机器学习笔记之指数族分布——最大熵角度观察指数族分布(一)最大熵思想

引言

上一节介绍了指数族分布的通式以及共轭性质，本节将通过代码示例共轭性质，并介绍最大熵思想。

补充：指数族分布的共轭性质

指数族分布的共轭性质主要面对贝叶斯估计中分母积分难的问题：
$$P(\theta \mid x)=\frac{P(x\mid \theta )P(\theta )}{{\int }_{\theta }P(x\mid \theta )P(\theta )d\theta }$$

因此，共轭性质的具体表述逻辑如下：

• 如果概率模型(似然函数)$P(x\mid \theta )$分布 存在一个共轭的先验分布$P(\theta )$，那么效果是：后验分布$P(\theta \mid x)$与先验分布$P(\theta )$会形成相同分布形式。
  $$P(\theta \mid x)\propto P(x\mid \theta )P(\theta )$$

示例：
假设似然概率是二项式分布，关于似然概率$P(x\mid \theta )$中的参数$\theta$的概率$P(\theta )$服从Beta分布，那么后验概率的分布$P(\theta \mid x)$同样也服从Beta分布，但该分布与$P(\theta )$服从的Beta分布不一定相同。
具体代码如下：
首先构建一个二项分布的随机数，执行120次试验，并将试验结果归一化为$(0,1)$范围内的结果：

import nunmpy as np

def get_Binormal():
    outcome = np.random.binomial(13001,0.5,120)
    # outcome = np.random.binormal(13001,0.5,12000)
    max_out = max(outcome)
    return [(i / max_out) for i in outcome]

返回结果如下：

可能只能看出一点规律，如果将试验次数增加至12000次，再次观察分布结果：

此时发现，这明显是高斯分布的随机点图像。当观测序列足够大时，二项分布近似于高斯分布传送门。回归正题，接下来构建一个关于Beta分布的随机数：

from scipy.stats import beta

def get_beta(a,b,sample_num):
    x = np.linspace(0,1,sample_num)
    return beta.pdf(x,a,b)
    
out = get_beta(1.4,1.2,120)

返回随机数图像结果如下：

最后将两组随机数对应元素做乘法，观察结果：

如果两种分布采样次数越多，其乘法分布结果就越稳定。下面是采样2000次时的结果图像：

完整代码如下：

from scipy.stats import beta
import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def get_Binormal(rate):

    outcome = np.random.binomial(13001,rate,200)
    max_out = max(outcome)
    return [(i / max_out) for i in outcome]


def get_beta(a,b,sample_num):

    x = np.linspace(0,1,sample_num)
    return beta.pdf(x,a,b)


if __name__ == '__main__':
    out = get_beta(1.4,1.2,200)
    x = [i for i in range(len(out))]

    bi_out = get_Binormal(rate=0.01)
    bi_out_ = get_Binormal(rate=0.99)

    final_out = out * bi_out
    final_out_ = out * bi_out_

    plt.scatter(x,out,s=1)
    plt.scatter(x,final_out,s=1)
    plt.scatter(x,final_out_,s=1)
    plt.show()

最大熵思想介绍

信息量

信息本身就伴随着 不确定性(或者说信息自身存在随机性)。而信息量大小表示信息消除不确定性的程度。

• 如果某个事件发生的概率$p=1$恒成立，例如：太阳从东方升起。这条信息的不确定性为0，自然不存在消除不确定性的说法。
  从该例子中发现，至少要存在不确定性，才有机会谈到不确定性消除的概念。
• 另一个例子：我中了5000万。由于中奖的概率极低，假设是99.9%(当然实际上比该数值还要低)，那么这条信息就 排除 了99.9%概率的事件——我没有中5000万，这可以看出这条信息消除不确定性的程度很高。

从上述两个例子可以发现，信息消除不确定性的程度和信息本身发生的概率成反比关系。

信息量的公式表示如下：
$$h(x)=\log \frac{1}{p(x)}=-\log p(x)$$
其中，$h(x)$表示事件$x$的信息量，而$p(x)$表示事件$x$发生的概率。将上述两个例子带入到上式中：

• $x_1\to${“太阳从东方升起”}，$p(x_1)=1,h(x_1)=\log \frac{1}{1}=0$；
• $x_2\to${“我中了5000万”}，$p(x_2)=0.001,h(x_2)=\log \frac{1}{0.001}\approx 6.907$

