离散傅里叶级数与离散傅里叶变换

1.离散时间周期信号： 

基波周期：使（1）成立的最小正整数N；

基波频率：

2.复指数信号：

其共轭信号为：

补充：复指数信号为复数域上的信号，物理层面上不存在与之对应的信号，因此在现实世界常与其共轭信号一起出现使用（如式5）。

离散复指数信号：

将式3中t替换成n得

补充：对于以k为变参数、n为自变量的一组离散复指数信号，由定义可知当时，；因此此时k只需要取[0,N-1]即能包含该组所有离散复指数信号（当然也可以取[3,N+2]等等）。

3.离散傅里叶级数：

考虑用一组离散复指数信号合成一离散时间周期信号，形式如下：

又考虑到k只需要取[0,N-1]，因此也可以表示为N项求和的形式，如下：

下面求解每一项的系数：

由式8可得线性方程组：

......

其为一线性独立的线性方程组，对于比较简单的离散信号，可通过解该方程组求得；

下面给出上述方程组的通解求解思路：

需知道如下公式：

（该式可由复数的几何求和法证明）

对于求某一，将上述线性方程组每行左右乘以对应的（k,n为已知）后N行求和可得：

最终可得：

式8和14即为离散傅里叶级数对。

补充：由于离散时间周期信号为实数域上的信号，因此可知；也即，在频域的幅值特征上体现为局部对称，这一性质将在离散傅里叶变换的实际应用中进一步体现。

4.离散傅里叶变换：

对于非离散周期信号，可以将其视为N为无穷大的周期信号进行分析：

此时可记

又由

代入式8和14得

若记为离散傅里叶变换，

则由式17可得离散傅里叶变换对：

补充：式17中积分区间为而非无穷大，因为积分上限为。也可理解为由于其为离散信号，因此的部分频率细节丢失，因此会复现的频率信息，频域上整体呈现周期特征，但该部分频率特征并没有实际的应用价值。

5.离散傅里叶级数和离散傅里叶变换间的联系：

       离散傅里叶级数更适用于计算离散时间周期信号，离散傅里叶变换则是为了分析一些离散非周期信号。在实际应用中，为了避免计算积分，也可对离散非周期信号两边进行处理，将其看成周期信号，然后使用傅里叶级数的方法进行分析。

       同时离散傅里叶级数也可以看成离散傅里叶级数的特殊情况。在使用傅里叶变换处理离散时间周期信号时，可完全按照傅里叶变换的公式进行计算，不同的是会引入冲击函数。在此补充一个重要积分：

关于傅里叶变换还有很多性质，在此不一一赘述，其本质上均是傅里叶运算法则的性质，参考其基本概念将更加便于理解并更好的应用于工程中去。