【九】卷积——1

先引入一个很生动的介绍

不要试图直接从公式上去思考“翻转”的意义，回到问题的起源，你就会豁然开朗了。

打个比方，往平静的水面里面扔石头。我们把水面的反应看作是一种冲击响应。水面在时刻石头丢进去的时候会激起高度为的波纹，但水面不会立马归于平静，随着时间的流逝，波纹幅度会越来越小，在时刻，幅度衰减为, 在时刻，幅度衰减为……直到一段时间后，水面重复归于平静。

从时间轴上来看，我们只在时刻丢了一块石头，其它时刻并没有做任何事，但在时刻，水面是不平静的，这是因为过去（时刻）的作用一直持续到了现在。

那么，问题来了：

如果我们在t=1时刻也丢入一块石子呢？此时t=0时刻的影响还没有消失（水面还没有恢复平静）新的石子又丢进来了，那么现在激起的波浪有多高呢？答案是当前激起的波浪与t=0时刻残余的影响的叠加。那么t=0时刻对t=1时刻的残余影响有多大呢？

为了便于说明，接下来我们作一下两个假设：

•  水面对于“单位石块”的响应是固定的
• 丢一个两倍于的“单位石块”的石块激起的波纹高度是丢一个石块的两倍（即系统满足线性叠加原理）

现在我们来计算每一时刻的波浪有多高：

• 时刻：
• 时刻：当前石块引起的影响

                        时刻石块引起的残余影响

                       

• t=2时刻：当前石块引起的影响

                       时刻石块引起的残余影响

                      时刻石块x(1)引起的残余影响x(1)*h(1)

                      

    ……

• t=N时刻：当前石块引起的影响

                       时刻石块引起的残余影响

                       t=1时刻石块x(1)引起的残余影响

                       

这就是离散卷积的公式了。

理解了上面的问题，下面我们来看看“翻转”是怎么回事：

当我们每次要丢石子时，站在当前的时间点，系统的对我们的回应都是,时间轴之后的都是对未来的影响。而整体的回应要加上过去对于现在的残余影响。

现在我们来观察这个时刻。

站在时刻看他对于未来时刻(从现在往后4秒)的影响，可见是

站在时刻看他对于未来时刻的影响(从现在往后3秒)，可见是

站在时刻看他对于未来时刻的影响(从现在往后2秒)，可见是

站在时刻看他对于未来时刻的影响(从现在往后1秒)，可见是

所以所谓的翻转只是因为你站立的现在是过去的未来，而因为始终不变，故其实是前一秒的，而前一秒的就是现在，所以从当前的角度往左看，你看到的是过去的作用。未翻转前，当从往右看，你看到的是现在对于未来的影响，当翻转之后，从往左看，你依次看到的越来越远的过去对现在的影响，而这个影响，与从向左看的作用影响相对应（都是越来越远的过去），作用与作用的响应就对应起来了，这一切的本质，是因为你站立的时间观察点和方向在变。

一.知乎回答

取自 知乎@马同学，在此表示感激，侵删。

从数学上讲，卷积就是一种运算。

某种运算，能被定义出来，至少有以下特征：

• 首先是抽象的、符号化的
• 其次，在生活、科研中，有着广泛的作用

比如加法：

• a+ba+b，是抽象的，本身只是一个数学符号
• 在现实中，有非常多的意义，比如增加、合成、旋转等等

卷积，是我们学习高等数学之后，新接触的一种运算，因为涉及到积分、级数，所以看起来觉得很复杂。

1 .卷积的定义

我们称  为  的卷积

其连续的定义为：

其离散的定义为：

这两个式子有一个共同的特征：

这个特征有什么意义？

我们令 x=τ,y=n−τx=τ,y=n−τ ，那么 x+y=nx+y=n 就是下面这些直线：

只看数学符号，卷积是抽象的，不好理解的，但是，我们可以通过现实中的意义，来习惯卷积这种运算，正如我们小学的时候，学习加减乘除需要各种苹果、糖果来帮助我们习惯一样。

我们来看看现实中，这样的定义有什么意义。

2. 离散卷积的例子：丢骰子

我有两枚骰子：

把这两枚骰子都抛出去：

求：两枚骰子点数加起来为4的概率为多少?

这里问题的关键是，两个骰子加起来要等于4，这正是卷积的应用场景。

我们把骰子各个点数出现的概率表示出来：

那么，两枚骰子点数加起来为4的情况有：

因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：

符合卷积的定义，把它写成标准的形式就是：

3. 连续卷积的例子：做馒头

楼下早点铺子生意太好了，供不应求，就买了一台机器，不断的生产馒头。

假设馒头的生产速度是 ，那么一天后生产出来的馒头总量为：。

馒头生产出来之后，就会慢慢腐败，假设腐败函数为 ，比如，10个馒头，24小时会腐败：

想想就知道，第一个小时生产出来的馒头，一天后会经历24小时的腐败，第二个小时生产出来的馒头，一天后会经历23小时的腐败。

如此，我们可以知道，一天后，馒头总共腐败了：，这就是连续的卷积。

4. 图像处理

4.1 原理

有这么一副图像，可以看到，图像上有很多噪点：

高频信号，就好像平地耸立的山峰：

看起来很显眼。

平滑这座山峰的办法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周围去，用数学的话来说，就是把山峰周围的高度平均一下。

平滑后得到：

4.2 计算

可以看作加权求和。

卷积可以帮助实现这一平滑算法。

有噪点的原图，可以把它转为一个矩阵：

然后用下面这个平均矩阵（说明下，原图的处理实际上用的是正态分布矩阵，这里为了简单，就用了算术平均矩阵）来平滑图像。

记得刚才说过的算法，把高频信号与周围的数值平均一下就可以平滑山峰。

比如我要平滑 点，就在矩阵中，取出 点附近的点组成矩阵  , 和 进行卷积计算后，再填回去：

要注意一点，为了运用卷积，虽然和  同纬度，但下标有点不一样：

我用一个动图来说明计算过程：

写成卷积公式就是：

 

要求，一样可以套用上面的卷积公式。

这相当于实现了 这个矩阵在原来图像上的滑动（准确来说这幅图把矩阵旋转了 180° ）：

 

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