 189 207 234 220.5 256 270 285]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.062398，灰作用量是156.6162
***************分割线***************
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[174 179 183 189 207 234 220.5 256 270 285]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.062398，灰作用量是156.6162
***************分割线***************
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[179 183 189 207 234 220.5 256 270 285 303.012231932034]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.064197，灰作用量是164.7232
***************分割线***************
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[183 189 207 234 220.5 256 270 285 303.012231932034 324.325434937853]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.064416，灰作用量是175.8281
***************分割线***************
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[189 207 234 220.5 256 270 285 303.012231932034 324.325434937853 346.030428621007]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.063084，灰作用量是189.8498
***************分割线***************
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[207 234 220.5 256 270 285 303.012231932034 324.325434937853 346.030428621007 367.457445620774]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.062698，灰作用量是202.4314
***************分割线***************
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[234 220.5 256 270 285 303.012231932034 324.325434937853 346.030428621007 367.457445620774 390.856802915429]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.065355，灰作用量是210.199
***************分割线***************
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[220.5 256 270 285 303.012231932034 324.325434937853 346.030428621007 367.457445620774 390.856802915429 419.615539374459]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.062562，灰作用量是231.2005
***************分割线***************
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[256 270 285 303.012231932034 324.325434937853 346.030428621007 367.457445620774 390.856802915429 419.615539374459 443.964075998334]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.06315，灰作用量是243.6452
***************分割线***************
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[270 285 303.012231932034 324.325434937853 346.030428621007 367.457445620774 390.856802915429 419.615539374459 443.964075998334 473.449694266975]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.063434，灰作用量是259.091
***************分割线***************
现在进行GM(1,1)预测的原始数据是:
[285 303.012231932034 324.325434937853 346.030428621007 367.457445620774 390.856802915429 419.615539374459 443.964075998334 473.449694266975 504.706805795204]
最小二乘法拟合得到的发展系数为0.063339，灰作用量是276.3983
***************分割线***************
------------------------------------------------------------
对原始数据的拟合结果：
1995 ：174
1996 ：172.809
1997 ：183.9355
1998 ：195.7785
1999 ：208.3839
2000 ：221.801
2001 ：236.082
2002 ：251.2825
2003 ：267.4616
2004 ：284.6825
往后预测10期的得到的结果：
2005 ：303.0122
2006 ：324.3254
2007 ：346.0304
2008 ：367.4574
2009 ：390.8568
2010 ：419.6155
2011 ：443.9641
2012 ：473.4497
2013 ：504.7068
2014 ：537.5366
****下面将输出对原数据拟合的评价结果***
平均相对残差为0.025999
残差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度非常不错
平均级比偏差为0.047041
级比偏差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度非常不错
------------------------------------------------------------
其中发展系数为-a，灰作用量为b，可放入论文中。
五、预测模型的套路