该公式完全符合上述逻辑关系。

熵

从信息量的角度，熵是事件的信息量在事件发生概率分布下的期望。记事件$x$的熵为$\mathcal{H}(x)$，其具体表示方法如下：
$$\begin{array}{rl}\mathcal{H}(x)& ={\mathbb{E}}_{p(x)}\left[h(x)\right]\\ & ={\mathbb{E}}_{p(x)}\left[\log \frac{1}{p(x)}\right]\end{array}$$

• 如果概率分布$p(x)$是连续型随机变量，$\mathcal{H}(x)$可以表示为：
  $$\mathcal{H}(x)=-{\int }_{x}p(x)\log p(x)dx$$
• 如果概率分布$p(x)$是离散型级变量，$\mathcal{H}(x)$可以表示为：
  $$\mathcal{H}(x)=-\sum _{x}p(x)\log p(x)$$
• 更细致的理解思路：
  假设某数据集合$\mathcal{X}$包含数量为$N$的样本：
  $$\mathcal{X}=\{x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},\cdots ,x^{(N)}\}$$
  关于数据集合的熵$\mathcal{H}(\mathcal{X})$表示如下：
  $$\mathcal{H}(\mathcal{X})=-\sum _{i=1}^{N}p(x^{(i)})\log p(x^{(i)})$$

最大熵思想

从实际意义的角度，熵可以表示信息可能性的一种衡量，而最大熵思想具体意义是指：如果对某一数据集合$\mathcal{X}$的概率模型$P(x\mid \theta )$未知的情况下，在学习概率模型的过程中，熵最大的模型是最优模型；如果概率模型$P(x\mid \theta )$存在约束条件，则满足约束条件下熵最大的模型是最优模型。

最大熵思想的核心：等可能。
什么叫等可能？这是最大熵的理想状态：希望概率模型中各样本以相同概率的形式出现，此时的熵最大。
但是概率分布 我们说的不算，它是概率模型自身性质产生的。换个思路，概率模型的概率分布是客观存在的，不受人的意志变化而变化。因此，最大熵的出现为另外一种思路提供了一种有效工具：

虽然不能改变概率分布，无论概率分布是什么，我们总希望这个概率分布能够涵盖到更多数量的样本，这种概率分布更加泛化、更大程度地对概率模型中所有样本进行使用。

至此，我们继续观察基于数据集合$\mathcal{X}$熵的公式，将公式展开：
$$\begin{array}{rl}\mathcal{H}(\mathcal{X})& =\sum _{i=1}^{N}p(x^{(i)})\log \frac{1}{p(x^{(i)})}\\ & =p(x^{(1)})\log \frac{1}{p(x^{(1)})}+p(x^{(2)})\log \frac{1}{p(x^{(2)})}+\cdots +p(x^{(N)})\log \frac{1}{p(x^{(N)})}\end{array}$$

观察任意一项，发现概率$p(x^{(i)})$与$\log \frac{1}{p(x^{(i)})}$之间的 单调性完全相反：我们画出$p\log \frac{1}{p}$在$p\in (0,1)$范围内的图像如下：

通过观察发现，即便不知道概率模型的概率分布，但是熵的每一项取值是有界的(单个项的最优解不超过0.4)。因此，用通俗的话说，想通过聚焦个别样本预测概率分布使熵达到最大是行不通的。
这种预测方式的熵反而很小——仅照顾到个别样本，而更多的样本的熵值被放弃掉了，预测的概率分布结果自然是很局限的，不能代表所有样本。

因此，更一般的思想是希望预测的概率分布尽可能照顾到更多样本，高的不要太高，低的不要太低，对应的$p(x)\log \frac{1}{p(x)}$在各样本间差距尽量的小，从而使每个样本结果都有一个比较不错的熵值，从而使熵达到最大。

综上，最大熵的目的是尽可能的抹除各样本间被选择概率的区别性。

最大熵思想示例

目标：如果对数据集合$\mathcal{X}$的概率模型$p(x\mid \theta )$未知的情况下，观察 什么类型的概率分布使熵达到最大；

准备工作：

• 假设样本集合$\mathcal{X}$中样本$x$是离散型随机变量；
• 定义样本$x$的概率分布：
  由于是离散型随机变量，这里使用1，2，3...表示选择的离散信息,即维度;
  并满足：
  $$\sum _{i=1}^k{p}_i(x)=1$$

