简单神经网络批处理时梯度计算（标量对矩阵的求导）

简单神经网络批处理时梯度计算（标量对矩阵的求导，微分法）

学校的深度学习课程上老师介绍了损失函数在一个training data时对网络参数的求导，比较简单易求。然后介绍了批处理（同时有N个training data时）的求导并给出了结果，但是没给推导过程，当时我自己推了一下发现有些难点（涉及到矩阵微分的知识），值得整理记录一下。

问题介绍： 在如图的一个简单的二层神经网络中，网络的参数为$W^1$和$w^2$。当有N个输入数据时，X的维数为（D+1 x N）。那么各符号维数为：$X_{D+1\times N}$， $W_{K+1\times D+1}^1$， $H_{K+1\times N}$, ${w^2}_{K+1\times 1}$以及 $y_{1\times N}$, 其中 $y={w^2}^T\sigma (W^{1}X)$, $\sigma$为sigmoid函数。如果使用mean squared loss， 那么损失函数为$J=\frac{1}{N}||y-t|{|}^2$ (t是groundtruth)， 问题：请求出J对$W^1$的导数。

先贴答案：

需要的prerequisite knowledge: 1.简单的标量对向量，标量对矩阵求导，可参考https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus中scalar-by-vector和scalar-by-matrix部分。 2. 标量对矩阵求导的微分法，可参考https://www.cnblogs.com/pinard/p/10791506.html。

解： 先把J写成向量相乘的形式，然后化简标量对矩阵的求导，得到$\frac{\partial J}{\partial A}$,不能继续求导了，需要用微分法求出$\frac{\partial J}{\partial A}$。最后得出结果。最终结果公式中的X，H（网络中的节点），y，t 的值均已知，于是可以直接用此公式进行梯度下降法进行参数的更新啦O(∩_∩)O~

总结： 在批处理中，输入X以及网络中的节点均由向量升为矩阵，求导比一个training example时更为复杂。为此需要用新的方法：矩阵求导的微分法。