Critical Point 局部最优点 鞍点

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内容：

Hessian Matrix

Critical Point: local minima/ maxima or saddle point

L是关于$\theta$的函数，在${\theta }^{\prime }$附近某点$\theta$，L可以展开为

第二项中的$g$是梯度，用来更新函数L的参数$\theta$。

$$\theta :=\theta -\eta \ast g$$
如果 g 为0，L的参数$\theta$ 就无法更新。

也就是说，在当前点${\theta }^{\prime }$处，L无法继续下降，损失函数L卡在了一个critical point（可能是局部最小，也可能是局部最大，也可能是saddle point鞍点）

如何解决？ 此时分析泰勒展开的第三项H

H称为Hessain矩阵

在具有${\theta }_1,{\theta }_2,...{\theta }_n$ 一共n个特征的Loss函数中，在某个点处的Hessian的第 ij 项写为：

$H_{i,j}=\frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\theta }_i\partial {\theta }_j}$

i,j 取值为 0,1,2,…,n

Hessian矩阵有什么用？

分析它是否是一个正定矩阵，可以帮助我们判断是否可以继续更新$\theta$,下降损失函数L。

如果H不是正定的，那么存在H的某个特征向量 v，使得下图第二项为负。这时，$L(\theta )$ 比当前$L({\theta }^{\prime })$更小，让损失函数朝着v的方向更新即可。

H的几种情况：

总结一下：
当Loss下不去的时候，Loss不一定是卡在local minima，也可能是卡在saddle point，可以根据Hessian矩阵判断是否可以继续更新model。