$x$	1	2	…	$k$
$p$	$p_1(x)$	$p_2(x)$	…	$p_k(x)$

推导过程：
上述问题可看作优化问题：

• 优化函数：$\max \mathcal{H}[P(x)]=\max -{\sum }_{i=1}^k{p}_i(x)\log p_i(x)$
• 条件：${\sum }_{i=1}^k{p}_i(x)=1$

整理：
$$\{\begin{array}{l}\max \mathcal{H}[P(x)]=\max -{\sum }_{i=1}^k{p}_i(x)\log p_i(x)=\min {\sum }_{i=1}^k{p}_i(x)\log p_i(x)\\ s.t.{\sum }_{i=1}^k{p}_i(x)=1\end{array}$$
令$P$为表示概率分布向量：
$$P(x)=\left(\begin{array}{c}{p}_1(x)\\ p_2(x)\\ ⋮\\ p_k(x)\end{array}\right)$$

目标是求解$k$个最优概率分布，使得熵$\mathcal{H}[P(x)]$最大。
$$\begin{array}{rl}{\hat{p}}_i& =\underset{p_i(x)}{\mathrm{argmax}}\mathcal{H}[P(x)]\\ & =\underset{p_i(x)}{\mathrm{argmin}}\sum _{i=1}^k{p}_i(x)\log p_i(x)(i=1,2,\cdots ,k)\end{array}$$
该式理解为：分别取到${\hat{p}}_1(x),{\hat{p}}_2(x),...,{\hat{p}}_k(x)$,构成$\left(\begin{array}{c}{\hat{p}}_1(x)\\ {\hat{p}}_2(x)\\ ⋮\\ {\hat{p}}_k(x)\end{array}\right)$使得$\mathcal{H}[P(x)]$最大。
上述描述是 带一个约束，并且是等号约束的优化问题，因此，使用拉格朗日乘数法进行求解。

• 定义拉格朗日函数：
  $$\mathcal{L}(P(x),\lambda )=\sum _{i=1}^k{p}_i(x)\log p_i(x)+\lambda (1-\sum _{i=1}^k{p}_i(x))$$
• 拉格朗日函数$\mathcal{L}(P(x),\lambda )$对每一维度的概率分布$p_i(x)(i=1,2,\cdots ,k)$求偏导：
  由于只对$p_i(x)$求解偏导，因此$p_1(x),p_2(x),\cdots ,p_{i-1}(x),p_{i+1}(x),\cdots ,p_k(x)$都是常数。
  $$\begin{array}{rl}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial p_i(x)}& =\log p_i(x)+p_i(x)\cdot \frac{1}{p_i(x)}-\lambda \\ & =\log p_i(x)+1-\lambda \end{array}$$
• 求极值解：令$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial p_i(x)}\triangleq 0$：
  $$\begin{gathered} \log {\hat{p}}_i(x)+1-\lambda =0 \\ {\hat{p}}_i(x)=e^{\lambda -1} \end{gathered}$$

由于$\lambda$是拉格朗日系数，是常数；因此对其他$p_{-i}(x)$求导同样会得到该常数：
概率的最优解和概率分布下标(维度)之间没有任何关系。
$p_{-i}(x)$表示除去$p_i(x)$的其他维度的概率分布
$${\hat{p}}_1(x)={\hat{p}}_2(x)=\cdots ={\hat{p}}_k(x)=e^{\lambda -1}$$
又因为：
$$\sum _{i=1}^k{\hat{p}}_i(x)=1$$
因此：
$${\hat{p}}_1(x)={\hat{p}}_2(x)=\cdots ={\hat{p}}_k(x)=\frac{1}{k}$$
即样本$x$选择任意一个离散信息的概率是相同的，因此，$P(x)$是均匀分布。

至此，在概率未知的情况下——不清楚$p_i(x)(i=1,2,\cdots ,k)$的具体结果是什么，我们求得均匀分布是熵最大的分布。验证了上面的等可能思想。

相关参考：
二项分布与正态分布的关系是怎样的？
机器学习-白板推导系列(八)-指数族分布（Exponential Family Distribution）