分位数回归损失函数代码实现解析

1. 绪论

对于分位数回归损失函数，最近看到了两种不同的实现。这种实现和 Bing 上检索到的任何一种分位数损失函数表达形式都不一样。

import keras.backend as K

def QR_error(y_true, y_pred, tau):
    dy = y_pred - y_true
    return K.mean((1.0 - tau) * K.relu(dy) + tau * K.relu(-dy), axis=-1)

def quantile_loss(q, y, y_p):
        e = y-y_p
        return K.mean(K.maximum(q*e, (q-1)*e))

下面，对这两种形式和检索的损失函数对应分析。

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2. 分位数回归

分位数回归是统计学和计量经济学中使用的一种回归分析。最小二乘方法估计的是预测变量的条件平均值，而分位数回归估计的是响应变量的条件中位数(或其他分位数)。分位数回归是线性回归的一种扩展，当线性回归的条件不满足时可以使用分位数回归。

关于什么是分位数回归以及分位数回归的推导，下面这些博客或多或少有介绍，但鲜有对损失函数的实现解析。

• 分位数回归
• 分位数回归（quantile regression）简介和代码实现
• 分位数回归（Quantile Regression）
• 如何简单明了地理解分位数回归？

在此，本文不再赘述分位数回归理论，重点讲解分位数回归损失函数的代码实现，以及它们的不同形式。

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3. 分位数回归损失函数

分位数回归时，所使用的损失函数有这么几种表达形式：

1. $L_{\gamma }={\sum }_{i=y_i<y_i^p}(\gamma -1)\cdot \left|y_i-y_i^p\right|+{\sum }_{i=y_i\ge y_i^p}(\gamma )\cdot \left|y_i-y_i^p\right|$
   来源于回归问题中5种常用损失函数。
2. $L_{\text{quantile }}=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{Ⅱ}_{y>f(x)}(1-\gamma )|y-f(x)|+{Ⅱ}_{y<f(x)}\gamma |y-f(x)|$
   来源于回归损失函数2 ： HUber loss,Log Cosh Loss,以及 Quantile Loss和损失函数 Loss Function 之 分位数损失 Quantile Loss

式中，$y_i$是真实值，$y^p$或者$f(x)$为预测值。两式子表示$y$全部取值的分位数损失。

但是，离散随机变量而言，我们经过推导，通过将$y-y^p$相对于$y^p$的预期损失最小化，可以找到特定的分位数，来源于《QUANTILE REGRESSION》5-6页。可以发现，损失函数是如下形式的：
$$L_{\gamma }=\frac{(\gamma -1)}{N}\sum _{y_i<y^p}\left(y_i-y^p\right)+\frac{\gamma }{N}\sum _{y_i\ge y^p}\left(y_i-y^p\right)$$

不是上述两式子中的任何一个，因为，他们并不包含绝对值。但是可以将$(\gamma -1)$放入在求和号内。

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4. $(\gamma -1)$的放入

需要注意的是，上式，两个求和号是满足条件的求和。

对于单个值，其分位数损失计算方式，按照上式执行。令$y_i-y_i^p=\delta y$，当$\delta y<0$
$${\rho }_{\gamma }(\delta y)=(\gamma -1)\cdot \delta y=(1-\gamma )(-\delta y)=(1-\gamma )|\delta y|$$

当$\delta y>0$：
$${\rho }_{\gamma }(\delta y)=\gamma \cdot \delta y$$
因此，对于$N$个随机变量，他们的总共的分位数损失为：
$$L_{\gamma }=\frac{1}{N}\left[\sum _{i=y_i<y_i^p}(1-\gamma )\cdot \left|y_i-y_i^p\right|+\sum _{i=y_i>y_i^p}\gamma \cdot \left|y_i-y_i^p\right|\right]$$

5. 程序代码表达

为了最大化的利用 Python 中 Torch 或者 Keras 的函数库，方便自动求导，我们可以将条件求和变为取最大值函数。
同样，我们令$y_i-y_i^p=\delta y$，上式用伪代码可以写为：

mean(max{tau*dy, (tau-1)*dy})

当$\delta y<0$时，是取得 (tau-1)*dy ，也就是${\rho }_{\gamma }(\delta y)=(\gamma -1)\cdot \delta y$ ；
当$\delta y>0$时，是取得 tau*dy ，也就是${\rho }_{\gamma }(\delta y)=\gamma \cdot \delta y$ ；
最后求和取均值，得到最终的$L_{\gamma }$。因此，利用程序，即可表达为：

def quantile_loss(q, y, y_p):
        e = y-y_p
        return tf.keras.backend.mean(tf.keras.backend.maximum(q*e, (q-1)*e))

同理，下面的代码也是等效的：

import keras.backend as K

def QR_error(y_true, y_pred, tau):
    dy = y_pred - y_true
    return K.mean((1.0 - tau) * K.relu(dy) + tau * K.relu(-dy), axis=-1)

不过，一定注意，dy的定义，dy = y_pred - y_true和e = y-y_p刚好相反，因此，代码中tau-1也要反过来。